Vòng Tròn Euler. Giải Quyết Các Nhiệm Vụ. Vòng Tròn Euler

Khi giải quyết nhiều nhiệm vụ liên quan đến các bộ, một diện mạo không thể thiếu dựa trên việc sử dụng cái gọi là "vòng tròn Euler". Những biểu đồ này lần đầu tiên xuất hiện trong các tác phẩm của một trong những nhà toán học vĩ đại nhất trong lịch sử của Leonard Euler, người trong một thời gian dài sống và làm việc ở Nga và là thành viên của Viện Hàn lâm Khoa học St. Petersburg. Sử dụng vòng tròn của Euler thêm rõ ràng khi giải quyết nhiệm vụ phức tạp, làm cho nhiều thứ thực sự rõ ràng. Tôi khuyên bạn nên chắc chắn về nó về ví dụ về việc giải quyết nhiệm vụ tiếp theo.

Một ví dụ về việc giải quyết vấn đề với các vòng tròn của Euler

Ở đây bạn cần hiểu rằng nếu người ta nói rằng "42 người sử dụng Metro", điều đó không có nghĩa là gì ngoài tàu điện ngầm, họ không sử dụng bất kỳ loại phương tiện nào khác. Ai đó từ họ có thể được sử dụng. Có thể có một số cách vận chuyển khác, xe điện hoặc xe buýt. Và có thể cả cả hai! Vấn đề của vấn đề là chính xác để tính toán những người sử dụng cả ba loại phương tiện vận chuyển.

Thoạt nhìn, nó thậm chí còn khó hiểu khi bắt đầu quyết định. Nhưng nếu bạn nghĩ một chút, rõ ràng bạn cần phải hành động theo thuật toán sau. Chúng tôi sẽ cố gắng vẽ tất cả mọi người (58 người) thông qua dữ liệu được biết đến từ các điều khoản. Chúng tôi biết rằng xe buýt được sử dụng bởi 44 người. Chúng tôi thêm vào số người sử dụng tàu điện ngầm. Chỉ có 42 người. Với sự trợ giúp của các vòng tròn Euler, hoạt động này có thể gần như ở dạng sau:

Đó là, cho đến nay chúng ta đang đối phó với một biểu thức 58 \u003d 44 + 42 ... dấu hiệu "..." có nghĩa là biểu thức chưa hoàn thành. Vấn đề là chúng tôi đã đếm mọi người ở ngã tư của các vòng tròn này hai lần. Khu vực tương ứng trên sơ đồ được tô sáng bởi màu xanh đậm. Do đó, một khi họ cần phải trừ. Đây là những người thích xe buýt và tàu điện ngầm. Họ được biết đến, 31. Đó là, biểu thức "chưa hoàn thành" của chúng tôi có hình thức: 58 \u003d 44 + 42 - 31 ... và màu xanh đậm biến mất trên sơ đồ:

Cho đến nay mọi thứ đều ổn. Chúng tôi hiện đang thêm những người đi đến xe điện. Những người như vậy 32. Biểu thức lấy mẫu: 58 \u003d 44 + 42 - 31 + 32 biểu đồ với các vòng tròn của Euler, lần lượt, trở thành tiếp theo:

May mắn trong khu vực không hoạt động, có những người có số lượng chúng ta cần đếm. Thật vậy, những con cá voi nghèo này sử dụng mỗi ngày cả ba loại phương tiện vận chuyển để đi làm, bởi vì họ đang ở ngã tư của cả ba bộ. Biểu thị số lượng những điều nghèo nàn này cho. Sau đó, sơ đồ sẽ lấy mẫu sau:

Và phương trình sẽ như sau:

Tính toán cho. Đây là câu trả lời cho nhiệm vụ. Vì vậy, nhiều người sử dụng cả ba loại vận chuyển mỗi ngày để đi làm.

Đây là một giải pháp đơn giản như vậy. Trong thực tế, trong một phương trình. Chỉ là tuyệt vời, nó không đúng ?! Và bây giờ hãy tưởng tượng nó sẽ phải giải quyết vấn đề này mà không cần sử dụng vòng tròn của Euler. Nó sẽ là sự dằn vặt thực sự. Vì vậy, một lần nữa chúng tôi tin chắc rằng bất kỳ phương pháp trực quan hóa nào cực kỳ hữu ích trong việc giải quyết các vấn đề trong toán học. Sử dụng chúng, nó sẽ giúp bạn giải quyết các nhiệm vụ phức tạp cả tại Thế vận hội và các kỳ thi tuyển sinh trong toán học trong các Lyceums và Đại học.

Để kiểm tra xem bạn có hiểu giải pháp của nhiệm vụ này, hãy trả lời các câu hỏi sau:

1. Có bao nhiêu người chỉ sử dụng một loại phương tiện vận chuyển để đi làm?
2. Có bao nhiêu người sử dụng chính xác hai loại phương tiện giao thông cho việc này?

Gửi câu trả lời và giải pháp của bạn trong các ý kiến.

Vật liệu chuẩn bị, Sergey Valerievich

Nhiệm vụ số 1: Trong số 100 khách du lịch khởi hành ở nước ngoài Du lịch, tiếng Đức thuộc sở hữu của 30 người, Tiếng Anh - 28, tiếng Pháp - 42. Tiếng Anh và tiếng Đức Đồng thời sở hữu 8 người, tiếng Anh và Pháp 10, Đức và Pháp - 5, cả ba Ngôn ngữ - 3. Có bao nhiêu khách du lịch không sở hữu ngôn ngữ nào? Phán quyết: Thể hiện điều kiện của nhiệm vụ đồ họa. Biểu thị bằng vòng tròn của những người biết tiếng Anh, một vòng tròn khác - những người biết tiếng Pháp và Vòng thứ ba là những người biết tiếng Đức. người Pháp tiếng Đức Tiếng Anh

Ba khách du lịch sở hữu tất cả ba ngôn ngữ, nó có nghĩa là Tổng số phần của các vòng tròn phù hợp với số 3. người Pháp tiếng Đức 5 3 7 Tiếng Anh tiếng Anh và tiếng Pháp 10 người sở hữu ngôn ngữ, và 3 Trong số này, họ cũng sở hữu tiếng Đức. Vì vậy, tiếng Anh và Pháp riêng 103 \u003d 7 Nhân loại. Đến phần chung của tiếng Anh và Hình 7. 8 người sở hữu tiếng Anh và tiếng Đức, và 3 Họ cũng được sở hữu bởi tiếng Pháp. Vì vậy, tiếng Anh và Đức 83 \u003d 5 người. Nói chung, một phần chung của vòng tròn tiếng Anh và tiếng Đức Nhập số 5. người Pháp tiếng Đức 20 5 2 3 7 30 13 Tiếng Anh Tiếng Đức và tiếng Pháp. 5 người sở hữu ngôn ngữ, và 3 trong số họ cũng sở hữu Tiếng Anh. Nó có nghĩa là Tiếng Đức và tiếng Pháp. Sở hữu 53 \u003d 2 người. Đến phần chung của người Đức và Vòng tròn Pháp phù hợp Hình 2. Được biết, 30 người sở hữu một ngôn ngữ Đức, nhưng 5 + 3 + 2 \u003d 10 họ sở hữu các ngôn ngữ khác, nó có nghĩa là chỉ có tiếng Đức biết 20 người. Tiếng Anh biết 28 người, nhưng 5 + 3 + 7 \u003d 15 người sở hữu và Các ngôn ngữ khác, nó có nghĩa là chỉ có tiếng Anh biết 13 người. Tiếng Pháp biết 42 người, nhưng 2 + 3 + 7 \u003d 12 người sở hữu Và các ngôn ngữ khác, nó có nghĩa là chỉ có tiếng Pháp biết 30 người. Trong điều kiện nhiệm vụ chỉ có 100 khách du lịch. 20 + 30 + 13 + 5 + 2 + 3 + 7 \u003d 80 khách du lịch biết ít nhất một ngôn ngữ, Do đó, 20 người không sở hữu bất kỳ ngôn ngữ nào. Câu trả lời: 20 người. Bản vẽ chủ đề tương tự, những gì chúng ta vẽ khi giải quyết vấn đề này, Gọi là "vòng tròn euler. Một trong Các nhà toán học vĩ đại nhất của St. Petersburg Học viện Leonard Euler đã viết thêm 850 công việc khoa học. Trong một trong số họ và Chúng xuất hiện những vòng tròn này. Euler đã viết rồi. rằng họ rất phù hợp để Dễ dàng sự phản ánh của chúng tôi. " Cũng như vòng tròn trong các nhiệm vụ như vậy được sử dụng Hình chữ nhật và các số liệu khác. Nhiệm vụ số 2: Trong nhóm mẫu giáo 11 trẻ em thích cháo semal, 13 - Buckwheat và 7 đứa trẻ là ngọc trai. Bốn tình yêu I. manna, và kiều mạch, 3 - manna và ngọc trai, 6 kiều mạch và Pearl, và hai với niềm vui "bay khỏi" cả ba loại cháo. Có bao nhiêu đứa trẻ trong nhóm này, nếu không có một Em bé, không yêu cháo? Phán quyết: Manna. Ngọc trai 11 6 0 31 4 2 2 13 7 64 5 GRECHNEVA. Tôi Câu trả lời: 6 + 1 + 2 + 2 + 0 + 4 + 5 \u003d 20 chàng trai Nhiệm vụ số 3: Có nhiều trẻ em trong một gia đình. 7 trong số họ yêu bắp cải, 6 - cà rốt, 5 - đậu Hà Lan, 4 - bắp cải và cà rốt, 3 - bắp cải và PEA, 2 - Cà rốt và đậu Hà Lan, 1 - và bắp cải, và cà rốt và đậu Hà Lan. Có bao nhiêu đứa trẻ trong gia đình? Phán quyết: cải bắp 7 Cà rốt 1 43 32 1 5 1 Đậu Hà Lan. 21 6 1 Trả lời: 10 người. Nhiệm vụ số 4: Trong nhóm 29 học sinh. Trong số đó có 14 người yêu Âm nhạc cổ điển, 15JAS, 14 - Âm nhạc dân gian. Âm nhạc cổ điển và nhạc jazz Nghe 6 sinh viên, Âm nhạc dân gian và Jazz - 7, Kinh điển và Dân gian - 9. Năm học sinh nghe tất cả các âm nhạc, và phần còn lại không Yêu bất kỳ âm nhạc. Có bao nhiêu trong số họ? Phán quyết: jazz. 15 7 6 1 7 2 5 14 4 Cổ điển. Âm nhạc 9 4 14 3 Quốc gia Âm nhạc Câu trả lời: 297215344 \u003d 3 (con người) - Đừng yêu bất kỳ âm nhạc. Nhiệm vụ số 5: Học sinh 5 và 6 lớp đã đi tour. Con trai đã 16 tuổi, sinh viên lớp 6 - 24, năm lớp học sinh lớp Như nhiều chàng trai lớp 6. Có bao nhiêu trẻ em Bạn đã đến thăm các chuyến du ngoạn? Phán quyết: 16 Những cậu bé Lớp 5. Những cậu bé lớp 6 Cô gái Lớp 5. Cô gái lớp 6 24 Trả lời: 40 người.

10.

Nhiệm vụ số 6: Trên sàn của một căn phòng gồm 24 mét vuông ba thảm. Khu vực Một trong số chúng là 10 mét vuông, một trong 8 mét vuông, thứ ba - 6 mét vuông. Tất cả mọi người Hai thảm chồng lên nhau trên diện tích 3 mét vuông, và khu vực Sàn phủ với cả ba thảm là 1 m². Tìm khu vực đất: a) Được bao phủ bởi thảm thứ nhất và thứ hai, nhưng không được bảo hiểm Thảm thứ ba; b) chỉ được bao phủ bởi tấm thảm đầu tiên; c) không được bao phủ bởi thảm. Phán quyết: Câu trả lời: a) 10m²; b) 5 mét vuông; c) 241051 \u003d 8 mét vuông 1 2 10 5 32 32 3 1 6 8 3 2 1 3

11.

Nhiệm vụ số 7. 1. Trong số 100 khách du lịch đến thăm 75 biết tiếng Đức và 83 biết tiếng Pháp. 10 người không biết tiếng Đức nào Cũng không phải tiếng Pháp. Có bao nhiêu khách du lịch biết cả hai ngôn ngữ này? Phán quyết: tiếng Đức người Pháp 75 Hòx 10010 \u003d 90. 83 Chúng tôi có được phương trình: 75 + 83x \u003d 90 158x \u003d 90. x \u003d 68. Câu trả lời: 68 người biết cả hai ngôn ngữ

12.

1. Trong số 40 người được khảo sát 32 Sữa yêu, 21 - chanh và 15 - và Sữa, và nước chanh. Bao nhiêu người Không yêu sữa hoặc nước chanh? Trả lời: 2 người

13.

Nhiệm vụ cho các giải pháp tự: 2. Chủ nhật 19 đệ tử của chúng tôi Lớp học đã đến thăm Panetarium, 10 - In Xiếc và 6 - trong bảo tàng. Thiên văn và xiếc đã đến thăm 5 sinh viên; Thiên văn và bảo tàng - Ba, trong rạp xiếc và bảo tàng là một người. Có bao nhiêu học sinh trong lớp của chúng tôi nếu Không ai có thời gian để đến thăm cả ba địa điểm và Ba không đi đâu cả? Trả lời: 20 người

14.

Nhiệm vụ cho các giải pháp tự: 3. 70 chàng trai nghỉ ngơi trong trại trẻ em. Của Họ đang tham gia vào bộ phim truyền hình, 32 hát Trong dàn hợp xướng, 22 là thích thể thao. TRONG Drumkruzh 10 chàng trai từ hợp xướng, ở Chore 6 vận động viên, trong một bộ phim truyền hình 8 vận động viên, và 3 vận động viên tham dự và Drumkruzh, và hợp xướng. Có bao nhiêu người là ne. Hát ở việc vặt, không thích thể thao và không Họ có làm trong bộ phim không? bao nhiêu Các bạn đang bận rộn thể thao? Trả lời: 10 chàng trai, 11 vận động viên.

15.

Nhiệm vụ cho các giải pháp tự: 4. Nhân viên của công ty 16 đã đến thăm Pháp 10 - In Ý, 6 - ở Anh. Ở Anh I. Ý - Năm, ở Anh và Pháp - 6, trong tất cả ba quốc gia - 5 nhân viên. Bao nhiêu người đến thăm Andaly, và Pháp, Nếu tất cả trong công ty làm việc 19 người đàn ông và tất cả mọi người Tôi đã đến thăm ít nhất một trong số tên quốc gia? Trả lời: 7 nhân viên

16.

từ

C. Vả Ở r T. từ

Và Hòx M. S S trong N. trong khoảng b. N.

Như l trong khoảng Vả T. D. nhưng M. và và M. N. nhưng nhưng C. Z. nhưng D.

Leonard Euler (1707-1783) là một nhà toán học Thụy Sĩ và Nga nổi tiếng, một thành viên của Viện Hàn lâm Khoa học St. Petersburg, phần lớn cuộc sống sống ở Nga. Nổi tiếng nhất về số liệu thống kê, khoa học máy tính và logic là vòng tròn của Euler (sơ đồ Euler-Venna) được sử dụng để chỉ định khối lượng khái niệm và bộ các yếu tố.

John Venn (1834-1923) - Triết gia và logic tiếng Anh, đồng tác giả của biểu đồ Euler-Venna.

Các khái niệm tương thích và không tương thích

Theo khái niệm về logic ngụ ý một hình thức suy nghĩ, phản ánh các dấu hiệu thiết yếu của lớp các đối tượng đồng nhất. Chúng được ký hiệu bởi một hoặc một nhóm các từ: Bản đồ thế giới của người Viking, Quintspekorkord, "Thứ Hai", Thứ Hai và những người khác.

Trong trường hợp khi các yếu tố của khối lượng của một khái niệm được sở hữu đầy đủ hoặc một phần thuộc sở hữu một phần của khối lượng khác, họ nói về các khái niệm tương thích. Nếu không có yếu tố nào của khối lượng của một khái niệm nhất định thuộc về khối lượng khác, chúng tôi có một vị trí có các khái niệm không tương thích.

Đổi lại, mỗi sự xuất hiện của các khái niệm có bộ mối quan hệ có thể của riêng mình. Đối với các khái niệm tương thích, đây là những điều sau đây:

• itemity (tương đương) khối lượng;
• giao nhau (trùng hợp một phần);
• trình (phụ thuộc).

Đối với không tương thích:

• phối hợp (phối hợp);
• ngược lại (tương phản);
• mâu thuẫn (giả mạo).

Sơ đồ, mối quan hệ giữa các khái niệm trong logic là thông lệ với sự trợ giúp của các vòng tròn Euler-Venn.

Mối quan hệ tương đương.

TRONG trường hợp này Khái niệm ngụ ý cùng một chủ đề. Theo đó, khối lượng của các khái niệm này hoàn toàn trùng nhau. Ví dụ:

A - Sigmund Freud;

Trong - người sáng lập phân tâm học.

Hình vuông;

Hình chữ nhật bằng nhau;

C là một hình thoi CITUILIBONAL.

Kết hợp đầy đủ các vòng tròn Euler được sử dụng để chỉ định.

Giao điểm (trùng hợp một phần)

Một giáo viên;

V - Meloman.

Như có thể thấy trong ví dụ này, khối lượng của các khái niệm trùng với một phần: một nhóm giáo viên nhất định có thể là những người yêu âm nhạc và ngược lại - trong số Melifalians có thể là đại diện của nghề sư phạm. Một thái độ tương tự sẽ trong trường hợp trong trường hợp trong và hành động, ví dụ, "công dân", và như trong "Autodist".

ĐĂNG KÝ (ĐĂNG KÝ)

Sơ đồ được chỉ định là các vòng tròn khác nhau của Euler. Mối quan hệ giữa các khái niệm trong trường hợp này được đặc trưng bởi thực tế là khái niệm cấp dưới (ít về khối lượng) là một phần đầy đủ của sự phụ thuộc (khối lượng lớn hơn). Đồng thời, khái niệm cấp dưới không thải hoàn toàn cấp dưới.

Ví dụ:

Một cái cây;

B - thông.

Khái niệm về trong sẽ phụ thuộc vào khái niệm A. Vì thông thuộc về cây cối, sau đó khái niệm A trở thành trong ví dụ này, khái niệm "hấp thụ" của V.

Phối hợp (phối hợp)

Tỷ lệ đặc trưng cho hai hoặc nhiều khái niệm loại trừ nhau, nhưng thuộc về một vòng tròn chung chung nào đó. Ví dụ:

A - Clarinet;

Trong guitar;

C - violin;

D - nhạc cụ.

Tuy nhiên, các khái niệm A, B, C không giao nhau đối với nhau, tuy nhiên, tất cả đều liên quan đến danh mục nhạc cụ (Khái niệm d).

Cơ hội (tương phản)

Các mối quan hệ ngược lại giữa các khái niệm ngụ ý sự thống nhất của các khái niệm này cho cùng một gia đình. Đồng thời, một trong những khái niệm có các tính năng nhất định (tính năng), trong khi người khác phủ nhận, thay thế đối diện với bản chất. Vì vậy, chúng tôi đang đối phó với từ trái nghĩa. Ví dụ:

Một ngôi sao lùn;

B - khổng lồ.

Vòng tròn của Euler về mặt trái ngược giữa các khái niệm được chia thành ba phân đoạn, đầu tiên tương ứng với khái niệm A, thứ hai - khái niệm về B và thứ ba cho tất cả các khái niệm có thể khác.

Mâu thuẫn (tiền chế)

Trong trường hợp này, cả hai khái niệm là các loại cùng loại. Như trong ví dụ trước, một trong những khái niệm chỉ ra những phẩm chất (dấu hiệu) nhất định, trong khi người kia phủ nhận chúng. Tuy nhiên, trái ngược với thái độ ngược lại, khái niệm thứ hai, ngược lại, không thay thế các thuộc tính từ chối của người khác. Ví dụ:

A là một nhiệm vụ khó khăn;

B là một nhiệm vụ dễ dàng (không phải a).

Thể hiện phạm vi của các khái niệm của loại này, vòng tròn Euler được chia thành hai phần - mức thứ ba, trung gian trong trường hợp này không tồn tại. Do đó, các khái niệm cũng là từ trái nghĩa. Đồng thời, một trong số họ (a) trở nên tích cực (phê duyệt bất kỳ dấu hiệu nào) và thứ hai (ở hoặc không) là âm (từ chối dấu hiệu tương ứng): "giấy trắng" - "Không phải giấy trắng", lịch sử yêu nước "-" Lịch sử nước ngoài ", v.v.

Do đó, tỷ lệ của các khái niệm liên quan đến nhau là một đặc điểm chính cần xác định các vòng tròn của Euler.

Mối quan hệ giữa các bộ

Ngoài ra, các khái niệm về các yếu tố và bộ cũng nên được phân biệt, khối lượng hiển thị các vòng tròn của Euler. Khái niệm về bộ được mượn từ khoa học toán học. và khá rộng rãi. Ví dụ về logic và toán học hiển thị nó như một tập hợp các đối tượng nhất định. Các đối tượng là các yếu tố của bộ này. "Lô rất nhiều chu đáo như một" (Georg Kantor, người sáng lập lý thuyết về bộ).

Các bộ cài đặt được thực hiện A, B, C, D ..., v.v., bộ bộ - dòng: a, b, c, d ... và những người khác. Ví dụ về nhiều người có thể là sinh viên trong một đối tượng, sách đứng trên một kệ nhất định (hoặc ví dụ, tất cả các cuốn sách trong một thư viện cụ thể), các trang trong nhật ký, quả mọng trong rừng Glade, v.v.

Lần lượt, nếu một bộ nhất định không chứa một phần tử duy nhất, nó được gọi là trống và biểu thị dấu ø. Ví dụ: một tập các điểm giao nhau đặt nhiều giải pháp của phương trình x 2 \u003d -5.

Giải quyết các nhiệm vụ

Cho các giải pháp số lượng lớn Nhiệm vụ được sử dụng tích cực các vòng tròn Euler. Ví dụ trong logic chứng minh rõ ràng giao tiếp với lý thuyết của bộ. Điều này sử dụng các bảng sự thật của các khái niệm. Ví dụ, vòng tròn được đánh dấu bằng tên A là một khu vực của sự thật. Do đó, khu vực bên ngoài vòng tròn sẽ đại diện cho một lời nói dối. Để xác định khu vực của biểu đồ cho một hoạt động logic, các khu vực nên được tô bóng, xác định vòng tròn của Euler, trong đó các giá trị của nó cho các phần tử a và b sẽ đúng.

Sử dụng vòng tròn của Euler đã tìm thấy rộng công dụng thực tế trong các ngành công nghiệp khác nhau. Ví dụ, trong một tình huống với sự lựa chọn chuyên nghiệp. Nếu chủ đề quan tâm đến việc lựa chọn nghề nghiệp trong tương lai, nó có thể được hướng dẫn bởi các tiêu chí sau:

W - Tôi thích làm gì?

D - Điều gì xảy ra với tôi?

P - Làm thế nào tôi có thể làm cho một tốt?

Nó sẽ miêu tả điều này dưới dạng sơ đồ: Trong logic - tỷ lệ của giao lộ):

Kết quả sẽ là những ngành nghề sẽ ở giao điểm của cả ba vòng tròn.

Một nơi riêng biệt các vòng tròn của Euler-Venna chiếm trong toán học khi tính toán kết hợp và tính chất. Các vòng tròn Euler của nhiều yếu tố nằm trong hình ảnh của một hình chữ nhật biểu thị một bộ phổ quát (U). Thay vì các vòng tròn, các số liệu đóng khác cũng có thể được sử dụng, nhưng bản chất không thay đổi. Các số liệu giao nhau với nhau, theo các điều khoản của nhiệm vụ (trong trường hợp chung nhất). Ngoài ra, các số liệu này phải được chỉ định cho phù hợp. Khi các yếu tố của các bộ đang xem xét, các điểm nằm trong các phân đoạn khác nhau của sơ đồ có thể. Trên cơ sở của nó, có thể che khuất các khu vực cụ thể, từ đó chỉ định các bộ mới được hình thành.

Với các bộ này, nó được phép thực hiện các thao tác toán học cơ bản: Bổ sung (tổng các bộ phần tử), phép trừ (sự khác biệt), phép nhân (công việc). Ngoài ra, nhờ các biểu đồ Euler-Ven, có số lượng hoạt động so sánh bằng số phần tử có trong đó, không tính chúng.

1. Giới thiệu

Quá trình của tin học và CNTT của Trường Chính và Elder được coi là chủ đề quan trọng như vậy là "những điều cơ bản về logic" và "tìm kiếm thông tin trên Internet". Khi giải quyết một loại nhiệm vụ cụ thể, thuận tiện để sử dụng các vòng tròn Euler (biểu đồ Euler-Venna).

Tài liệu tham khảo toán học. Các sơ đồ Euler-Venn được sử dụng chủ yếu trong lý thuyết của các bộ như một hình ảnh sơ đồ của tất cả các giao điểm có thể của một số bộ. Trong trường hợp chung, họ mô tả tất cả các kết hợp 2 N của N thuộc tính. Ví dụ: ở N \u003d 3, sơ đồ Euler-Venna thường được mô tả dưới dạng ba vòng tròn có trung tâm trong các đỉnh của tam giác đều và cùng bán kính, độ dài tương đương với phía tam giác.

2. Trình bày dây chằng logic trong truy vấn tìm kiếm

Khi nghiên cứu chủ đề "Tìm kiếm thông tin về Internet", các ví dụ về các truy vấn tìm kiếm bằng cách sử dụng dây chằng logic tương tự như nghĩa của các công đoàn "và", "hoặc" ngôn ngữ tiếng Nga được xem xét. Ý nghĩa của dây chằng logic đang trở nên rõ ràng hơn nếu chúng minh họa chúng bằng cách sử dụng mạch đồ họa - Vòng tròn Euler (biểu đồ Euler-Venna).

Logic Bunch.	Yêu cầu mẫu	Giải trình	Circles Euler.
& - "và" và "	Paris. & trường đại học	Tất cả các trang sẽ được chọn, nơi cả hai từ được đề cập: Paris và Đại học	Hình.1.
| - "HOẶC LÀ"	Paris. | trường đại học	Tất cả các trang sẽ được chọn trong đó Paris và / hoặc Đại học được đề cập.	Hình.2.

3. Kết nối các hoạt động logic với lý thuyết của bộ

Sử dụng biểu đồ Euler-Venna, bạn có thể gửi trực quan một liên kết giữa các hoạt động logic với lý thuyết đã đặt. Để chứng minh, bạn có thể sử dụng các slide trong Đính kèm 1.

Các hoạt động logic được đặt bởi các bảng sự thật của họ. TRONG Phụ lục 2. Minh họa đồ họa của các hoạt động logic được xem xét chi tiết cùng với các bảng sự thật của họ. Hãy để chúng tôi giải thích nguyên tắc xây dựng biểu đồ trong trường hợp chung. Trên sơ đồ - khu vực của vòng tròn có tên A phản ánh sự thật của câu lệnh A (trong lý thuyết về Circle Circle A - việc chỉ định tất cả các yếu tố có trong bộ này). Theo đó, khu vực bên ngoài vòng tròn hiển thị giá trị "false" của câu lệnh tương ứng. Để hiểu vùng sơ đồ sẽ được hiển thị một thao tác logic chỉ được định hình các khu vực đó trong đó các giá trị của hoạt động logic trên bộ A và B bằng "sự thật".

Ví dụ, giá trị ngụ ý là "sự thật" trong ba trường hợp (00, 01 và 11). Tấn công tuần tự: 1) Khu vực bên ngoài hai vòng tròn giao nhau, tương ứng với các giá trị của A \u003d 0, B \u003d 0; 2) Khu vực chỉ liên quan đến một vòng tròn trong (lưỡi liềm), tương ứng với các giá trị của A \u003d 0, B \u003d 1; 3) Vùng liên quan đến khoanh tròn A và đến một vòng tròn trong (giao lộ) - tương ứng với các giá trị của A \u003d 1, B \u003d 1. Kết hợp ba khu vực này và sẽ biểu diễn đồ họa Hoạt động ngụ ý logic.

4. Sử dụng các vòng tròn của Euler trong bằng chứng bình đẳng logic (luật)

Để chứng minh sự bình đẳng logic, bạn có thể áp dụng phương pháp sơ đồ Euler-Venna. Chúng tôi chứng minh sự bình đẳng sau đây (AVV) \u003d ¬ & ¬v (luật de Morgan).

Đối với một biểu diễn trực quan của phần còn lại của sự bình đẳng, chúng tôi sẽ thực hiện tuần tự: khâu cả hai vòng tròn (áp dụng cho phân biệt) với màu xám, sau đó để hiển thị khu vực khâu đảo ngược bên ngoài các vòng tròn màu đen:

Hình 3. Hình.4.

Để biểu diễn trực quan của phần bên phải của sự bình đẳng, chúng tôi sẽ thực hiện tuần tự: khu vực khâu để hiển thị đảo ngược (¬) màu xám và giống như khu vực cũng có màu xám; Sau đó, để hiển thị liên kết, bạn cần vượt qua các khu vực màu xám này (kết quả lớp phủ được biểu thị bằng màu đen):

Hình.5. Hình.6. Hình.7.

Chúng tôi thấy rằng các khu vực để hiển thị phần bên trái và bên phải bằng nhau. Q.E.D.

5. Nhiệm vụ ở định dạng GIA và EGE về chủ đề: Tìm kiếm thông tin trên Internet

Nhiệm vụ số 11 từ phiên bản demo của GIA 2013.

Bảng hiển thị các yêu cầu đến máy chủ tìm kiếm. Đối với mỗi yêu cầu, mã của nó được chỉ định - chữ cái tương ứng từ A đến thành phố của các mã truy vấn từ trái sang phải theo thứ tự giảm dần.số lượng trang sẽ tìm thấy một máy chủ tìm kiếm cho mỗi yêu cầu.

Mật mã	Thắc mắc
NHƯNG	(Fly & Money) | Samovar.
B.	Fly & Money & Bazaar & Samovar
TRONG	Muha |. Tiền mặt |. Samovar.
G.	Fly & Money & Samovar

Đối với mỗi yêu cầu, chúng tôi xây dựng một biểu đồ Euler-Venna:

Yêu cầu A.

Yêu cầu B.

Yêu cầu B.

Yêu cầu G.

TRẢ LỜI: WAGB.

Nhiệm vụ B12 từ phiên bản demo của EGE-2013.

Bảng hiển thị các yêu cầu và số lượng trang được tìm thấy trên chúng một số phân đoạn của Internet.

Thắc mắc	Tìm thấy trang (trong hàng ngàn)
KHAI THÁC |. Kẻ huỷ diệt	3400
KHUYẾN MÃI & ESMINETS.	900
KHAI THÁC.	2100

Có bao nhiêu trang (trong hàng ngàn) sẽ được tìm thấy theo yêu cầu Kẻ huỷ diệt?

Người ta tin rằng tất cả các yêu cầu đã được thực hiện gần như đồng thời, do đó tập hợp các trang chứa tất cả các từ mong muốn không thay đổi trong quá trình thực thi các yêu cầu.

F - Số trang (tính bằng nghìn) theo yêu cầu KHAI THÁC.;

E - Số lượng trang (tính bằng nghìn) theo yêu cầu Kẻ huỷ diệt;

X - Số lượng trang (tính bằng nghìn) theo yêu cầu mà nó được đề cập KHAI THÁC. và không phảiđề cập Kẻ huỷ diệt;

Y - Số lượng trang (tính bằng nghìn) theo yêu cầu mà nó được đề cập Kẻ huỷ diệt và không phải đề cập Tàu khu trục.

Xây dựng biểu đồ Euler-Venna cho mỗi yêu cầu:

Thắc mắc	Biểu đồ Euler-Venna	Số trang
KHAI THÁC |. Kẻ huỷ diệt	Hình 12.	3400
KHUYẾN MÃI & ESMINETS.	Hình.13.	900
KHAI THÁC.	Hình.4.	2100
Kẻ huỷ diệt	Hình.15.	?

Theo sơ đồ chúng ta có:

1. X + 900 + y \u003d f + y \u003d 2100 + y \u003d 3400. Từ đây chúng tôi tìm thấy y \u003d 3400-2100 \u003d 1300.
2. E \u003d 900 + y \u003d 900 + 1300 \u003d 2200.

Trả lời: 2200.

6. Giải pháp của các nhiệm vụ có ý nghĩa logic bởi bảng xếp hạng Euler-Venna

Trong lớp 36 người. Học sinh của lớp này ghé thăm các vòng tròn toán học, vật lý và hóa học, và vòng tròn toán học được thăm bởi 18 người, vật lý - 14 người, hóa học - 10. Ngoài ra, người ta biết rằng 2 người tham dự cả ba cốc, 8 người - và Toán học và thể chất, 5 và toán học và hóa học, 3 - vật lý và hóa học.

Có bao nhiêu học sinh lớp không tham dự bất kỳ giới?

Để giải quyết nhiệm vụ này, rất thuận tiện và thị giác là việc sử dụng các vòng tròn của Euler.

Vòng tròn lớn nhất là tập hợp tất cả các sinh viên lớp. Bên trong vòng tròn, ba bộ giao nhau: Thành viên toán học ( M.), vật lý ( Như nhau), hóa chất ( Hòx) Vòng tròn.

Để cho được Mfh. - Nhiều chàng trai, mỗi người đến thăm cả ba cốc. MFS. - Nhiều chàng trai, mỗi người trong số đó có những vòng tròn toán học và vật lý và không phải thăm hóa chất. ¬mph. - Nhiều chàng trai, mỗi người đến thăm vòng tròn hóa học và không tham dự các vòng tròn vật lý và toán học.

Tương tự, chúng tôi giới thiệu bộ: ¬MFS, M¬ PHS, M -PHS, ¬MFS, ¬MPH.

Được biết, cả ba vòng tròn đều tham dự 2 người, do đó, trong khu vực Mfh. Chúng tôi thực hiện số 2. Bởi vì 8 người tham dự cả hai vòng tròn toán học và vật lý và trong số họ đã có 2 người đến thăm cả ba cốc, sau đó trong khu vực MFS.chúng tôi sẽ áp đặt 6 người (8-2). Tương tự, chúng tôi xác định số lượng học sinh trong các bộ còn lại:

Chúng tôi tóm tắt số lượng người trong tất cả các lĩnh vực: 7 + 6 + 3 + 2 + 4 + 1 + 5 \u003d 28. Do đó, 28 người từ lớp học thăm Mugs.

Vì vậy, 36-28 \u003d 8 sinh viên không tham dự cốc.

Sau những ngày lễ mùa đông, giáo viên lớp học hỏi những người đi đến nhà hát, rạp chiếu phim hoặc rạp xiếc. Hóa ra là 36 sinh viên của lớp hai không nằm trong rạp chiếu phim. Không trong nhà hát hoặc trong rạp xiếc. 25 người đã đến thăm bộ phim, trong nhà hát - 11, trong rạp xiếc 17 người; và trong rạp chiếu phim, và trong nhà hát - 6; và trong rạp chiếu phim và trong rạp xiếc - 10; Và trong nhà hát và trong rạp xiếc - 4.

Có bao nhiêu người đến thăm các bộ phim và nhà hát và trong rạp xiếc?

Đặt x là số người đã đến thăm rạp chiếu phim và trong rạp chiếu phim và trong rạp xiếc.

Sau đó, bạn có thể xây dựng sơ đồ sau và tính số lượng người ở mỗi khu vực:

Trong rạp chiếu phim và nhà hát đã đến thăm 6 người., Vì vậy, chỉ có trong rạp chiếu phim và nhà hát (thứ 6) người. Tương tự, chỉ trong rạp chiếu phim và rạp xiếc (10) người. Chỉ trong nhà hát và rạp xiếc (4) người. 25 người đã truy cập bộ phim, điều đó có nghĩa là trong số họ chỉ trong phim là 25 - (10-x) - (6-x) - x \u003d (9 + x). Tương tự, chỉ trong nhà hát là người (1 + x) người. Chỉ trong rạp xiếc là người (3 + x) người. Không ở trong nhà hát, rạp chiếu phim và xiếc - 2 người. Vì vậy, 36-2 \u003d 34 người. Chúng tôi đã truy cập các sự kiện. Mặt khác, chúng ta có thể tổng hợp số lượng người ở nhà hát, rạp chiếu phim và xiếc: (9 + x) + (1 + x) + (3 + x) + (10-x) + (6-x) + (4-x) + x \u003d 34 Nó chỉ theo rằng chỉ có một người đã truy cập cả ba sự kiện.

Do đó, các vòng tròn của Euler (biểu đồ Euler-Venna) là sử dụng thực tế khi giải các vấn đề ở định dạng EGE và GIA và khi giải các tác vụ logic đáng kể.

Văn chương

1. V.yu. Lyskova, e.a. Rakitina. Logic trong khoa học máy tính. M .: Khoa học và giáo dục máy tính, 2006. 155 p.
2. L.l. Bosov. Các hợp chất số học và logic của máy tính. M .: Khoa học và giáo dục máy tính, 2000. 207 p.
3. L.l. Bosova, a.yu. Bosov. Sách giáo khoa. Tin học và CNTT cho lớp 8: Thùng. Phòng thí nghiệm kiến \u200b\u200bthức, 2012. 220 s.
4. L.l. Bosova, a.yu. Bosov. Sách giáo khoa. Tin học và CNTT cho lớp 9: Thùng. Phòng thí nghiệm kiến \u200b\u200bthức, 2012. 244 p.
5. Trang web fipi: http://www.fipi.ru/

Nếu bạn nghĩ rằng bạn không biết gì về vòng tròn của Euler, bạn đã nhầm. Trên thực tế, có lẽ bạn đã gặp họ, chỉ không biết nó được gọi như thế nào. Chính xác là ở đâu? Các vòng tròn dưới dạng vòng tròn của Euler đã tạo thành nền tảng của nhiều meme internet phổ biến (được gửi trong mạng lưới hình ảnh trên một chủ đề cụ thể).

Hãy cùng gặp nhau, những vòng tròn này là gì, tại sao chúng được gọi như vậy và tại sao chúng rất thuận tiện để sử dụng để giải quyết nhiều nhiệm vụ.

Nguồn gốc của thuật ngữ

- Đây là một sơ đồ hình học giúp tìm và / hoặc tạo nhiều liên kết logic trực quan hơn giữa các hiện tượng và các khái niệm. Và cũng giúp miêu tả mối quan hệ giữa bất kỳ bộ nào và phần của nó.

Cho đến nay không rõ ràng, phải không? Nhìn vào bức tranh này:

Hình ảnh cho thấy bộ - tất cả các đồ chơi có thể. Một số đồ chơi là các nhà thiết kế - chúng được tô sáng trong một hình bầu dục riêng biệt. Đây là một phần của một bộ "đồ chơi" lớn và đồng thời một bộ riêng (vì nhà thiết kế có thể là "lego", và các hàm tạo nguyên thủy từ hình khối cho trẻ em). Một phần của một bộ lớn "đồ chơi" có thể được mạ đồ chơi. Họ không phải là nhà thiết kế, vì vậy chúng tôi vẽ một hình bầu dục riêng cho họ. "Xe đồng hồ" hình bầu dục màu vàng "đề cập đồng thời đến một bộ đồ chơi" và là một phần của một bộ đồ chơi đồng hồ "nhỏ hơn. Do đó, nó được mô tả trong cả hai hình bầu dục cùng một lúc.

Chà, vậy nó trở nên rõ ràng hơn? Đó là lý do tại sao các vòng tròn của Euler là phương pháp chứng minh rõ ràng: tốt hơn là nhìn một lần nhiều hơn là nghe một trăm lần. Bằng khen của ông là sự rõ ràng đơn giản hóa lý luận và giúp nhận câu trả lời nhanh hơn và dễ dàng hơn.

Tác giả của phương pháp là một nhà khoa học Leonard Euler (1707-1783). Anh ta cũng nói về các chương trình được đặt tên theo ông: "Vòng tròn phù hợp để giảm bớt sự phản xạ của chúng ta." Euler được coi là người Đức, Thụy Sĩ và thậm chí là một nhà toán học người Nga, thợ máy và nhà vật lý. Thực tế là ông đã làm việc trong nhiều năm tại Viện Hàn lâm Khoa học St. Petersburg và đóng góp đáng kể vào sự phát triển của khoa học Nga.

Đối với anh ta, một nhà toán học người Đức và triết gia Gottfried Leibniz đã được hướng dẫn bởi một nguyên tắc như vậy.

Phương pháp Euler nhận được sự công nhận và phổ biến xứng đáng. Và sau anh ta, nhiều nhà khoa học đã sử dụng anh ta trong công việc của họ, và cũng đã sửa đổi theo cách riêng của họ. Ví dụ, toán học Séc Bernard Bolzano đã sử dụng cùng một phương pháp, nhưng với các sơ đồ hình chữ nhật.

Toán học người Đức Ernest Schroeder cũng đóng góp. Nhưng công đức chính thuộc về người Anh John Venna. Ông là một chuyên gia về logic và xuất bản một cuốn sách "logic tượng trưng", trong đó nó được nêu chi tiết phiên bản phương thức của nó (chủ yếu được sử dụng hình ảnh của các giao điểm của bộ).

Nhờ sự đóng góp của Venna, phương pháp thậm chí còn được gọi là biểu đồ của Venna hoặc Euler-Venna khác.

Tại sao bạn cần vòng tròn của Euler?

Vòng tròn của Euler có một điểm đến được áp dụng, nghĩa là, với sự giúp đỡ của họ, trong thực tế, các nhiệm vụ được giải quyết về sự kết hợp hoặc giao điểm của các bộ trong toán học, logic, quản lý và không chỉ.

Nếu chúng ta nói về các loại vòng tròn của Euler, thì chúng có thể được chia thành các loại mô tả sự kết hợp của một số khái niệm (ví dụ: tỷ lệ của chi và loài) - chúng tôi đã xem xét chúng trong ví dụ khi bắt đầu bài viết.

Và cũng trên những người mô tả giao điểm của bộ theo một số dấu hiệu. Nguyên tắc này đã được hướng dẫn bởi John Venn trong các chương trình của mình. Và đó là anh ta là cơ sở của nhiều người nổi tiếng trên Internet. Đây là một ví dụ về các vòng tròn của Euler như vậy:

Hài hước, thực sự? Và quan trọng nhất, mọi thứ ngay lập tức trở nên rõ ràng. Bạn có thể dành nhiều từ, giải thích quan điểm của bạn, nhưng bạn có thể chỉ vẽ lược đồ đơn giảnmà ngay lập tức đặt mọi thứ vào những nơi.

Nhân tiện, nếu bạn không thể quyết định chọn nghề nào, hãy thử vẽ một sơ đồ dưới dạng vòng tròn của Euler. Có lẽ bản vẽ như thế này sẽ giúp bạn quyết định lựa chọn:

Những lựa chọn đó sẽ ở ngã tư của cả ba vòng tròn, và có một nghề nghiệp sẽ không chỉ có thể cho bạn ăn, mà tôi sẽ thích bạn.

Giải quyết các nhiệm vụ bằng cách sử dụng vòng tròn của Euler

Chúng ta hãy xem xét một vài ví dụ về các nhiệm vụ có thể được giải quyết bằng cách sử dụng các vòng tròn của Euler.

Ở đây trên trang web này - http://logika.vobrazovanie.ru/index.php?link\u003dkr_e.html Elena Sergevna Sazhenina cung cấp các nhiệm vụ thú vị và đơn giản để giải quyết phương pháp Euler. Sử dụng logic và toán học, chúng tôi sẽ phân tích một trong số họ.

Nhiệm vụ về phim hoạt hình yêu thích

Sáu học sinh lớp điền vào bảng câu hỏi với các câu hỏi về phim hoạt hình yêu thích của họ. Hóa ra hầu hết những người trong số họ như "Bạch Tuyết và bảy chú lùn", "Sponge Bob Square Quần" và "Sói và Calf". Trong học sinh lớp 38. Bạch Tuyết và bảy chú lùn như 21 học sinh. Hơn nữa, ba trong số chúng cũng giống như Wolf Wolf và Calf, Six - "Sponge Bob Square Quần", và một đứa trẻ yêu tất cả ba phim hoạt hình như nhau. Người hâm mộ "Wolf và Calf" 13 người hâm mộ, năm người hâm mộ, năm trong số đó được gọi là hai phim hoạt hình trong bảng câu hỏi. Cần phải xác định bao nhiêu học sinh lớp sáu giống như "quần vuông bob bob."

Phán quyết:

Kể từ đó, theo các điều khoản của nhiệm vụ, chúng tôi có ba bộ, người da đen được đào tạo. Và vì câu trả lời của các chàng trai xuất hiện rằng các bộ giao nhau với nhau, bản vẽ sẽ trông như thế này:

Chúng tôi nhớ rằng, theo các điều khoản của nhiệm vụ trong số những người hâm mộ của Cartoon Wolf và Calf, năm chàng trai đã chọn hai phim hoạt hình cùng một lúc:

Hóa ra rằng:

21 - 3 - 6 - 1 \u003d 11 - Các chàng trai chỉ chọn "Bạch Tuyết và bảy chú lùn".

13 - 3 - 1 - 2 \u003d 7 - Các chàng trai chỉ xem "sói và bê".

Nó vẫn chỉ để tìm ra bao nhiêu lớp sáu, hai tùy chọn khác thích phim hoạt hình "Sponge Bob Square Quần". Từ tổng số sinh viên, chúng ta lấy tất cả những người yêu thích hai phim hoạt hình khác hoặc chọn một số tùy chọn:

38 - (11 + 3 + 1 + 6 + 2 + 7) \u003d 8 - Người chỉ xem "Quần xốp Bob Square".

Bây giờ chúng ta có thể gấp tất cả các số nhận được và tìm hiểu rằng:

phim hoạt hình "Sponge Bob Square Quần" đã chọn 8 + 2 + 1 + 6 \u003d 17 người. Đây là câu trả lời cho câu hỏi giao hàng trong nhiệm vụ.

Và hãy xem xét bài tậptrong năm 2011 đã được đệ trình lên cuộc biểu tình kiểm tra Ege. Theo khoa học máy tính và CNTT (Nguồn - http://eileracrugi.narod.ru/index / 0-6).

Điều kiện của vấn đề:

Trong các yêu cầu máy chủ tìm kiếm, biểu tượng "|" được sử dụng để biểu thị thao tác logic "hoặc" và ký hiệu "&" được sử dụng.

Bảng hiển thị các yêu cầu và số lượng trang được tìm thấy trên chúng một số phân đoạn của Internet.

Thắc mắc	Tìm thấy trang (trong hàng ngàn)
Cruiser |. Tàu chiến	7000
Cruiser.	4800
Tàu chiến	4500

Có bao nhiêu trang (trong hàng ngàn) sẽ được tìm thấy theo yêu cầu Cruiser & Linor.?

Người ta tin rằng tất cả các câu hỏi được thực hiện gần như đồng thời, để tập hợp các trang chứa tất cả các từ SKED không thay đổi trong thời gian thực hiện của các yêu cầu.

Phán quyết:

Với sự trợ giúp của các vòng tròn Euler, bạn sẽ hiển thị các điều kiện của nhiệm vụ. Đồng thời, các số 1, 2 và 3 sử dụng để chỉ định các khu vực thu được là kết quả.

Dựa trên các điều kiện của vấn đề, để tạo một phương trình:

1. Cruiser |. Linkor: 1 + 2 + 3 \u003d 7000
2. Cruiser: 1 + 2 \u003d 4800
3. Linkor: 2 + 3 \u003d 4500

Để tìm Cruiser & Linor. (được chỉ định trong bản vẽ là Vùng 2), chúng tôi thay thế phương trình (2) vào phương trình (1) và tìm hiểu rằng:

4800 + 3 \u003d 7000, từ nơi chúng tôi nhận được 3 \u003d 2200.

Bây giờ chúng ta có thể thay thế kết quả này trong phương trình (3) và tìm hiểu rằng:

2 + 2200 \u003d 4500, từ đó 2 \u003d 2300.

Trả lời: 2300 - Số lượng trang được tìm thấy theo yêu cầu Cruiser & Battle.

Như bạn có thể thấy, các vòng tròn của Euler giúp nhanh chóng và đơn giản là giải quyết thậm chí đủ phức tạp hoặc đơn giản là bị rối cho nhiệm vụ.

Phần kết luận

Tôi cho rằng chúng tôi đã quản lý để thuyết phục bạn rằng các vòng tròn của Euler không chỉ là một điều thú vị và thú vị, mà còn là một phương pháp giải quyết các vấn đề rất hữu ích. Và không chỉ các nhiệm vụ trừu tượng cho các bài học của trường, mà còn có vấn đề khá sống. Chọn một nghề trong tương lai, ví dụ.

Có lẽ bạn có thể sẽ biết những gì trong hiện đại văn hóa đại chúng Các vòng tròn của Euler được phản ánh không chỉ dưới dạng memes, mà còn trong loạt phim truyền hình phổ biến. Chẳng hạn như "lý thuyết của vụ nổ lớn" và "4).

Sử dụng này hữu ích và phương pháp trực quan Để giải quyết vấn đề. Và hãy chắc chắn nói về anh bạn và bạn cùng lớp. Để làm điều này, dưới bài viết có các nút đặc biệt.

blog.set, với việc sao chép đầy đủ hoặc một phần của tham chiếu vật liệu đến nguồn ban đầu là bắt buộc.