Viết Phương Trình Tiếp Tuyến Của đường Tròn Tại 1 điểm, đi Qua 1 điểm

Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại 1 điểm, đi qua 1 điểm

• Siêu sale sách Toán - Văn - Anh Vietjack 25-11 trên Shopee mall

Trang trước Trang sau

Bài viết Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại 1 điểm, đi qua 1 điểm với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại 1 điểm, đi qua 1 điểm.

• Cách giải bài tập Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại 1 điểm, đi qua 1 điểm
• Ví dụ minh họa bài tập Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại 1 điểm, đi qua 1 điểm
• Bài tập vận dụng Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại 1 điểm, đi qua 1 điểm
• Bài tập tự luyện Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại 1 điểm, đi qua 1 điểm

Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại 1 điểm, đi qua 1 điểm

A. Phương pháp giải

Quảng cáo

Cho đường tròn ( C) có tâm I( a; b); bán kính R và điểm M( x0; y0) :

+ Lập phương trình tiếp tuyến (d) của ( C ) tại điểm M:

Do (d) là tiếp tuyến của đường tròn tại M nên d vuông góc IM

⇒ Đường thẳng ( d) :

⇒ Phương trình đường thẳng d.

+ Lập phương trình tiếp tuyến (d) của ( C) đi qua M :

- Đường thẳng ( d) :

⇒ (d): A(x - x0) + B( y - y0) = 0.

- Do đường thẳng d là tiếp tuyến của đường tròn ( C) nên d( I; d) = R

⇒ Một phương trình hai ẩn A; B. Giải phương trình ta được A = kB.

- Chọn A= ... ⇒ B=...⇒ Phương trình đường thẳng d.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho đường tròn (C) : (x - 3)2 + (y - 1)2 = 10. Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A( 4; 4) là

A. x - 3y + 8 = 0. B. x + 3y – 16 = 0. C. 2x - 3y + 5 = 0 . D. x + 3y - 16 = 0.

Hướng dẫn giải

Đường tròn (C) có tâm I( 3;1). Gọi d là tiếp tuyến của đường tròn (C) tại điểm A; khi đó d và IA vuông góc với nhau.

⇒ IA→ = (1; 3) là vectơ pháp tuyến của d.

Suy ra phương trình d: 1( x - 4) + 3( y - 4 ) = 0

Hay x + 3y - 16 = 0.

Chọn D.

Quảng cáo

Ví dụ 2 : Cho đường tròn (x - 3)2 + (y + 1)2 = 5 . Phương trình tiếp tuyến của ( C) song song với đường thẳng d : 2x + y + 7 = 0 là

A. 2x + y = 0; 2x + y - 10 = 0 B. 2x + y + 1 = 0 ; 2x + y - 1 = 0

C. 2x - y + 1 = 0; 2x + y - 10 = 0 D. 2x + y = 0; x + 2y - 10 = 0

Hướng dẫn:

Do tiếp tuyến cần tìm song song với đường thẳng d: 2x + y + 7 = 0 nên

phương trình tiếp tuyến có dạng ∆: 2x + y + m = 0 với m ≠ 7 .

Đường tròn ( C) có tâm I( 3; -1) và bán kính R = √5

Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn ( C) khi :

d( I , ∆) = R ⇔ = √5 ⇔ |5 + m| = 5

⇔

Vậy ∆1 : 2x + y = 0 , ∆2 : 2x + y - 10 = 0

Chọn A.

Ví dụ 3. Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của đường tròn ( C): x2 + y2 - 4x - 4y + 4 = 0, biết tiếp tuyến đi qua điểm B( 4; 6) .

A. x - 4 = 0 hoặc 3x + 4y - 36 = 0 B. x - 4 = 0 hoặc y - 6 = 0.

C. y - 6 = 0 hoặc 3x + 4y - 36 = 0 D. x - 4 = 0 hoặc 3x - 4y + 12 = 0

Lời giải

+ Đường tròn (C) có tâm I( 2; 2) và bán kính R = = 2

+ Tiếp tuyến ∆:

⇒ Phương trình ∆: a(x - 4) + b(y - 6) = 0 hay ax + by - 4a - 6b = 0 (*)

+ Do ∆ là tiếp tuyến của đường tròn ( C) nên d(I; ∆) = R

⇔ = 2 ⇔|- 2a - 4b| = 2

⇔ |a + 2b| = ⇔ a2 + 4ab + 4b2 = a2 + b2

⇔ 4ab + 3b2 = 0 ⇔

+ Nếu b = 0; chọn a = 1 thay vào (*) ta được ∆: x - 4 = 0.

+ Nếu 4a = - 3b ta chọn a = 3 thì b = -4 thay vào ( *) ta được: 3x - 4y + 12 = 0

Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn là x - 4 = 0 và 3x - 4y + 12 = 0 .

Chọn D.

Ví dụ 4. Phương trình tiếp tuyến d của đường tròn (C): (x + 2)2 + (y + 2)2 = 25 tại điểm M(2; 1) là:

A. d: -y + 1 = 0 B. d: 4x + 3y + 14 = 0

C. d: 3x - 4y - 2 = 0 D. d: 4x + 3y - 11 = 0

Lời giải

+ Đường tròn ( C) có tâm I(-2; -2) và bán kính R= 5.

+ Do đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn taị điểm M nên hai đường thẳng d và IM vuông góc với nhau.

+ Đường thẳng d:

⇒Phương trình (d) : 4( x - 2) + 3( y - 1) = 0 hay 4x + 3y - 11 = 0

Chọn D.

Quảng cáo

Ví dụ 5. Cho đường tròn ( C): (x-1)2 + (y + 2)2 = 2. Viết phương trình tiếp tuyến d của (C) tại điểm A(3; -4) .

A. d: x + y + 1 = 0 B. d: x - 2y - 11 = 0

C. d: x - y - 7 = 0 D. d: x - y + 7 = 0

Lời giải

+ Đường tròn ( C) có tâm I( 1; -2) .

+ Do đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn tại điểm A(3; -4) nên đường thẳng d vuông góc với đường thẳng IA.

+ Phương trình đường thẳng (d):

⇒ phương trình (d) là: 2( x - 3) – 2( y + 4) = 0

⇔ (d) : 2x - 2y - 14 = 0 hay x - y - 7 = 0

Chọn C.

Ví dụ 6. Cho đường tròn (C): (x + 1)2 + (y - 1)2 = 25 và điểm M(9; -4) . Gọi ∆ là tiếp tuyến của ( C) , biết ∆ đi qua M và không song song với các trục tọa độ. Khi đó khoảng cách từ điểm P(6; 5) đến ∆ bằng:

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

Lời giải

+ Đường tròn (C) có tâm I(-1; 1)và bán kính R= 5.

+ Tiếp tuyến ∆:

⇒ Phương trình ∆: a(x - 9) + b(y + 4) = 0 hay ax + by – 9a + 4b = 0 (*)

+ Do ∆ là tiếp tuyến của đường tròn ( C) nên d(I; ∆) = R

⇔ = 5 ⇔ |-10a + 5b| = 5

⇔ |-2a + b| =

⇔ 4a2 - 4ab + b2 = a2 + b2 ⇔ 3a2 - 4ab = 0

⇔

+ Nếu a = 0 chọn b = 1 thay vào (*) ta được: y + 4 = 0 ( loại) vì tiếp tuyến không song song với các trục tọa độ.

+ Nếu 3a = 4b, chọn a = 4 thì b = 3 ta được ∆: 4x + 3y - 24 = 0

⇒ Khoảng cách từ P(6;5) đến đường thẳng ∆ là:

d(P, ∆) = = 3

Chọn B.

Ví dụ 7. Có bao nhiêu đường thẳng đi qua gốc tọa độ O và tiếp xúc với đường tròn (C): x2 + y2 - 2x + 4y - 11 = 0?

A. 0. B. 2. C. 1. D. 3.

Lời giải

Đường tròn (C) có tâm I(1; -2) và bán kính R = = 4.

Độ dài OI = = √5

⇒ Điểm O nằm trong đường tròn nên không có tiếp tuyến nào của đường tròn kẻ từ O.

Chọn A.

Ví dụ 8. Cho đường tròn (C): (x-3)2 + (y + 3)2 = 1. Qua điểm M(4; -3) có thể kẻ được bao nhiêu đường thẳng tiếp xúc với đường tròn ( C) ?

A. 0. B. 1. C. 2. D. Vô số.

Lời giải

Thay tọa độ điểm M vào phương trình đường tròn( C) ta được :

( 4 - 3)2 + (-3 + 3)2 = 1

⇒ Điểm M thuộc (C).

⇒ có đúng 1 tiếp tuyến của đường tròn kẻ từ M.

Chọn B.

Quảng cáo

Ví dụ 9. Có bao nhiêu đường thẳng đi qua điểm N(-2; 0) tiếp xúc với đường tròn (C): (x - 2)2 + (y + 3)2 = 4?

A. 0. B. 1. C. 2. D. Vô số.

Lời giải

Đường tròn ( C) có tâm I(2; -3) và bán kính R = 2.

Độ dài IN = = 5 > R

⇒ Điểm N nằm ngoài đường tròn ( C) nên qua điểm N kẻ được hai tiếp tuyến đến đường tròn (C).

Chọn C.

Ví dụ 10. Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của đường tròn ( C): (x - 1)2 + (y + 2)2 = 8, biết tiếp tuyến đi qua điểm A( 5; -2).

A. x - 5 = 0 . B. x + y - 3 = 0 hoặc x - y 7 = 0.

C. x- 5= 0 hoặc x + y - 3 = 0 . D. y + 2 = 0 hoặc x - y - 7 = 0 .

Lời giải

+ Đường tròn (C) có tâm I(1; -2) và bán kính R = 2√2

+ Tiếp tuyến ∆:

⇒ Phương trình ∆: a( x - 5) + b(y + 2) = 0 hay ax + by - 5a + 2b = 0.

+ Do ∆ là tiếp tuyến của đường tròn ( C) nên d(I; ∆) = R

⇔ = 2√2 ⇔ |- 4a| = 2√2.

⇔ 16a2 = 8( a2 + b2 ) ⇔ 8a2 = 8b2

⇔

+ Nếu a = b; ta chọn a = 1 ⇒ b = 1. Khi đó phương trình tiếp tuyến ∆: x + y - 3 = 0

+ Nếu a = - b; chọn a = 1 thì b = - 1. Khi đó phương trình tiếp tuyến ∆: x - y - 7 = 0.

Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn là x + y - 3 = 0 và x - y - 7 = 0

Chọn B.

Ví dụ 11: Cho đường tròn ( C) có tâm I(1; 3), bán kính R= √52. Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại điểm M biết điểm M thuộc đường thẳng d: và tọa độ M nguyên?

A. x + 2y + 3 = 0 B. 2x + 5y + 21 = 0

C. 2x - 3y - 19 = 0 D. Đáp án khác

Lời giải

+ Do điểm M thuộc đường thẳng d nên tọa độ M(3 + 2t; 1 - 4t).

+ Do điểm M thuộc đường tròn nên IM = R

⇔ IM2 = R2 ⇔ ( 2 + 2t)2 + ( 2 + 4t)2 = 52

⇔ 4t2 + 8t + 4 + 16t2 + 16t + 4 = 52

⇔ 20t2 + 24t – 44 = 0 ⇔ t = 1 hoặc t = ( loại) .

+ Với t = 1 thì tọa độ M(5; -3) .

⇒ Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại điểm M (5; -3):

(∆) :

⇒ Phương trình tiếp tuyến : 2( x - 5) – 3(y + 3) = 0 hay 2x - 3y - 19 = 0

Chọn C.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Phương trình tiếp tuyến d của đường tròn (C): x2 + y2 - 3x-y= 0 tại điểm N(1;-1) là:

A. d: x + 3y - 2 = 0 B. d: x - 3y + 4 = 0

C. d: x - 3y - 4 = 0 D. d: x + 3y + 2 = 0

Lời giải:

Đáp án: D

+ Đường tròn (C) có tâm I( ; ).

+ Do đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn ( C) tại điểm N nên đường thẳng d vuông góc với đường thẳng IN.

+ Phương trình đường thẳng (d) :

⇒(d): 1(x - 1) + 3( y + 1) = 0 hay ( d): x + 3y + 2 = 0

Câu 2: Cho đường tròn( C): x2 + y2 - 2x + 8y - 23 = 0 và điểm M( 8; -3) . Độ dài đoạn tiếp tuyến của ( C) xuất phát từ M là :

A. 10 B. 2√10 C. D. √10

Lời giải:

Đáp án: D

Đường tròn ( C) có tâm I( 1; -4) bán kính R = √40 .

Độ dài IM = = √50 > R

⇒ Điểm M nằm ngoài đường tròn. Khi đó từ M sẽ kẻ được hai tiếp tuyến là MA và MB- trong đó A và B là hai tiếp điểm .

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:

MA = MB = = √10

Vậy độ dài tiếp tuyến là : √10.

Câu 3: Cho đường tròn ( C ) : x2 + y2 - 3x - y = 0. Phương trình tiếp tuyến của ( C) tại M(1 ; -1) là:

A. x + 3y - 1 = 0 B. 2x - 3y + 1 = 0 C. 2x - y + 4 = 0 D. x + 3y + 2 = 0

Lời giải:

Đáp án: D

Đường tròn ( C) có tâm I( ; ).

Điểm M(1; -1) thuộc đường tròn ( C).

Phương trình tiếp tuyến của đường tròn ( C) tại điểm M là đường thẳng đi qua M và nhận vec tơ IM→ = (- ; - ) = - (1; 3) nên có phương trình:

1( x - 1) + 3( y + 1) = 0 hay x + 3y + 2 = 0

Câu 4: Cho đường tròn (x - 3)2 + (y - 1)2 = 10 . Phương trình tiếp tuyến của ( C) tại điểm A( 4; 4) là

A. x - 3y + 5 = 0 B. x + 3y - 4 = 0 C. x - 3y + 16 = 0 D. x + 3y - 16 = 0

Lời giải:

Đáp án: D

Đường tròn ( C) có tâm I(3; 1) và bán kính R = √10.

Tiếp tuyến của ( C) tại A là đường thẳng qua A( 4; 4) và nhận vecto IA→( 1; 3) là vectơ pháp tuyến của tiếp tuyến d.

Suy ra (d) : 1( x - 4) + 3( y - 4) = 0 hay x + 3y - 16 = 0

Câu 5: Cho đường tròn (x - 2)2 + (y - 2)2 = 9 . Phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A( 5; -1) là

A. x + y - 4 = 0 và x - y - 2 = 0 . B. x = 5 và y = -1.

C. 2x - y - 3 = 0 và 3x + 2y - 3 = 0. D. 3x - 2y + 1 = 0 và 2x + 3y + 5 = 0

Lời giải:

Đáp án: B

+ Đường tròn (C) có tâm I( 2; 2) và bán kính R = 3.

+ ∆ là tiếp tuyến cần tìm : đi qua A(5, -1) và nhận VTPT n→( A; B)

⇒ (∆ ) : A( x - 5) + B( y + 1) = 0 (*)

+ Do ∆ là tiếp tuyến của ( C) nên :

d( I ; ∆) = R ⇔ = 3

⇔ |-3A + 3B| = 3 ⇔ 9A2 - 18AB + 9B2 = 9A2 + 9B2

⇔ 18AB = 0 ⇔

+ Với A =0 ; chọn B = 1 thay vào (*) ta được : y + 1 = 0

+ Với B = 0 ; chọn A = 1 thay vào ( *) ta được :x - 5 = 0

Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn là y + 1 = 0 và x - 5 = 0

Câu 6: Cho đường tròn (C): x2 + y2 + 2x - 6y + 5 = 0 . Phương trình tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng d: x + 2y - 15 = 0 là

A. x + 2y = 0 và x + 2y - 10 = 0. B. x - 2y = 0 và x - 2y + 10 = 0.

C. x + 2y - 12 = 0 và x + 2y + 22 = 0 D. x + 2y + 3 = 0 và x + 2y + 7 = 0

Lời giải:

Đáp án: A

+ Đường tròn ( C) có tâm I( -1;3) và bán kính R = = √5

+ Do tiếp tuyến cần tìm song song với đường thẳng d: x + 2y- 15= 0 nên tiếp tuyến ∆ có dạng : x + 2y + m= 0 ( m≠-15) .

+ ∆ là tiếp tuyến của ( C) khi và chỉ khi:

d(I ;∆) = R ⇔ = √5 ⇔ |m + 5| = 5

⇔

⇒ Có hai tiếp tuyến thỏa mãn là : x + 2y = 0 và x + 2y - 10 = 0

Câu 7: Đường tròn ( C) có tâm I ( -1; 3) và tiếp xúc với đường thẳng d: 3x - 4y + 5 = 0 tại điểm H có tọa độ là

A. ( - ; - ) B. ( ; ) C. ( ; - ) D. ( - ; )

Lời giải:

Đáp án: B

Do đường thẳng d là tiếp tuyến của đường tròn ( C) tại điểm H nên IH vuông góc với đường thẳng d.

⇒ Đường thẳng IH:

⇒ Phương trình IH: 4( x + 1) + 3( y - 3) = 0 hay 4x + 3y - 5 = 0.

Do đường thẳng d và đường thẳng IH cắt nhau taị điểm H nên tọa độ điểm H là nghiệm hệ phương trình:

Câu 8: Cho đường tròn (C) : x2 + y2 - 6x + 2y + 5 = 0 và đường thẳng d: 2x + (m - 2)y – m - 7 = 0. Với giá trị nào của m thì d là tiếp tuyến của (C) ?

A. m = 3 B. m = 15 C. m = 13 D. m = 3 hoặc m = 13.

Lời giải:

Đáp án: D

+ đường tròn (C) có tâm I( 3 ;-1) và bán kính .

+ d là tiếp tuyến của (C) khi va chỉ khi:

d(I, d) = R ⇔ = √5 ⇔ |1 - 2m| = √5.

→ m2 - 16m + 39 = 0 ⇔

Câu 9: Cho đường tròn ( C) có tâm I(-1; 2), bán kính R = √29. Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại điểm M biết điểm M thuộc đường thẳng d: và tọa độ M nguyên?

A. x + 2y + 3 = 0 B. 2x + 5y + 21 = 0

C. 3x + 5y - 8 = 0 D. Đáp án khác

Lời giải:

Đáp án: B

+ Do điểm M thuộc đường thẳng d nên tọa độ M(-2 + t; 3t).

+ Do điểm M thuộc đường tròn nên IM = R

⇔ IM2 = R2 ⇔ ( t- 1)2 + ( 3t - 2)2 = 29

⇔ t2 - 2t + 1 + 9t2 - 12t + 4 = 29

⇔ 10t2 – 14t – 24 = 0 ⇔ t = - 1 hoặc t = ( loại) .

+ Với t = - 1 thì tọa độ M( - 3; - 3) .

⇒ Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại điểm M ( -3; -3):

(∆) :

⇒ Phương trình tiếp tuyến : 2( x + 3) + 5( y + 3) = 0 hay 2x + 5y + 21 = 0 .

D. Bài tập tự luyện

Bài 1. Viết phương trình tiếp tuyến d của đường tròn (C): (x + 1)2 + (y + 3)2 = 64 tại điểm M(–10; 1).

Bài 2. Cho đường tròn ( C): (x + 2)2 + (y + 10)2 = 3. Viết phương trình tiếp tuyến d của (C) tại điểm A(10; 6).

Bài 3. Có bao nhiêu đường thẳng đi qua gốc tọa độ O và tiếp xúc với đường tròn (C): x2 + y2 – 5x – 8y – 125 = 0.

Bài 4. Cho đường tròn (C): (x + 7)2 + (y + 4)2 = 3. Qua điểm M(–7; –8) có thể kẻ được bao nhiêu đường thẳng tiếp xúc với đường tròn (C).

Bài 5. Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của đường tròn ( C): (x – 9)2 + (y + 5)2 = 3, biết tiếp tuyến đi qua điểm A(–6; 6).

Xem thêm các dạng bài tập Toán 10 có đáp án hay khác:

• Cách nhận dạng, xác định phương trình đường tròn: tìm tâm, bán kính
• Viết phương trình đường tròn biết tâm, bán kính, đường kính
• Đường tròn tiếp xúc với đường thẳng
• Viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm (đường tròn ngoại tiếp tam giác)
• Vị trí tương đối của hai đường tròn, của đường thẳng và đường tròn

Lời giải bài tập lớp 10 sách mới:

• Giải bài tập Lớp 10 Kết nối tri thức
• Giải bài tập Lớp 10 Chân trời sáng tạo
• Giải bài tập Lớp 10 Cánh diều

• Tài liệu cho giáo viên: Giáo án, powerpoint, đề thi giữa kì cuối kì, đánh giá năng lực, thi thử THPT, HSG, chuyên đề, bài tập cuối tuần..... độc quyền VietJack, giá hợp lí

Tủ sách VIETJACK shopee lớp 10-11 cho học sinh và giáo viên (cả 3 bộ sách):

• Trọng tâm Toán - Văn- Anh- Lý -Hoá lớp 10 (từ 99k )
• Trọng tâm Toán - Văn- Anh- Lý -Hoá lớp 11 (từ 99k )
• 30 đề DGNL Bách Khoa, DHQG Hà Nội, tp. Hồ Chí Minh 2025 (cho 2k7) (từ 119k )

ĐỀ THI, GIÁO ÁN, SÁCH LUYỆN THI DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 10

Bộ giáo án, bài giảng powerpoint, đề thi, sách dành cho giáo viên và gia sư dành cho phụ huynh tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official

Tổng đài hỗ trợ đăng ký : 084 283 45 85

Giáo án, bài giảng powerpoint Văn, Toán, Lí, Hóa....

4.5 (243)

799,000đs

199,000 VNĐ

Đề thi, chuyên đề Cánh diều, Kết nối tri thức, Chân trời sáng tạo...

4.5 (243)

799,000đ

99,000 VNĐ

Sách luyện 30 đề thi thử THPT năm 2025 mới

4.5 (243)

199,000đ

99.000 - 149.000 VNĐ

xem tất cả

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS. Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.

Trang trước Trang sau phuong-phap-toa-do-trong-mat-phang.jsp Giải bài tập lớp 10 sách mới các môn học

• Giải Tiếng Anh 10 Global Success
• Giải Tiếng Anh 10 Friends Global
• Giải sgk Tiếng Anh 10 iLearn Smart World
• Giải sgk Tiếng Anh 10 Explore New Worlds
• Lớp 10 - Kết nối tri thức
• Soạn văn 10 (hay nhất) - KNTT
• Soạn văn 10 (ngắn nhất) - KNTT
• Soạn văn 10 (siêu ngắn) - KNTT
• Giải sgk Toán 10 - KNTT
• Giải sgk Vật lí 10 - KNTT
• Giải sgk Hóa học 10 - KNTT
• Giải sgk Sinh học 10 - KNTT
• Giải sgk Địa lí 10 - KNTT
• Giải sgk Lịch sử 10 - KNTT
• Giải sgk Kinh tế và Pháp luật 10 - KNTT
• Giải sgk Tin học 10 - KNTT
• Giải sgk Công nghệ 10 - KNTT
• Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 10 - KNTT
• Giải sgk Giáo dục quốc phòng 10 - KNTT
• Lớp 10 - Chân trời sáng tạo
• Soạn văn 10 (hay nhất) - CTST
• Soạn văn 10 (ngắn nhất) - CTST
• Soạn văn 10 (siêu ngắn) - CTST
• Giải Toán 10 - CTST
• Giải sgk Vật lí 10 - CTST
• Giải sgk Hóa học 10 - CTST
• Giải sgk Sinh học 10 - CTST
• Giải sgk Địa lí 10 - CTST
• Giải sgk Lịch sử 10 - CTST
• Giải sgk Kinh tế và Pháp luật 10 - CTST
• Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 10 - CTST
• Lớp 10 - Cánh diều
• Soạn văn 10 (hay nhất) - Cánh diều
• Soạn văn 10 (ngắn nhất) - Cánh diều
• Soạn văn 10 (siêu ngắn) - Cánh diều
• Giải sgk Toán 10 - Cánh diều
• Giải sgk Vật lí 10 - Cánh diều
• Giải sgk Hóa học 10 - Cánh diều
• Giải sgk Sinh học 10 - Cánh diều
• Giải sgk Địa lí 10 - Cánh diều
• Giải sgk Lịch sử 10 - Cánh diều
• Giải sgk Kinh tế và Pháp luật 10 - Cánh diều
• Giải sgk Tin học 10 - Cánh diều
• Giải sgk Công nghệ 10 - Cánh diều
• Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 10 - Cánh diều
• Giải sgk Giáo dục quốc phòng 10 - Cánh diều