Viết Pttt Biết Tt Song Song Với đường Thẳng - Hỏi Đáp

Trong chương trình toán học THPT, cách viết phương trình tiếp tuyến là chủ đề quan trọng đối với các bạn học sinh. Vậy viết phương trình tiếp tuyến tại 1 điểm như nào? Kiến thức viết phương trình tiếp tuyến của hàm số?… Trong nội dung bài viết dưới đây, hãy cùng lingocard.vn tìm hiểu chi tiết và cụ thể về chủ đề trên nhé!. 

Nội dung chính Show

• Các dạng bài tập về cách viết phương trình tiếp tuyến
• Cách viết phương trình tiếp tuyến tại tiếp điểm 
• Cách viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm
• Cách viết phương trình tiếp tuyến có hệ số góc k
• Phương trình tiếp tuyến song song với đường thẳng
• Phương trình tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
• Các dạng toán về phương trình tiếp tuyến 
• Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tiếp điểm
• Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm cho trước
• Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc k
• Dạng 4: Viết phương trình tiếp tuyến chứa tham số m
• Bài tập phương trình tiếp tuyến nâng cao
• Video liên quan

Các dạng bài tập về cách viết phương trình tiếp tuyến

Viết phương trình tiếp tuyến tại tiếp điểm M.Viết phương trình tiếp tuyến đi qua điểm A cho trước.Viết phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc k.

Đang xem: Viết phương trình tiếp tuyến song song với đường thẳng

Phương trình tiếp tuyến tại tiếp điểm (M(x_{0},y_{0})) có dạng:

(y=f^{‘}(x_{0})(x-x_{0})+y_{0}) (1)

Trong đó (f^{‘}(x_{0})) là đạo hàm của hàm số tại điểm (x_{0}).

(x_{0}; y_{0}) là hoành độ, tung độ của tiếp điểm M.

Xem thêm: nghị luận văn học tây tiến

Như vậy với bài tập yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến thì ta phải tìm 3 đại lượng, là: (f”(x_{0}); x_{0} và y_{0}).

Xem thêm: Giải Vở Bài Tập Toán Lớp 2 Tập 2 Trang 97 Vở Bài Tập (Vbt) Toán 2 Tập 1

Cách viết phương trình tiếp tuyến tại tiếp điểm 

Để viết phương trình tiếp tuyến tại tiếp điểm cho trước (M(x_{0},y_{0}))

Cách làm: Bài toán yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến tại tiếp điểm (M(x_{0},y_{0})) thì công việc cần làm là tìm (f”(x_{0}); x_{0} và y_{0}), trong đó (x_{0}, y_{0}) chính là tọa độ của điểm M, vì vậy chỉ cần tính (f”(x_{0})), rồi thay vào phương trình (1) là xong.

Cách viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm

Cho đồ thị hàm số y=f(x), viết phương trình tiếp tuyến (Delta) của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến đi qua A(a,b)

Phương pháp:

Gọi phương trình tiếp tuyến của (Delta) có dạng: y = f’x_{0}(x – x_{0}) + y_{0} (2)

Và có tiếp điểm (M_{0}(x_{0},y_{0}))

Vì A(a,b) thuộc tiếp tuyến nên thay tọa độ A vào phương trình ta có:

(b = f’_{x_{0}} (a – x_{0}) + f_{x_{0}}) với (f_{x_{0}} = y_{0})

Phương trình này chỉ chứa ẩn (x_{0}), do đó chỉ cần giải phương trình trên để tìm (x_{0}).

Sau đó sẽ tìm được (f’x_{0} và y_{0}).

Tới đây phương trình tiếp tuyến của chúng ta đã tìm được.

Cách viết phương trình tiếp tuyến có hệ số góc k

Để viết phương trình tiếp tuyến (Delta) của đồ thị (C) y = f(x) khi hệ số góc k ta làm theo các bước sau:

Bước 1: Tính đạo hàm f’(x)Bước 2: Giải phương trình f’(x) = k để tìm hoành độ (x_{0}) của tiếp điểm. Từ đây suy ra tọa độ điểm (M_{0}(x_{0}; y_{0})) với (y_{0} = f(x_{0}))Bước 3: Viết phương trình tiếp tuyến (Delta) tại tiếp điểm (M_{0}(x_{0}; y_{0})):

(y = f”(x_{0})(x – x_{0}) + y_{0})

***Chú ý: Tính chất của hệ số góc k của tiếp tuyến

Tiếp tuyến song song với đường thẳng y = ax + b thì k = aTiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = ax + b thì (k=-frac{1}{a})

Phương trình tiếp tuyến song song với đường thẳng

Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng y=ax+b nên tiếp tuyến có hệ số góc k=a. Phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua tiếp điểm (M(x_{_{0}}, y_{0})) là (y=a(x-x_{0})+y_{0})

Phương trình tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng

Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng có phương trình y=ax+b nên tiếp tuyến có hệ số góc (k=-frac{1}{a})

Phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua tiếp điểm (M(x_{_{0}}, y_{0})) là (-frac{1}{a}(x-x_{0})+y_{0})

Xem thêm bài viết thuộc chuyên mục: Phương trình

Ảnh đẹp,18,Bài giảng điện tử,10,Bạn đọc viết,225,Bất đẳng thức,74,Bđt Nesbitt,3,Bổ đề cơ bản,9,Bồi dưỡng học sinh giỏi,39,Cabri 3D,2,Các nhà Toán học,129,Câu đố Toán học,83,Câu đối,3,Cấu trúc đề thi,15,Chỉ số thông minh,4,Chuyên đề Toán,289,Công thức Thể tích,11,Công thức Toán,101,Cười nghiêng ngả,31,Danh bạ website,1,Dạy con,8,Dạy học Toán,259,Dạy học trực tuyến,20,Dựng hình,5,Đánh giá năng lực,1,Đạo hàm,16,Đề cương ôn tập,38,Đề kiểm tra 1 tiết,29,Đề thi - đáp án,939,Đề thi Cao đẳng,15,Đề thi Cao học,7,Đề thi Đại học,157,Đề thi giữa kì,16,Đề thi học kì,130,Đề thi học sinh giỏi,123,Đề thi THỬ Đại học,381,Đề thi thử môn Toán,48,Đề thi Tốt nghiệp,41,Đề tuyển sinh lớp 10,98,Điểm sàn Đại học,5,Điểm thi - điểm chuẩn,210,Đọc báo giúp bạn,13,Epsilon,8,File word Toán,33,Giải bài tập SGK,16,Giải chi tiết,185,Giải Nobel,1,Giải thưởng FIELDS,24,Giải thưởng Lê Văn Thiêm,4,Giải thưởng Toán học,5,Giải tích,29,Giải trí Toán học,170,Giáo án điện tử,11,Giáo án Hóa học,2,Giáo án Toán,17,Giáo án Vật Lý,3,Giáo dục,349,Giáo trình - Sách,80,Giới hạn,20,GS Hoàng Tụy,8,GSP,6,Gương sáng,193,Hằng số Toán học,19,Hình gây ảo giác,9,Hình học không gian,106,Hình học phẳng,88,Học bổng - du học,12,Khái niệm Toán học,64,Khảo sát hàm số,36,Kí hiệu Toán học,13,LaTex,12,Lịch sử Toán học,81,Linh tinh,7,Logic,11,Luận văn,1,Luyện thi Đại học,231,Lượng giác,55,Lương giáo viên,3,Ma trận đề thi,7,MathType,7,McMix,2,McMix bản quyền,3,McMix Pro,3,McMix-Pro,3,Microsoft phỏng vấn,11,MTBT Casio,26,Mũ và Logarit,36,MYTS,8,Nghịch lí Toán học,11,Ngô Bảo Châu,50,Nhiều cách giải,36,Những câu chuyện về Toán,15,OLP-VTV,33,Olympiad,281,Ôn thi vào lớp 10,1,Perelman,8,Ph.D.Dong books,7,Phần mềm Toán,26,Phân phối chương trình,5,Phụ cấp thâm niên,3,Phương trình hàm,4,Sách giáo viên,12,Sách Giấy,10,Sai lầm ở đâu?,13,Sáng kiến kinh nghiệm,8,SGK Mới,6,Số học,56,Số phức,34,Sổ tay Toán học,4,Tạp chí Toán học,37,TestPro Font,1,Thiên tài,95,Thơ - nhạc,9,Thủ thuật BLOG,14,Thuật toán,3,Thư,2,Tích phân,77,Tính chất cơ bản,15,Toán 10,129,Toán 11,173,Toán 12,366,Toán 9,64,Toán Cao cấp,26,Toán học Tuổi trẻ,26,Toán học - thực tiễn,100,Toán học Việt Nam,29,Toán THCS,16,Toán Tiểu học,4,Tổ hợp,36,Trắc nghiệm Toán,220,TSTHO,5,TTT12O,1,Tuyển dụng,11,Tuyển sinh,270,Tuyển sinh lớp 6,7,Tỷ lệ chọi Đại học,6,Vật Lý,24,Vẻ đẹp Toán học,109,Vũ Hà Văn,2,Xác suất,28,

Dạng toán viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số là dạng toán thường xuyên xuất hiện trong đề thi trung học phổ thông quốc gia. Dạng toán này thường ra để học sinh lấy điểm, cho nên các em học sinh, các bạn cần nắm vững kiến thức và làm chắc dạng toán này. Viết phương trình tiếp tuyến thường ra có dạng: phương trình tiếp tuyến tại điểm, phương trình tiếp tuyến qua điểm, phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc k, và phương trình tiếp tuyến chứa tham số m.. Cụ thể cách viết phương trình tiếp tuyến như thế nào, chúng ta cùng đến với nội dung ngay sau đây.

Bạn đang xem: Tiếp tuyến song song với đường thẳng

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm sốCác dạng toán về phương trình tiếp tuyến 

Ý nghĩa hình học của đạo hàm: Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0 là hệ số góc m tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số tại điểm M (x0, y0).

Khi đó, phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M (x0, y0) là y = y"(x0 )(x – x0) + y0.

Nguyên tắc chung để lập được phương trình tiếp tuyến là ta phải tìm được hoành độ tiếp điểm x0.

Các dạng toán về phương trình tiếp tuyến 

Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tiếp điểm

Tiếp tuyến tại tiếp điểm

Phương pháp:

Bài toán: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C): y = f(x) tại điểm M (x0, y0).

Phương pháp giải:

Bước 1. Tính đạo hàm y’ = f(x). Từ đó suy ra hệ số góc tiếp tuyến k = y"(x0).

Bước 2: Công thức phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) tại điểm M (x0, y0) có dạng:

y = y"(x0)(x – x0) + y0.

Chú ý: 

– Nếu đề cho hoành độ tiếp điểm x0 thì tìm y0 bằng cách thế x0 vào hàm số y = f(x0).

– Nếu đề cho tung độ tiếp điểm y0 thì tìm y0 bằng cách thế y0 vào hàm số y = f(x0).

– Nếu đề bài yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến tại các giao điểm của đồ thị hàm số (C): y = f(x) với đường thẳng d: y = ax + b. Khi đó các hoành độ tiếp điểm x là nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm (C) và d. Phương trình hoành độ giao điểm (C) và d có dạng f(x) = ax + b. 

Đặc biệt: Trục hoành Ox thì có y = 0 và trục tung Oy thì x = 0. 

Sử dụng máy tính cầm tay:

Nhận xét: Sử dụng máy tính để lập phương trình tiếp tuyến tại điểm thực chất là cách rút gọn các bước ở cách tính thủ công. Sử dụng máy tính giúp các em tính toán nhanh hơn và chính xác hơn. Hơn nữa với hình thức thi trắc nghiệm thì sử dụng máy tính cầm tay là phương pháp được nhiều giáo viên hướng dẫn và học sinh chọn.

Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C); y = x3 + 2x2 tại điểm M (1; 3). 

Giải: 

Cách 1: Ta có y’ = 3x2 + 4x => k = y"(1) = 3.12 + 4.1 = 7.

Phương trình tiếp tuyến tại điểm M (1; 3) là:

d: y = y’0 (x – x0) + y0 y = 7.(x – 1) + 3 y = 7x – 4.

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 7x – 4.

Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay.

Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) tại M là y = 7x – 4.

Ví dụ 2: Cho điểm M thuộc đồ thị hàm số (C):

và có hoành độ bằng -1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) tại điểm M.

Giải:

Cách 1:

Ta có: x0 = -1. Suy ra y0 = y(-1) = 1/2 và

Phương trình tiếp tuyến tại M là:

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = – (3x/ 4) – 1/4. 

Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay.

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = – (3x/ 4) – 1/4. 

Ví dụ 3: Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm với trục hoành của hàm số (C): y = x4 – 2x2.

Giải: 

Cách 1:

Ta có: 4x3 – 4x = 4x.(x2 – 1)

Giao điểm của đồ thị hàm số (C) với trục hoành Ox là: 

Bây giờ bài toán chuyển thành dạng viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm.

+ Với x0 = 0 => y0 = 0 và k = y"(x0)= 0.

=> Phương trình tiếp tuyến tại điểm có tọa độ (0; 0) có hệ số góc k = 0 là: y = 0.

+ Với

và

=> Phương trình tiếp tuyến tại điểm có tọa độ (√2; 0) có hệ số góc k = 4√2 là:

+ Với

và

=> Phương trình tiếp tuyến tại điểm có tọa độ (-√2; 0) có hệ số góc k = – 4√2 là:

Vậy có 3 tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị (C) với trục hoành là:

y = 0, y = 4√2x – 8 và y = – 4√2x – 8.

Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm cho trước

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Phương pháp:

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến đi qua điểm A(xA; yA).

Cách 1: Sử dụng điều kiện tiếp xúc của hai đồ thị

Bước 1. Phương trình tiếp tuyến đi qua A(xA; yA), hệ số góc k có dạng:

d: y = k( x- xA) + yA (*)

Bước 2. d là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi hệ

có nghiệm. 

Bước 3. Giải hệ phương trình trên, tìm được x, suy ra tìm được k, sau đó thế vào phương trình đường thẳng d (*) thu được phương trình tiếp tuyến cần tìm. 

Cách 2:

Bước 1: Gọi M(x0; f(x0)) là tiếp điểm. Tính hệ số góc tiếp tuyến k = f"(x0) theo x0.

Xem thêm: Tả 1 Ngày Mới Bắt Đầu Ở Quê Em, Văn Mẫu Lớp 5, Tuyển Chọn, Văn Hay Lớp 5

Bước 2. Phương trình tiếp tuyến có dạng d: y = f"(x0).(x – x0) + f(x0) (**).

Vì điểm A(xA; yA) thuộc d nên yA = f"(x0).(xA – x0) + f(x0). Giải phương trình trên tìm được x0. 

Bước 3. Thay x0 vừa tìm được vào (**) ta được phương trình tiếp tuyến cần tìm .

Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y = – 4x3 + 3x + 1 đi qua điểm A(-1; 2). 

Ta có: y’= – 12x2 + 3

Giải: 

– Đường thẳng d đi qua A (-1; 2) có hệ số góc k có phương trình d: y = k(x + 1) + 2.

Đường thẳng d là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi hệ

có nghiệm.

Rút k từ phương trình dưới thế vào phương trình trên ta được:

– 4x3 + 3x + 1 = (-12x2 + 3)(x + 1) + 2

x = -1 hoặc x = 1/2.

+ Với x = -1. Thế vào phương trình k = – 12x2 + 3 ta được k bằng -9. 

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = – 9x – 7. 

+ Với x = 1/2. Thế vào phương trình k = – 12x2 + 3 ta được k bằng 0.

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 2.

Vậy đồ thị (C) có 2 tiếp tuyến đi qua điểm A(-1; 2) là y = – 9x – 7 và y = 2.

Ví dụ 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị của (C):

đi qua điểm A(-1; 4).

Giải:

Điều kiện: x khác – 1. Ta có:

Đường thẳng (d) đi qua điểm A(-1; 4) có hệ số góc k có phương trình: y = k(x + 1) + 4.

Đường thẳng (d) là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:

Thay k từ phương trình dưới thế vào phương trình trên ta được:

Đối chiếu với điều kiện x khác – 1 thì nghiệm x = -1 (loại), nghiệm x = -4 (nhận).

Với x = -4 =>

Phương trình tiếp tuyến là

Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc k

Phương pháp: 

Bài toán: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C). Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) với hệ số góc k cho trước.

Phương pháp giải:

Bước 1. Gọi M(x0; y0) là tiếp điểm và tính y’= f"(x)

Bước 2. Hệ số góc tiếp tuyến k = f"(x0). Giải phương trình này ta tìm được x0, thế vào hàm số tìm được y0. 

Bước 3. Với mỗi tiếp điểm ta tìm được các tiếp tuyến dưới dạng như sau:

d: y = y’0.(x – x0) + y0.

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) song song với đường thẳng:

– Tiếp tuyến d // đường thẳng Δ: y = ax + b => k = a. 

Tổng quát: phương trình tiếp tuyến d // đường thẳng cho trước có hệ số góc k = a. 

Sau khi lập được phương trình tiếp tuyến thì nhớ kiểm tra lại tiếp tuyến có trùng với đường thẳng d hay không. Nếu trùng thì không nhận kết quả đó.

Tiếp tuyến song song với đường thẳng cho trước

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) vuông góc với đường thẳng: 

– Tiếp tuyến d vuông góc với đường thẳng Δ: y = ax + b => k.a = -1 => k = -(1/a).

Tổng quát: phương trình tiếp tuyến d vuông góc với đường thẳng cho trước có hệ số góc k = -(1/k).

Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng cho trước

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) tạo với trục hoành 1 góc α:

– Tiếp tuyến tạo với trục hoành một góc α thì k = ± tanα.

Tổng quát: tiếp tuyến tạo với đường thẳng Δ: y = ax + b một góc α, khi đó:

Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): y = x3 – 3x + 2 có hệ số góc bằng 9.

Giải:

Ta có: y’= 3x2 – 3. Gọi tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm là M(x0; y0). Suy ra hệ số góc tiếp tuyến là k = y"(x0) 

+ Với x0 = 2 => y0 = (23) – 3.2 + 2 = 4. Ta có tiếp điểm M1(2; 4).

Phương trình tiếp tuyến tại M1 là d1:

+ Với x0 = -2 => y0 = 0. Ta có tiếp điểm M2 (-2; 0). 

Phương trình tiếp tuyến tại M2 là d2:

Kết luận: Vậy đồ thị hàm số (C) có 2 tiếp tuyến có hệ số góc bằng 9 là (d1): y = 9x – 14 và (d2): y = 9x + 18.

Dạng 4: Viết phương trình tiếp tuyến chứa tham số m

Phương pháp:

Dựa vào điều kiện bài toán và các dạng toán ở trên để biện luận tìm ra tham số m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Ví dụ: Cho hàm số y = x3 – 3x2 có đồ thị hàm số (C). Gọi M là điểm thuộc đồ thị (C) có hoành độ x = 1. Tìm giá trị m để tiếp tuyến của (C) tại M song song với đường thẳng Δ: y = (m2 – 4)x + 2m – 1. 

Giải:

TXD: D = R

Ta có: y’ = 3x2 – 6x.

Điểm M có hoành độ x0 = 1 nên suy ra

Vậy tọa độ điểm M (1; -2). 

Phương trình tiếp tuyến (d) tại điểm M (1; -2) của (C) có dạng:

y – y0 = y"(x0).(x – x0) y + 2 = (3.12 – 6.1).(x – 1) y = -3x + 1.

Khi đó để (d) // Δ:

Từ đó phương trình đường thẳng Δ: y = -3x + 3.

Kết luận: vậy với m = -1 thì tiếp tuyến (d) của (C) tại điểm M (1; -2) song song với đường thẳng Δ.

Bài tập phương trình tiếp tuyến nâng cao

Trên đây là các dạng toán về phương trình tiếp tuyến và những phương pháp tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) có ví dụ cụ thể. Hy vọng rằng các em nắm được phần kiến thức quan trọng này. Truy cập hibs.vn để học giỏi môn toán nhé.