Viết Phương Trình Tiếp Tuyến Của đường Tròn Vuông Góc ... - KhoiA.Vn

Khối A (KhoiA) sẽ giới thiệu với các em cách viết viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn vuông góc với đường thẳng cho trước qua bài này một cách ngắn gọn, chi tiết và đẩy đủ để các em tham khảo.

I. Cách viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn vuông góc với đường thẳng

Giả sử đường tròn (C) có tâm I(a; b); bán kính R và và đường thẳng (d) cho trước

Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng (d):Để viết phương trình tiếp tuyến Δ của đường tròn (C) vuông góc với đường thẳng (d): Ax + By + C = 0 ta thực hiện như sau:

- Bước 1: Xác định tâm I và bán kính R của đường tròn (C).

- Bước 2: Vì Δ ⊥ (d): Ax + By + C = 0 nên Δ có vectơ pháp tuyến là vectơ chỉ phương của (d):

 Khi đó phương trình tiếp tuyến Δ có dạng: Bx - Ay + c1 = 0

- Bước 3: Vì Δ tiếp xúc với đường tròn (C) nên d(I,Δ) = R. Giải phương trình này ta tìm được c1.

II. Bài tập vận dụng viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn vuông góc với đường thẳng

* Bài tập 1 (Bài 6 trang 84 SGK Hình học 10): Cho đường tròn C có phương trình: x2 + y2 – 4x + 8y – 5 = 0

Viết phương trình tiếp tuyến với (C) vuông góc với đường thẳng: 3x – 4y + 5 = 0.

> Lời giải:

- Ta có: x2 + y2 – 4x + 8y – 5 = 0

⇔ (x2 – 4x + 4) + (y2 + 8y + 16) = 25

⇔ (x – 2)2 + (y + 4)2 = 25.

Vậy (C) có tâm I(2 ; –4), bán kính R = 5.

- Gọi tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (d): 3x – 4y + 5 = 0 cần tìm là (Δ).

- Ta có (d) có VTPT 

- Vì (Δ) ⊥ (d) nên có VTPT 

Vậy phương trình tiếp tuyến (Δ) có dạng: 4x + 3y + c = 0.

(C) tiếp xúc với (Δ) ⇒ d(I; Δ) = R

 

 

Vậy (Δ) : 4x + 3y + 29 = 0 hoặc 4x + 3y – 21 = 0.

* Bài tập 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C): x2 + y2 - 4x + 8y - 5 = 0. Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (d); 3x + 4y + 21 = 0

> Lời giải:

- Ta có: x2 + y2 - 4x + 8y - 5 = 0

 ⇔ (x2 - 4x + 4) + (y2 + 2.4y + 16) - 25 = 0

 ⇔ (x - 2)2 + (y + 4)2 = 52

Nên đường tròn (C) có tâm I(2;-4) và bán kính R = 5.

Tiếp tuyến Δ vuông góc với (d): 3x+ 4y + 21 = 0 nên Δ nhận VTCP của (d) làm VTPT, có: 

Khi đó phương trình tiếp tuyến Δ có dạng: 4x - 3y + c = 0.

Vì Δ tiếp xúc với đường tròn (C) nên khoảng cách từ tâm I tới đường thẳng Δ bằng R: d(I,Δ) = R

Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa yêu cầu là:

4x - 3y + 5 = 0 và 4x - 3y - 45 = 0.