Vô Cùng Bé (infinitesimal) | Maths 4 Physics & More...

Có thể bạn quan tâm

1. Định nghĩa:

Hàm $\alpha (x)$ được gọi là lượng vô cùng bé (infinitesimal – VCB) khi $x\to {{x}_{0}}$ nếu $\underset{x\to {{x}_{o}}}{\mathop{\lim }}\,\alpha (x)=0$

Ví dụ: $x^m$ , $sinx$ , ${\tan}x$ , $ln(1+x)$ , $1 - \cos x$ là các VCB khi $x\to 0$ .

Ta cũng có khái niệm VCB cho quá trình $x\to \infty$ thay vì quá trình $x\to {{x}_{0}}$ .

Quy ước: quá trình $x\to \infty$ thay $x\to {{x}_{0}}$ ta gọi chung là trong 1 quá trình.

2 Định lý:

Trong 1 quá trình, $f(x)\to L$ khi và chỉ khi ${\alpha}(x) = f(x) - L$ là VCB trong quá trình đó.

3 Tính chất: Trong 1 quá trình:

1. Nếu ${\alpha}(x)$ là VCB, C là hằng số thì $C.{\alpha}(x)$ là VCB.

2. Nếu ${{\alpha}_{1}}(x), {{\alpha}_{2}}(x), {{\alpha}_{3}}(x), ..., {{\alpha }_{n}}(x)$ là một số hữu hạn các VCB thì tổng ${{\alpha }_{1}}(x)+$ ${{\alpha }_{2}}(x)+$ … + ${{\alpha }_{n}}(x)$ cũng là VCB.

3. Nếu $\alpha (x)$ là VCB và f(x) là hàm bị chặn thì tích ${\alpha}(x).f(x)$ cũng là VCB.

4. So sánh hai lượng VCB:

Cho f, g là hai lượng VCB trong 1 quá trình.

Giả sử $\underset{x\to {{x}_{o}}}{\mathop{\lim }}\, \dfrac{f(x)}{g(x)}= k$

Nếu k = 0 thì f là VCB bậc lớn hơn g. Ký hiệu: $f = {\theta}(g)$ (hoặc $f = 0(g)$ )

Nếu $k = {\pm}{\infty}$ thì g là VCB bậc lớn hơn f. Ký hiệu $g = {\theta}(f)$

Nếu $k \ne 0, k \ne \pm \infty$ thì f, g là hai VCB cùng bậc. Đặc biệt, nếu k = 1 thì ta nói f, g là VCB tương đương. Ký hiệu: $f \sim g$

Nếu không tồn tại giới hạn thì ta nói f , và g không so sánh được với nhau .

Ví dụ:

1. $1-cosx , x^2$ là hai VCB ngang cấp khi $x \to 0$ .

2. 1 – cosx là VCB cấp cao hơn x khi $x \to 0$ .

5. Các VCB bé tương đương cần chú ý:

Nếu $x \to 0$ thì:

${\sin}x \sim x$ , ${\tan}x \sim x$ , $1 - \cos x \sim { \dfrac{1}{2}}x^2$ ; ${\arcsin}x \sim x$

$(e^x-1) \sim x$ , $ln(1+x) \sim x$ , $\left[ {{{\left( {1 + x} \right)}^a} - 1} \right] \sim ax$

6. Khử dạng vô định:

6.1 Tính chất 1:

Nếu $\underset{x\to {{x}_{o}}}{\mathop{\lim }}\, \dfrac{f}{g}=k$ , $f \sim f_1; g \sim g_1$ thì $\underset{x\to {{x}_{o}}}{\mathop{\lim }}\, \dfrac{{{f}_{1}}}{{{g}_{1}}}= k$

Chứng minh

Thật vậy: $\underset{x \to x_o}{\mathop{\lim}} \, \dfrac{f}{g} = \underset{x \to x_o}{\mathop{\lim}} \, { \dfrac{f}{f_1}}.{ \dfrac{f_1}{g_1}}.{ \dfrac{g_1}{g}} = \underset{x \to x_o}{\mathop{\lim}} \, { \dfrac{f_1}{g_1}}$

Ví dụ: $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\, \dfrac{\ln (1+2x)}{{{e}^{3x}}-1}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\, \dfrac{2x}{3x}= \dfrac{2}{3}$

6.2 Tính chất 2:

Nếu ${\alpha}(x) = \theta({\beta}(x))$ trong 1 quá trình thì ${\alpha}(x)+ {\beta}(x) \sim {\beta}(x)$ .

Như vậy tổng của hai VCB tương đương với VCB có cấp thấp hơn.

Ví dụ:

1. $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\, \dfrac{1-\cos 5x}{{{\sin }^{2}}2x} \underset{=}{VCB} \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\dfrac{1}{2}(5x)^2}{(2x)^2} = \dfrac{25}{8} \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x^2}{x^2} = \dfrac{25}{8}$

2. $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\, \dfrac{\ln (1-3x)}{tan2x} \underset{=}{VCB} \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{-3x}{2x} = -\dfrac{3}{2}$

3. $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\, \dfrac{x+{{\sin }^{2}}x+t{{g}^{3}}x}{2x+{{x}^{3}}+4{{x}^{5}}}$

4. $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\, \dfrac{\ln (1+tgx)}{x+{{\sin }^{3}}x}$

5. $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\, \dfrac{\ln (1-2x{{\sin }^{2}}x)}{\sin {{x}^{2}}.tgx}$

Đánh giá:

Chia sẻ:

In
PDF
Email
Facebook

Thích Đang tải...

Trang: 1 2

Thảo luận

159 bình luận về “Vô cùng bé (infinitesimal)”

thưa thầy khi ngắt bỏ vô cùng bé phải theo thu tu từ trái sang phải đúng ko thầy

ThíchThích
Được đăng bởi nguyen ngoc | 08/10/2010, 21:12 Reply to this comment
- Ủa, đâu có tính chất nào bắt buộc phải ngắt bỏ VCB theo thứ tự từ trái qua hay từ phải lại đâu em. Chỉ có tính chất là tổng 2 VCB thì tương đương với VCB có bậc thấp hơn. Điềi đó cho phép mình ngắt bỏ VCB bậc cao. Ví dụ: Khi $x\to 0: tan^2x + x - sin(x^3) + arctanx \sim x^2 + x - x^3 + x \sim 2x$
  
  ThíchThích
  Được đăng bởi 2Bo02B | 08/10/2010, 21:51 Reply to this comment
vang,em cam on thay nhieu/

ThíchThích
Được đăng bởi thu hang | 07/10/2010, 23:17 Reply to this comment
Thưa thầy trong công thức tính lim[f(x).g(x)] khi x->o với f(x), g(x) là vô cùng bé khi x->0 thì có thể thay thế bằng các VCB tương đương. Thế khi tích đó là tổng thì có thể thay thế như vậy không ạ?

ThíchThích
Được đăng bởi thu hang | 07/10/2010, 21:50 Reply to this comment
- Vấn đề này thầy có trả lời ở các comment phía trên rồi đó em. Tổng 2 VCB tương đương với VCB bậc thấp hơn. Nên trong trường hợp tổng của 2 VCB tương đương thì hoàn toàn có thể thay thế chỉ không thay được nếu gặp trường hợp hiệu 2 VCB tương đương hoặc trong quá trình thay thế làm khử mất VCB bậc thấp hơn. Có một số giáo trình không cho phép thay thế, nhưng như vậy thì không cần thiết vì vô tình đã loại đi những trường hợp vẫn có thể dùng được như thầy phân tích ở trên. Thật ra, việc thế VCB bằng VCB tương đương, chính là việc khai triển các hàm đến bậc nhất, bậc hai theo khai triển Taylor – Maclaurin mà thôi. Ví dụ: em vẫn có thể sử dụng VCB cho bài toán: $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{tanx + arcsinx}{sinx + arctanx}$ ; nhưng không dùng được với $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x - sinx}{x^3} ; \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{xcosx - sinx}{x^3}$ (vì dạng đầu là hiệu 2 VCB, nó sẽ tương đương với VCB bậc cao hơn chứ không thể bằng 0; dạng 2 thì thầy đã phân tích ở phía trên).
  
  ThíchThích
  Được đăng bởi 2Bo02B | 07/10/2010, 22:35 Reply to this comment
thầy cho em hỏi trong một số bài toán hay sử dụng:cosx ~1-[x^2]/2 nếu dùng như vậy thì mâu thuân với điều kiện ‘không đươc chuyển vế khi tính vô cùng bé phải không thầy.vì ta có 1-cosx~[x^2]/2??? thầy giải giúp em:biểu diễn sang dang a[x^b] xcosx-sinx em cám ơn thấy nhiều

ThíchThích
Được đăng bởi nguyen ngoc | 02/10/2010, 06:56 Reply to this comment
- Đúng là ta vẫn có: $cosx \sim 1 - \dfrac{x^2}{2}$ nhưng lúc đó không phải là 2 VCB tương đương khi x tiến đến 0 (vì chúng ko là VCB), mà đây là hệ quả của công thức khai triển Taylor_Maclaurin. Tuy vậy, em vẫn có thể biến đổi 1 chút để sử dụng. Ta có: $cosx = 1 - (1-cosx) \sim 1 - \dfrac{x^2}{2}$ . Sở dĩ, có thể thay VCB được là do ta không gặp trường hợp hiệu 2VCB tương đương hoặc dạng làm triệt tiêu VCB có cấp thấp hơn. Tuy nhiên, em sẽ không có: $xcosx - sinx \sim x \left( 1 - \dfrac{x^2}{2} \right) - x \sim -\dfrac{x^3}{2}$ Vì trong trường hợp này, khi thay bằng lượng tương đương, em đã khử đi VCB bậc 1 là x nên kq sẽ không chính xác. Kq chính xác sẽ là $-\dfrac{x^3}{3}$ Nếu gặp trường hợp này, em nên xét bài toán giới hạn $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{xcosx - sinx}{x^{\alpha}}$ và biện luận giá trị $\alpha$ để giới hạn là hằng số khác 0, khác vô cùng. Sử dụng công thức L’Hospital-Bernulli, em có: $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{xcosx - sinx}{x^{\alpha}} = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{cosx - xsinx - cosx}{{\alpha}x^{{\alpha}-1}} = -\dfrac{1}{\alpha} \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{sinx}{x^{{\alpha}-2}}$ Vậy giới hạn bằng $-\dfrac{1}{\alpha} \Leftrightarrow \alpha - 2 = 1 \Leftrightarrow \alpha = 3$ Như vậy: $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{xcosx - sinx}{x^3} = -\dfrac{1}{3}$ Nên: $xcosx - sinx \sim -\dfrac{x^3}{3}$ Ngoài ra, em cũng có thể sử dụng công thức khai triển Taylor – Maclaurin để xác định nhanh chóng hơn. Lúc đó em sẽ có: $xcosx - sinx \sim x \left( 1 - \dfrac{x^2}{2} + \theta (x^3) \right) - \left( x - \dfrac{x^3}{3!} + \theta(x^4) \right)$ $\sim x - \dfrac{x^3}{2} + \theta(x^4) - x + \dfrac{x^3}{6} + \theta (x^4) \sim -\dfrac{x^3}{3} + \theta (x^4) \sim -\dfrac{x^3}{3}$ (theo quy tắc ngắt bỏ VCB bậc cao).
  
  ThíchThích
  Được đăng bởi 2Bo02B | 03/10/2010, 11:13 Reply to this comment
vang.em hieu roi a.em cam on thay.o tren lop do thoi gian co han ne co giao em chi gioi thieu so luoc con sinh vien ve nha tu tim hieu.em cam on thay nhieu a.

ThíchThích
Được đăng bởi thu hang | 30/09/2010, 23:13 Reply to this comment
vang.em dung tu nham.vay thhua thay neu thay arctan{(3x^2)/(x+1)} bang arctan(3x^2)/(x+1) o de bai tren thi ket qua co giong nhau khong a

ThíchThích
Được đăng bởi thu hang | 30/09/2010, 22:15 Reply to this comment
- Do arctan{(3x^2)/(x+1)} ~ {(3x^2)/(x+1)} khi x tiến đến 0. Nên kết quả cũng tương đương với (arctan(3x^2))/(x+1) ~ (3x^2)/(x+1)
  
  ThíchThích
  Được đăng bởi 2Bo02B | 30/09/2010, 22:32 Reply to this comment
Thưa thầy. Thế arctan{(3x^2)/(x+1)} có là VCB của (3x^2)/(x+1) không ạ. Thầy giải thích giúp em á. Nếu có thì trong bài tập trên thay arctan{(3x^2)/(x+1)} bằng {(3x^2)/(x+1)} thì kết quả lại giống nhau ạ.

ThíchThích
Được đăng bởi thu hang | 30/09/2010, 11:16 Reply to this comment
- Ở đây arctan{(3x^2)/(x+1)} không phải là VCB của (3x^2)/(x+1)mà đây là 2 VCB tương đương khi x tiến đến 0. Em có thể CM 2 VCB này tương đương bằng cách CM tỉ số giữa chúng có giới hạn bằng 1 khi x tiến về 0.
  
  ThíchThích
  Được đăng bởi 2Bo02B | 30/09/2010, 21:39 Reply to this comment
Vâng. Em cảm ơn thầy nhiều

ThíchThích
Được đăng bởi thu hang | 25/09/2010, 17:41 Reply to this comment
Thưa thầy, em mới học toán cao cấp được 1 ngày nhưng em thấy mơ hồ quá. thầy có thể chỉ giúp em cách học củq môn này không ạ. Đặc biệt là phần giới hạn. Em chưa học đến đại lượng VCB nhưng em muốn tìm hiểu trước. Thầy giúp em bài này được không ạ? Tìm bậc của các VCB sau so với x, khi x ->0 a(x)=arctan(3x^2)/(x+1)-(1+2e^2)xsinx Em cảm ơn thầy nhiều!

ThíchThích
Được đăng bởi thu hang | 25/09/2010, 10:05 Reply to this comment
- Để tìm bậc của VCB so với x, em cần sử dụng kết quả sau: Cho f(x), g(x) là 2 VCB khi x -> x0. Nếu $\lim\limits_{x \to x_0} \dfrac{f(x)}{g(x)} = k (k \ne 0; k \ne \infty)$ thì f(x) và g(x) cùng bậc. Vậy để tìm bậc của VCB a(x) so với x, em cần tìm $\alpha \rm{>} 0$ sao cho: $\lim\limits_{x \to x_0} \dfrac{a(x)}{x^{\alpha}} = k (k \ne 0; k \ne \infty)$ Với bài trên em có: $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\dfrac{arctan(3x^2)}{x+1}-(1+2e^2)xsinx}{x^{\alpha}}$ Sau đó, em quy đồng, và thế các VCB bằng các VCB tương đương. Ở đây: $arctan(3x^2) \sim 3x^2 ; sinx \sim x (x \to 0)$ Em có: $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{arctan(3x^2) -(1+2e^2)x(x+1)sinx}{x^{\alpha}(x+1)}$ $= \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{3x^2-(1+2e^2)x(x+1)x}{x^{\alpha + 1} + x^{\alpha}}$ $= \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{-(1+2e^2)x^3+2(1-e^2)x^2}{x^{\alpha +1}+x^{\alpha}} = L$ Như vậy, em cần chú ý xem khi nào (điều kiện) thì có thể thế VCB bằng VCB tương đương. Tới đây, bằng cách khử dạng vô định và biện luận theo $\alpha$ , em sẽ tìm được $\alpha = 2$ thì giới hạn sẽ là hằng số khác 0 và khác vô cùng. Ngoài ra, em có thể sử dụng kết quả: tổng của 2 VCB tương đương với VCB có bậc thấp hơn. Vậy: $L = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{2(1-e^2)x^2}{x^{\alpha}}$ Để $L \ne 0 ; \ne \infty$ thì bậc tử phải bằng bậc mẫu. Vậy $\alpha = 2$ Điều đó có nghĩa VCB a(x) có bậc bằng 2. Hay a(x) cùng bậc với x^2. Như vậy, để giải các bài tập, em cần xem yêu cầu của bài tập đó là gì, yêu cầu đó, dạng bài tập đó liên quan đến kết quả nào, định lý nào, công thức nào đã học ở phần lý thuyêt và khi sử dụng các kết quả đó thì có cần điều kiện gì hay không?
  
  ThíchThích
  Được đăng bởi 2Bo02B | 25/09/2010, 13:19 Reply to this comment
thầy oi thay jup em voi ạ! bài này khó was em mí hc toán cao cấp dc 2 hôm nên ko biết về công thuc tiệm cận là gì ạ lim ( 1/ x ^2 -( cotx)^2) x->0 bài này thây đã giải băng 3 cách nhưng kiên thức đó em chua dc dạy ạ.mong thầy giup e .em cảm ơn thầy nhiều.chúc tgaayf mạnh khỏe.

ThíchThích
Được đăng bởi hung | 24/09/2010, 20:09 Reply to this comment
- bài này yêu cầu em sử dụng công thức tiệm cận để tính giới hạn sao? Hơi lạ à nghen. Em học phần nào rồi?
  
  ThíchThích
  Được đăng bởi 2Bo02B | 24/09/2010, 22:58 Reply to this comment
Thưa thầy! Thực sự khi học phần này em thấy rất mơ hồ khi thay thế các VCB tương đương để tính giới hạn! Thầy có thể nói rõ hơn về cách áp dụng phương pháp thay thế này sao cho chuẩn xác, hiệu quả và những sai lầm thường gặp khi sử dụng pp này không ạ! Em cảm ơn thầy nhiều ạ.

ThíchThích
Được đăng bởi Phan Linh | 18/12/2009, 13:41 Reply to this comment
thầy ơi thầy xem giúp em bài này với: tìm lim((tan(pi*x/2))/ln(1-x)) khi x->1- em cảm ơn thầy nhiều ạ

ThíchThích
Được đăng bởi nguyễn huế | 16/12/2009, 21:29 Reply to this comment
- Em dùng quy tắc L’Hospital – Bernulli, lấy đạo hàm tử chia đạo hàm mẫu sẽ có kết quả.
  
  ThíchThích
  Được đăng bởi 2Bo02B | 17/12/2009, 14:23 Reply to this comment