Viết Phương Trình Tiếp Tuyến Khi Biết Hệ Số Góc Cực Hay - Toán Lớp 11

Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc

• Giảm giá 50% sách VietJack đánh giá năng lực các trường trên Shopee Mall

Trang trước Trang sau

Bài viết Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc.

• Cách giải và ví dụ minh họa bài tập Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc
• Bài tập vận dụng Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc
• Bài tập tự luyện Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc

Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Quảng cáo

- Gọi (Δ) là tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc k.

- Giả sử M(xo ; yo) là tiếp điểm. Khi đó xo thỏa mãn: f ’(xo) = k (*)

- Giải (*) tìm xo. Suy ra yo = f(xo)

- Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = k( x - xo) + yo

Chú ý: Đối với bài toán này ta cần lưu ý một số vấn đề sau:

+ Số tiếp tuyến của đồ thị chính là số nghiệm của phương trình : f’(x) = k

+ Cho hai đường thẳng d1 : y = k1x + b1 và d2 : y = k2x + b2. Khi đó

Nếu đường thẳng d cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại A, B thì tan(∠OAB) = ± OA/OB, trong đó hệ số góc của d được xác định bởi y’(x) = tan(∠OAB)

Ví dụ minh họa

Bài 1: Tìm tiếp tuyến của đồ thị hàm số có hệ số góc k = -9 ?

Hướng dẫn:

Tập xác định: D = R

Đạo hàm: y’ = x2 + 6x

Ta có:

k = -9 ⇔ y’(xo) = - 9

⇔ xo2 + 6xo = -9

⇔ (xo + 3)2 = 0

⇔ xo = -3 ⇒ yo = 16

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là (d): y = -9(x + 3) + 16 = -9x – 11

Quảng cáo

Bài 2: 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): y = - x4 – x2 + 6, biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng

2. Cho hàm số có đồ thị là (C). Tìm trên đồ thị (C) điểm mà tại đó tiếp tuyến của đồ thị vuông góc với đường thẳng

Hướng dẫn:

1. Hàm số đã cho xác định D = R

Gọi (t) là tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số và (t) vuông góc với đường thẳng y = (1/6)x - 1, nên đường thẳng (t) có hệ số góc bằng -6

Cách 1: Gọi M(xo ; yo) là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến (t) và đồ thị (C) của hàm số . Khi đó, ta có phương trình:

y’(xo) = -6 ⇔ -4xo3 - 2xo = -6 ⇔ (xo-1)(2xo2+2xo+3) = 0 (*).

Vì 2xo2 + 2xo + 3 > 0 ∀xo ∈ R nên phương trình

(*) ⇔ xo = 1 ⇒ yo = 4 ⇒ M(1;4)

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = -6(x – 1) + 4 = -6x + 10

Cách 2: Phương trình (t) có dạng y = -6x + m

(t) tiếp xúc (C) tại điểm M(xo ; yo) khi hệ phương trình sau có nghiệm xo

có nghiệm xo ⇔

2. Hàm số đã cho xác định D = R

Ta có: y’ = x2 – 1

Gọi M(xo ; yo) ∈(C) ⇔

Tiếp tuyến Δ tại điểm M có hệ số góc: y’(xo) = xo2 - 1

Đường thẳng d: y = (-1/3)x + 2/3 có hệ số góc k = (-1/3)

Vậy có 2 điểm M(-2; 0) hoặc M = (2; 4/3) là tọa độ cần tìm.

Bài 3: Cho hàm số Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = (1/3)x + 2.

Hướng dẫn:

TXĐ: D = R\{1}

Ta có

Gọi M(xo; yo) là tiếp điểm. Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = (1/3)x + 2 nên ta có

+ Với M(0; -1) thì phương trình tiếp tuyến là: y = -3x – 1

+ Với M(2; 5) thì phương trình tiếp tuyến là: y = -3(x – 2) + 5 = -3x + 11

Bài 4: Trong các tiếp tuyến tại các điểm trên đồ thị hàm số y = x3 – 3x2 + 2, tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất bằng bao nhiêu?

Quảng cáo

Hướng dẫn:

Tập xác định: D = R

Đạo hàm: y’ = 3x2 – 6x = 3(x-1)2 - 3 ≥ -3

Vậy trong các tiếp tuyến tại các điểm trên đồ thị hàm số đã cho, tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất bằng -3

Bài 5: Cho hàm số có đồ thị (H). Viết phương trình đường thẳng Δ vuông góc với đường thẳng d: y = - x + 2 và tiếp xúc với (H).

Hướng dẫn:

Tập xác định: D = R\{0}

Đạo hàm: y’ = 4/(x2)

Đường thẳng Δ vuông góc với đường thẳng d: y = -x + 2 nên Δ có hệ số góc bằng 1. Ta có phương trình:

Tại M(2; 0). Phương trình tiếp tuyến là y = 1.(x – 2) = x – 2

Tại N(-2; 4). Phương trình tiếp tuyến là y = x + 2 + 4 = x + 6

Bài 6: Lập phương trình tiếp tuyến của đường cong (C): y = x3 + 3x2 – 8x + 1, biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng Δ: y = x + 2017?

Hướng dẫn:

Tập xác định: D = R

Đạo hàm: y’ = 3x2 + 6x – 8

Tiếp tuyến cần tìm song song với đường thẳng Δ: y = x + 2017 nên hệ số góc của tiếp tuyến là 1

Ta có phương trình

Tại M(1; -3). Phương trình tiếp tuyến là y = x – 1 – 3 = x – 4

Tại N(-3; 25). Phương trình tiếp tuyến là y = x + 3 + 25 = x + 28

Bài 7: Cho hàm số y = -x3 + 3x2 – 3 có đồ thị (C). Số tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng y = (1/9)x + 2017 là bao nhiêu?

Hướng dẫn:

Tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng y = (1/9)x + 2017 có dạng Δ: y = -9x + c

Δ là tiếp tuyến của (C) ⇔ hệ phương trình

có nghiệm

⇔

Vậy có hai giá trị c thỏa mãn.

B. Bài tập vận dụng

Bài 1: Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành bằng :

A. 9 B. 1/9 C. -9 D. -1/9

Lời giải:

Đáp án: A

Chọn A

Tập xác định: D = R\{1}

Đạo hàm: y' = 1/(x-1)2

Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại A(2/3; 0)

Hệ số góc của tiếp tuyến là y’ (2/3) = 9

Quảng cáo

Bài 2: Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại giao điểm với trục tung bằng:

A. -2 B. 2 C. 1 D. -1

Lời giải:

Đáp án: B

Chọn B

Tập xác định: D = R\{-1}

Đạo hàm: y’ = 2/(x+1)2

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có xo = 0 ⇒ y’(0) = 2

Bài 3: Cho hàm số y = x3 – 3x2 có đồ thị (C) có bao nhiêu tiếp tuyến của (C) song song đường thẳng y = 9x + 10

A. 1 B. 3 C. 2 D. 4

Lời giải:

Đáp án: C

Chọn C

Tập xác định: D = R

Đạo hàm: y’ = 3x2 – 6x. k = 9 ⇒ 3xo2 - 6xo = 9

Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán

Bài 4: Gọi (C) là đồ thị của hàm số y = x4 + x. Tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng d: x + 5y = 0 có phương trình là:

A. y = 5x – 3

B. y = 3x – 5

C. y = 2x – 3

D. y = x + 4

Lời giải:

Đáp án: A

Chọn A

Ta có : y’ = 4x3 + 1

Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = (-1/5)x nên tiếp tuyến có hệ số góc là 5

Khi đó ta có :

4x3 + 1 = 5 ⇔ x = 1 ⇒ y = 2

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M(1 ; 2) có dạng

y = 5(x – 1) + 2 = 5x – 3

Bài 5: Gọi (C) là đồ thị hàm số . Tìm tọa độ các điểm trên (C) mà tiếp tuyến tại đó với (C) vuông góc với đường thẳng có phương trình y = x + 4

A. (1 + √3; 5+3√3), (1-√3; 5-3√3)

B. (2; 12)

C. (0; 0)

D. (-2; 0)

Lời giải:

Đáp án: A

Chọn A

Tập xác định: D = R\{1}

Đạo hàm:

Giả sử a là hoành độ điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán ⇒ y’(a) = -1

Bài 6: Biết tiếp tuyến (d) của hàm số y = x3 – 2x + 2 vuông góc với đường phân giác góc phần tư thứ nhất. Phương trình (d) là:

Lời giải:

Đáp án: C

Chọn C.

Tập xác định: D = R

y’ = 3x2 – 2

Đường phân giác góc phần tư thứ nhất có phương trình Δ: x = y

⇒(d) có hệ số góc là – 1

3x2 – 2 = -1 ⇔ x = ± 1/√3

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là

và

Bài 7: Tìm hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị y = tanx tại điểm có hoành độ x = π/4.

A. k = 1 B. k = 0,5 C. k = √2/2 D. 2

Lời giải:

Đáp án: D

Chọn D

Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị y = tanx tại điểm có hoành độ x = π/4 là k = y’( π/4) = 2

Bài 8: Hệ số góc của tiếp tuyến của đường cong tại điểm có hoành độ xo = π là:

A.-√3/12 B. √3/12 C. -1/12 D. 1/12

Lời giải:

Đáp án: C

Chọn C

Bài 9: Cho hàm số y = x3 – 6x2 + 7x + 5 (C). Tìm trên (C) những điểm có hệ số góc tiếp tuyến tại điểm đó bằng -2?

A. (-1; -9); (3; -1)

B. (1; 7); (3; -1)

C. (1; 7); (-3; -97)

D. (1; 7); (-1; -9)

Lời giải:

Đáp án: B

Chọn B

Gọi M(xo ; yo) là tọa độ tiếp điểm. Ta có y’ = 3x2 – 12x + 7

Hệ số góc của tiếp tuyến bằng -2

⇒ y’(xo) = -2 ⇔ 3xo2 - 12xo + 7 = -2 ⇔

Bài 10: Cho hàm số tiếp tuyến của đồ thị hàm số vuông góc với đường thẳng d: 3y – x + 6 = 0 là

A. y = -3x – 3; y = -3x – 11

B. y = -3x – 3; y = -3x + 11

C. y = -3x + 3; y = -3x – 11

D. y = -3x – 3; y = 3x – 11

Lời giải:

Đáp án: A

Chọn A

d: 3y – x + 6 = 0 ⇔ y = (1/3)x - 2

Gọi M(xo; yo) là tọa độ tiếp điểm. Ta có

Tiếp tuyến vuông góc với d nên hệ số góc của tiếp tuyến là -3 nên y’(xo) = -3

Với xo = -3/2 ⇒ yo = 3/2 ⇒ phương trình tiếp tuyến: y = -3(x + 3/2) + 3/2 = -3x-3

Với xo = -5/2 ⇒ yo = (-7)/2 ⇒ phương trình tiếp tuyến: y = -3(x + 5/2)-7/2 = -3x-11

Bài 11: Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = (2m – 1)x4 – m + 5/4 tại điểm có hoành độ x = - 1 vuông góc với đường thẳng d : y = 2x – y – 3 = 0

A. 3/4 B. 1/4 C. 7/16 D. 9/16

Lời giải:

Đáp án: D

Chọn D

d : y = 2x – y – 3 = 0 ⇔ y = 2x – 3, hệ số góc của đường thẳng d là 2

y’ = 4(2m – 1)x3

Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = (2m – 1)x4 – m + 5/4 tại điểm có hoành độ x = -1 là y’(-1) = -4(2m – 1)

Ta có 2. -4(2m – 1) = -1 ⇔ m = 9/16

Bài 12: Cho hàm số có đồ thị cắt trục tung tại A(0 ; -1), tiếp tuyến tại A có hệ số góc k = -3. Các giá trị của a, b là

A. a = 1, b = 1

B. a = 2, b = 1

C. a = 1, b = 2

D. a = 2, b = 2

Lời giải:

Đáp án: B

Chọn B

A(0; - 1) ∈(C) nên ta có: -1 = b/(-1) ⇔ b = 1

Ta có Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị tại điểm A là:

k = y’(0) = -a – b = -3 ⇔ a = 3 – b = 2.

Bài 13: Điểm M trên đồ thị hàm số y = x3 - 3x2 - 1 mà tiếp tuyến tại đó có hệ số góc k bé nhất trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị thì M, k là

A. M(1; -3), k = -3

B. M(1; 3), k = -3

C. M(1; -3), k = 3

D. M(-1; -3), k = -3

Lời giải:

Đáp án: A

Chọn A.

Gọi M(xo ; yo). Ta có y’ = 3x2 – 6x

Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị tại M là :

k = y’(xo) = 3xo2 - 6xo = 3(xo - 1)2 - 3 ≥ -3

Vậy k bé nhất bằng -3 khi xo = 1, yo = -3

Bài 14: Cho hàm số y = x3 + 3x2 - 6x + 1 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = (-1/18)x + 1

A. y = 18x + 8 và y = 18x -27

B. y = 18x + 8 và y = 18x - 2

C. y = 18x + 81 và y = 18x - 2

D. y = 18x + 81 và y = 18x - 27

Lời giải:

Đáp án: D

Chọn D.

Gọi M(xo; yo) là tiếp điểm

Ta có: y’ = 3x2 + 6x – 6

Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = (-1/18)x + 1 nên ta có:

y'(xo) = 18 ⇔ 3xo2 + 6xo - 6 = 18 ⇔

Từ đó ta tìm được hai tiếp tuyến: y = 18x + 81 và y = 18x – 27

Bài 15: Cho hàm số y = x3 - 3x + 1 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 9

A. y = 9x - 1 hay y = 9x + 17

B. y = 9x - 1 hay y = 9x + 1

C. y = 9x - 13 hay y = 9x + 1

D. y = 9x - 15 hay y = 9x + 17

Lời giải:

Đáp án: D

Chọn D

Ta có: y’ = 3x2 – 3. Gọi M(xo ; yo) là tiếp điểm

Ta có: y’(xo) = 9 ⇔ 3xo2 - 3 = 9 ⇔ xo = ±2

xo = 2 ⇒ yo = 3. Phương trình tiếp tuyến: y = 9(x – 2) + 3 = 9x – 15

xo = -2 ⇒ yo = -1. Phương trình tiếp tuyến: y = 9(x + 2) – 1 = 9x + 17

C. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho hàm số (C):y = x3 - 3x + 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), ta biết tiếp tuyến đó có hệ số góc bằng 9.

Bài 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong y = x3:

a) Tại điểm (-1; -1).

b) Biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3.

Bài 3. Cho hàm số y = −13x2+x+2 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến biết phương trình tiếp tuyến có hệ số góc bằng 1.

Bài 4. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = –x4 – x2 + 6, biết tiếp tuyến có hệ số góc k = 6

A. y = 6x + 6.

B. y = –6x + 1.

C. y = –6x + 10.

D. y = 6x + 10.

Bài 5. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x2 – 2x + 3 biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng – 4.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tiếp điểm
• Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm
• 60 bài tập trắc nghiệm Viết phương trình tiếp tuyến có đáp án (phần 1)
• 60 bài tập trắc nghiệm Viết phương trình tiếp tuyến có đáp án (phần 2)

• Tài liệu cho giáo viên: Giáo án, powerpoint, đề thi giữa kì cuối kì, đánh giá năng lực, thi thử THPT, HSG, chuyên đề, bài tập cuối tuần..... độc quyền VietJack, giá hợp lí

Tủ sách VIETJACK shopee lớp 10-11 cho học sinh và giáo viên (cả 3 bộ sách):

• Trọng tâm Toán - Văn- Anh- Lý -Hoá lớp 10 (từ 99k )
• Trọng tâm Toán - Văn- Anh- Lý -Hoá lớp 11 (từ 99k )
• 30 đề DGNL Bách Khoa, DHQG Hà Nội, tp. Hồ Chí Minh 2025 (cho 2k7) (từ 119k )

ĐỀ THI, GIÁO ÁN, SÁCH LUYỆN THI DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 11

Bộ giáo án, bài giảng powerpoint, đề thi, sách dành cho giáo viên và gia sư dành cho phụ huynh tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official

Tổng đài hỗ trợ đăng ký : 084 283 45 85

Giáo án, bài giảng powerpoint Văn, Toán, Lí, Hóa....

4.5 (243)

799,000đs

199,000 VNĐ

Đề thi, chuyên đề Cánh diều, Kết nối tri thức, Chân trời sáng tạo...

4.5 (243)

799,000đ

99,000 VNĐ

Sách luyện 30 đề thi thử THPT năm 2025 mới

4.5 (243)

199,000đ

99.000 - 149.000 VNĐ

xem tất cả

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS. Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.

Trang trước Trang sau dao-ham.jsp Giải bài tập lớp 11 sách mới các môn học

• Giải Tiếng Anh 11 Global Success
• Giải sgk Tiếng Anh 11 Smart World
• Giải sgk Tiếng Anh 11 Friends Global
• Lớp 11 - Kết nối tri thức
• Soạn văn 11 (hay nhất) - KNTT
• Soạn văn 11 (ngắn nhất) - KNTT
• Giải sgk Toán 11 - KNTT
• Giải sgk Vật Lí 11 - KNTT
• Giải sgk Hóa học 11 - KNTT
• Giải sgk Sinh học 11 - KNTT
• Giải sgk Lịch Sử 11 - KNTT
• Giải sgk Địa Lí 11 - KNTT
• Giải sgk Giáo dục KTPL 11 - KNTT
• Giải sgk Tin học 11 - KNTT
• Giải sgk Công nghệ 11 - KNTT
• Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 11 - KNTT
• Giải sgk Giáo dục quốc phòng 11 - KNTT
• Giải sgk Âm nhạc 11 - KNTT
• Lớp 11 - Chân trời sáng tạo
• Soạn văn 11 (hay nhất) - CTST
• Soạn văn 11 (ngắn nhất) - CTST
• Giải sgk Toán 11 - CTST
• Giải sgk Vật Lí 11 - CTST
• Giải sgk Hóa học 11 - CTST
• Giải sgk Sinh học 11 - CTST
• Giải sgk Lịch Sử 11 - CTST
• Giải sgk Địa Lí 11 - CTST
• Giải sgk Giáo dục KTPL 11 - CTST
• Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 11 - CTST
• Giải sgk Âm nhạc 11 - CTST
• Lớp 11 - Cánh diều
• Soạn văn 11 Cánh diều (hay nhất)
• Soạn văn 11 Cánh diều (ngắn nhất)
• Giải sgk Toán 11 - Cánh diều
• Giải sgk Vật Lí 11 - Cánh diều
• Giải sgk Hóa học 11 - Cánh diều
• Giải sgk Sinh học 11 - Cánh diều
• Giải sgk Lịch Sử 11 - Cánh diều
• Giải sgk Địa Lí 11 - Cánh diều
• Giải sgk Giáo dục KTPL 11 - Cánh diều
• Giải sgk Tin học 11 - Cánh diều
• Giải sgk Công nghệ 11 - Cánh diều
• Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 11 - Cánh diều
• Giải sgk Giáo dục quốc phòng 11 - Cánh diều
• Giải sgk Âm nhạc 11 - Cánh diều