XÁC ĐỊNH ĐỘ CỨNG CỦA HỆ DAO ĐỘNG - Tài Liệu Text - 123doc

1. Trang chủ >
2. Giáo án - Bài giảng >
3. Cao đẳng - Đại học >

XÁC ĐỊNH ĐỘ CỨNG CỦA HỆ DAO ĐỘNG

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.56 MB, 159 trang )

c.Thanh đàn hồi không trọng lượng chịu uốn. Khi này: Hệ số cứng C còn phụthuộc vào điều kiện biên. Ta xét thanh chịu uốn bị ngàm ở một đầu (Hình 8). Độ võngf bằng:1 PL33EJf =, suy ra: P = 3 f = Cf3 EJL3EJỞ đây: EJ là độ cứng chống uốn. Vậy độ cứng C bằng:C= 3(30)L6.2.Hệ các lò xoa.Đối với hệ lò xo mắc song song (Hình 9).Từ biểu thức tính lực đàn hồi, ta có:Fdh = C1 x + C2 x = CxVậy, ta được: C = C1 + C2. Nếu hệ có n lòxo mắc song song, tương tự nhận được:nC = ∑ CiC1CC2(31)i =1b.Đối với hệ lò xo mắc nối tiếp (Hình 10).HÌNH 9Biểu thức tính lực đàn hồi bằng:Fdh = C1 x1 + C2 x2Ở hệ thay thế tương đương hệ số cứng C, lò xo dãn một đoạn:x = x1 + x2 ; Fdh = Cx1 11F1 F2 Fdh+=⇒ =+C1 C2CC C1 C2Nếu hệ có n lò xo mắc nối tiếp, thì hệ số cứng Ccủa lò xo thay thế xác định bởi hệ thức:n11=∑(32)C i =1 CiNói chung độ cứng C được tính toán theo lý thuyếtvới các giả thiết nhất định và có thể tra cứu trong các sổtay kỹ thuật.Ta có:x=Ta thống kê một số công thức ở một số dạng cơ bảnC1CC2HÌNH 10thường dùng trong tính toán (bảng 1).Bảng 1. Công thức xác định các hệ số cứng tương đươngSTT Sơ đồHệ số CGd 4Với G: môđun trượt củaC=8iDvật liệu; d: đường kính dây lò xo;i, D: số vòng và đường kính lò xo.1C12C1C23C2C1C2EJL456aC1C2C1 + C2C =3EJL33EJ (a + b)a 2b 212 EJ (a + b)3C= 3 2a b (3a + 4b)ba8bbLC=3EJ (a + b)3a 3b3C=3EJ(b + L)b 2C=79C=C=baC = C1+ C212 EJ(4b + 3L)b 2bL24EJL3(EJ là độ cứng khi uốn của mộttrong hai lò xo phẳng)C=10L11NL12NLNα 3 EJshα L,α =C=EJα Lchα L − shα Lα 2 EJsh(α L)NC=α=L (α Lchα L − shα L )EJCâu hỏi ôn tập1. Định nghĩa các đại lượng: Chu kỳ T (chu kỳ thời gian); tần số f (tần số dài); Biênđộ và góc pha; Tần số tự nhiên k (tần số riêng, tần số góc). Mối liên hệ giữa các đạilượng T, f, k.2. Định nghĩa bậc tự do của cơ hệ. Các xác định bậc tự do và cho ví dụ.3. Viết biểu thức tính động năng, thế năng, hàm hao tán đã tuyến tính hóa đối với hệcó số bậc tự do n bất kỳ. Suy ra cho hệ có hai bậc tự do và một bậc tự do.4. Các phương pháp thiết lập phương trình chuyển động dao động của cơ hệ (phươngtrình Lagrăng loại II; nguyên lý Đalămbe; phương pháp lực). Viết công thức xác địnhđộ cứng của thanh đàn hồi và hệ lò xo đàn hồi.CHƯƠNG I: DAO ĐỘNG TUYẾN TÍNH CỦA HỆ MỘT BẬC TỰ DO1.1. Dao động tự do của hệ tuyến tính một bậc tự do1.1.1. Dao động tự do không cảnXét hệ một bậc tự do, lực tác dụng lên hệ có thế. Toạ độ suy rộng xác định vị trícơ hệ là q. Phương trình Lagrăng II có dạng:∂πd ⎛ ∂T ⎞ ∂T⎜ • ⎟−=−∂qdt ⎜ ∂ q ⎟ ∂q⎝⎠1 •21Với dao động nhỏ thì: T = a q ; π = cq 2 : Thay vào phương trình trên và rút22••q+ k 2q = 0gọn, ta được:(1-1)cgọi là tần số vòng (riêng) của dao động, đơn vị thường dùngarad/s, nó phụ thuộc vào tính chất của hệ (khối lượng và độ cứng).Phương trình (1-1) là phương trình vi phân mô tả dao động nhỏ tự do của hệtuyến tính một bậc tự do.NTQ của (1-1) tìm được ở dạng:q = C1coskt + C2sinkt(1-2)Đặt: C1 = Asinα; C2 = AcosαTa viết được nghiệm (1-2) dưới dạng biên độ:(1-3)q = Asin(kt +α)Trong đó: k =2Ở đây: A = C12 + C2 là biên độ dao động; (kt +α) là pha dao động; α là pha banđầu; k là tần số vòng (tần số dao động riêng) của hệ.2πa= 2πChu kỳ dao động T tính theo công thức: T =(1-4)kcGọi f là số dao động trong một đơn vị thời gian (tần số dao động), khi đó:1k1 c=(1-5)f = =T 2π 2π aCác hằng số A và α được xác định từ các điều kiện ban đầu. Giả sử tại t = 0:••2q(0) = q0 và q (0) = q 0 ta nhận được: A = q0 +•2q0kqvà α = arctg • 0 . Do đó:2kq0⎛⎞2q0kq⋅ sin ⎜ kt + arctg • 0 ⎟(1-6)⎜⎟k2q0 ⎠⎝Như vậy, dao động nhỏ tự do của hệ tuyến tính một bậc tự do là dao động điều2q = q0 +hoà.Trong thực tế, việc xác định tần số riêng k là nhiệm vụ quan trọng của bài toánnghiên cứu dao động tự do. Bảng 2 thống kê một số công thức đối với k của một số hệđơn giản.Bây giờ ta biểu diễn nghiệm của bài toán trên mặt phẳng pha (hệ tọa độ dịchchuyển - vận tốc). Tại mỗi thời điểm trạng thái của hệ được đặc trưng bằng dịch•chuyển q và vận tốc v = q . Ta có trong trường hợp khảo sát:⎧q = A sin(kt + α )⎪•⎨⎪v = q = Ak cos(kt + α )⎩(1-7)Tập hợp các phương trình này có thể khảo sát như quỹ đạo pha cho ở dạng thôngsố. Để nhận được phương trình quỹ đạo pha cần khử t từ hệ (1-7) ta được:q2v2+ 2 2 =1(1-8)A2 A kNghĩa là phương trình Ellíp (Hình 11a). Điểm biểu diễn ban đầu (từ đó chuyển••động được bắt đầu) tương ứng với điều kiện đầu q(0) = q0 và q (0) = q 0 . Khi thay đổiđiều kiện ban đầu quỹ đạo pha biểu diễn trên Ellíp khác. Tập hợp trạng thái có thể củahệ được mô tả bằng hệ các Ellíp (Hình11). Gốc toạ độ tương ứng với trạng thái cân•bằng của hệ (q0 =0 và q 0 = 0 ). Điểm này là điểm kỳ dị và gọi là tâm.vvq 0, v 0qOqOHÌNH 11Bảng 2: Tần số riêng của một số mô hình dao độngSttMô hình dao động1Hệ khối lượng lòxo đơn giản2Hệ khối lượng lòxo trọng trườngxCmPhương trình•• Cx+ x = 0m(q = x)Cy=0m(q = y)••CyMy+k2CmCmOgL(q = ϕ)••3ϕCon lắc toán họcϕ+ ϕ = 0LmO4••aCon lắc vật lýϕ+ϕJOBàn quaymgaϕ =0JO(q = ϕ )Cm5cm••ϕ+CCϕ =0JoCJO(q = ϕ)rJO O6Hệ khối lượngvắt qua ròng dọc1Cy=0J O m11+m1r 2(q = y)••y+m1yCm••7Cơ cấu gõ nhịpϕ+ϕLCO8Hệ con lăn lò xo9Con lăn trên quỹđạo trònCx+Or JCLϕmJCCrrC10Nửa đĩa tròn trênmặt phẳng1J1 + C2mr(q = x)••1ϕ+J1 + C2mr(q = ϕ)••mC − mgLϕ =0J0(q = ϕ)xmgaJOCx=0mgϕ =0L1CJ1 + O 2 m1m1rC − mgLJO1CJ1 + C2 mmr1gJ1 + C2 LmrmgrCmgrCϕ=2J C + m(r − rC )J C + (r − rC ) 2 m(q = ϕ)••ϕ+Cϕ rm1.1.2. Dao động tự do có cảnỞ trên ta coi sự hao tán năng lượng trong dao động không xảy ra và thiết lập đặctính không tắt dần của dao động tự do. Tuy nhiên các dao động gặp trong thực tế là tắtdần, do: ma sát trong các bộ phận giảm chấn, phanh hãm, tiếp xúc với môi trườngxung quanh v.v...Giả sử lực tác dụng lên hệ ngoài lực có thế còn có lực cản (nhớt) phụ thuộc bậcnhất vào vận tốc. Khi đó phương trình Lagrăng II có dạng:∂π ∂φd ⎛ ∂T ⎞ ∂T⎜ • ⎟−=−− •∂q ∂ qdt ⎜ ∂ q ⎟ ∂q⎝⎠1 •211 •2Với dao động nhỏ: T = a q ; π = cq 2 ; φ = b q . Thay vào phương trình và222rút gọn, ta được:•••q + 2n q + k 2 q = 0(1-9)bcỞ đây: 2n = , k 2 =aaPhương trình (1-9) là phương trình vi phân mô tả dao động nhỏ tự do tắt dần củahệ tuyến tính một bậc tự do. NTQ của (1-9) tìm được dưới dạng: q = eλt . Trong đó λđược xác định từ phương trình đặc trưng sau:λ2 + 2nλ + k2 = 0(1-10)Phương trình (1-10) cho hai nghiệm số:λ1,2 = − n ± n 2 − k 2(1-11)Ta khảo sát ba trường hợp:1.1.2a. Trường hợp 1: n < k (lực cản nhỏ). Trong trường hợp này phương trìnhđặc trưng có nghiệm phức:λ1,2 = −n ± ik1; k1 = k 2 − n 2 ; i 2 = −1Tích phân tổng quát của phương trình (1-9) có dạng:q = e − nt ( C1 cos k1t + C2 sin k1t )Hay viết ở dạng biên độ:(1-12)q = Ae − nt sin( k1t + β )•(1-13)•Khi xét đến điều kiện đầu t = 0: q(0) = q0, q (0) = q 0 Ta có:2⎛•⎞⎛22⎜ q 0 + nq0 ⎟222⎝⎠ ; β = arctg C1 = arctg ⎜ q0 k − nA = C1 + C2 = q0 +•⎜ q + nqk 2 − n2C20⎝ 0⎞⎟⎟⎠2Vậy:⎛•⎞⎛22⎜ q 0 + nq0 ⎟2⎝⎠ e − nt sin ⎜ k t + arctg q0 k − nq = q0 +•⎜ 1k 2 − n2q 0 + nq⎝⎞⎟⎟⎠(1-14)Ở đây: k1 = k 2 − n 2 gọi là tần số dao động tắt dần. Chu kỳ dao động tắt dầnđược xác định bằng:2π2πT1 ==(1-15)k1k 2 − n2Với n khá nhỏ ta viết được:2⎡ 1 ⎛ n ⎞2 ⎤T2π ⎡ 1 ⎛ n ⎞ ⎤≈T1 =⎢1 + ⎜ ⎟ ⎥ = T ⎢1 + ⎜ ⎟ ⎥2k ⎢ 2⎝ k ⎠ ⎥⎢ 2⎝ k ⎠ ⎥⎣⎦⎣⎦⎛n⎞1− ⎜ ⎟⎝k⎠(1-16)ntNghiệm (1-13) của phương trình (1-9) chỉ ra rằng: Độ lệch A e của hệ có cảngiảm theo thời gian với quy luật hàm số mũ. Nó tiệm cận tới không và do đó dao độnglà tắt dần (Hình 1-1).qOy1yT1tT1Trong thực tế để đặc trưng cho sự giảm biên độ người ta thường dùng một đạiHÌNH 1-1lượng, ký hiệu δ và gọi là độ suy giảm Lôgarit của dao động:y2πδ = lnψ = ln = nT1 =(1-17)2y1k⎞⎛⎜ ⎟ −1⎝n⎠Muốn xác định δ bằng thực nghiệm, ta dùng công thức gần đúng:⎡ Δy ⎛ Δy ⎞ 2⎤ Δyyy= ln ⎢1 ++ ⎜ ⎟ + ...⎥ ≈δ = ln = ln(1-18)y1y − Δyy ⎝ y ⎠⎢⎥ y⎣⎦1.1.2b. Trường hợp 2: n > k (Lực cản lớn). Trong trường hợp này cả hai nghiệmcủa phương trình đặc trưng đều thực và âm:λ1,2 = −n ± k2 , k2 = n 2 − k 2Phương trình (1-9) có NTQ dạng:ntk2tq = e (C1e k2t + C2 e )(1-19)Khi tính điều kiện ban đầu như trường hợp 1, ta có:••q ( k + n) + q 0q ( k − n) − q 0; C2 = 0 2C1 = 0 22k22k2••⎡⎤q0 ( k2 + n) + q 0 k2t q0 ( k2 − n) − q 0 k2t ⎥− nt ⎢q=ee +eTừ đó:⎢⎥2k 22k 2⎣⎦Hệ qua vị trí cân bằng tại các thời điểm thoả mãn phương trình:••⎡⎤q0 (k2 + n) + q 0 2 k2t q0 (k2 − n) − q 0 ⎥− ( k2 + n ) t ⎢+=0ee⎢⎥2k 22k 2⎣⎦(1-20)Với giá trị của biểu thức trong dấu móc bất kỳ, vế trái của phương trình → 0 khit → ∞. Ta có chuyển động không tuần hoàn tắt dần.1.1.2c. Trường hợp 3: n = k (lực cản tới hạn). Trong trường hợp này nghiệm củaphương trình đặc trưng là thực, âm và bằng nhau. NTQ của (1-9) có dạng:q = e − nt (C1t + C2 )(1-21)Chuyển động của hệ là tắt dần, không dao động.Trong một số tài liệu kỹ thuật trình bày về dao động người ta còn sử dụng kháiniệm độ cản Lehr - Độ cản Lehr ký hiệu là D, được xác định bởi hệ thức:nbbD= =(1-22)=k 2ak 2 acPhương trình (1-9) có thể viết dưới dạng:•••q + 2 Dk q + k 2 q = 0(1-23)k 2 − n 2 = k 1 − D 2 , nên chuyển động của hệ được phân ra các trường hợp:D < 1: Độ cản nhỏ.D > 1: Độ cản lớn.D = 1: Độ cản tới hạn.Như thế, khi D < 1 chuyển động của hệ là dao động tắt dần. Khi D ≥ 1 chuyểnđộng của hệ là tắt dần không dao động.Giữa độ cản Lehr D với độ suy giảm Lôgarit δ, có liên hệ bằng hệ thức sau:Dδ = 2π(1-24)1 − D2Thí dụ 1-1:Xét dao động nhỏ của con lắc toán học có độ dài L, khối lượng m (Hình 1-2). Lấyθ làm tọa độ suy rộng. Tọa độ của khối lượng m bằng: x = Lsinθ; y = Lcosθ. Do đó:1 2 1 ⎛ •2 •2⎞ 1 2 •2T = mv = m ⎜ x + y ⎟ = mL θ22 ⎝x⎠ 2DoThế năng của con lắc bằng công của trọng lượng OuuruurP = m g thực hiện trên di chuyển của nó từ vị trí khảoθsát (hình vẽ) tới vị trí cân bằng (thẳng đứng).π = mgL(1 − cosθ )11Do θ bé, 1-cosθ ≈ θ 2 nên: π = mglθ 222yThay các kết quả vào phương trình Lagrăng loại II:d ⎛ ∂T ⎞ ∂T∂π=−⎜ • ⎟−dt ⎜ ∂ θ ⎟ ∂θ∂θ⎝⎠Ta nhận được phương trình dao động nhỏ của con lắc:••gθ+ θ = 0LLmHÌNH 1-2Đó là dao động điều hoà với tần số riêng k =gLvà chu kỳ T = 2π.LgThí dụ 1-2:Xét dao động xoắn nhỏ của đĩa gắn vào đầu mút dướicủa thanh đàn hồi không trọng lượng dài L. Mút trên củathanh bị ngàm (Hình 1-3). Gọi M là khối lượng của đĩa; ρ làbán kính quán tính của đĩa đối với trục thanh; G là môđunLtrượt của vật liệu thanh; JP là mômen quán tính độc cực củatiết diện ngang thanh.GJ PĐộ cứng của thanh khi xoắn bằng C =. Lấy θ làθLgóc quay của đĩa đối với vị trí cân bằng ổn định. Động•21HÌNH 1-3năng của đĩa bằng: T = M ρ 2 θ . Thế năng đàn hồi của21nó khi θ nhỏ (tuân theo định luật Hooke) là π = Cθ 2 . Áp dụng phương trình La2grăngII như thí dụ 1-1, ta nhận được phương trình dao động nhỏ khi xoắn:•M ρ 2 θ + Cθ = 0Đó là dao động điều hoà với tần số riêng k =CM ρ2và chu kỳ T = 2π.CM ρ2Thí dụ 1-3:Người ta treo tải trọng trọng lượng P bằng một thanhtuyệt đối cứng dài 2L. Ở giữa thanh có gắn hai lò xo đàn hồiLϕcó cùng độ cứng C. Tải trọng được ngâm trong bình chứaCCchất lỏng nhớt. Trong quá trình tải trọng thực hiện daođộng nhỏ tự do chất lỏng gây ảnh hưởng làm giảm dao độngLlên hệ (Hình 1-4). Tìm hệ số ma sát nhớt của hệ, nếu chu kỳdao động tắt dần của hệ T1 = 1s; các tham số của hệ lấy cácPgiá trị sau đây: P = 100 N; 2L = 30cm; Đường kính lò xoD = 2cm; đường kính dây cuốn lò xo d = 2mm; Môđun trượtcủa vật liệu làm lò xo G = 8.106 N/cm2; Số vòng của mỗiHÌNH 1-4lò xo i = 6.Bài giải:Hệ có một bậc tự do. Chọn toạ độ suy rộng q = ϕ là góc lệch nhỏ của thanh sovới phương thẳng đứng. Phương trình Lagrăng II áp dụng cho trường hợp này có dạng:∂π ∂φd ⎛ ∂T ⎞ ∂T⎜ • ⎟−=−− •∂ϕ ∂ ϕdt ⎜ ∂ ϕ ⎟ ∂ϕ⎝⎠2•1 P 2 1 P⎛2P 2 • 2⎞V =Lϕ2Lϕ ⎟ =Ta có: T =⎜g2g2g⎝⎠Cλ 2π = P.2 L(1 − cos ϕ ) + 2; λ = Lsinϕ là độ co dãn của lò xo so với vị trí cân2bằng thẳng đứng của thanh (khi lò xo chứa biến dạng), với ϕ nhỏ: 1 – cosϕ ≈ϕ22;sinϕ ≈ ϕ;Do đó thế năng của hệ bằng: π = L( P + CL)ϕ 2Gọi β là hệ số ma sát nhớt của hệ (chất lỏng), hàm hao tán φ xác định bằng côngthức:1 •2φ = βϕ2Thay các giá trị tính được vào phương trình Lagrăng II và rút gọn, ta nhận được:••β g • ( P + CL) gϕ+ϕ+ϕ =02 PL2 PL2πChu kỳ dao động tắt dần là: T1 =(a)k 2 − n2P + CL.g2 PLGd 4Gọi C là độ cứng lò xo và được tính theo công thức sau: C =8 D3iThay số vào ta được: C = 33,3 N/cm. Do đó, từ (b) sẽ tính được: k=14rad/s.k là tần số dao động tự do (khi không có lực cản) bằng: k =(b)4π 2Từ (a) giải được: 2n = k − 2 ; thay số vào ta có: 2n = 12,5rad/s.T12Hệ số cản chuyển động tìm từ điều kiện:βg4nPL2n =⇒β =. Thay số ta được: β = 76,5 NS.g2 PL1.2. Dao động cưỡng bức của hệ tuyến tính một bậc tự doDao động cưỡng bức xảy ra khi hệ có tác dụng của các kích động ngoài. Các kíchđộng này có thể tuần hoàn hoặc va chạm.Giả sử hệ khảo sát chịu tác dụng của các lực có thế, các lực cản (nhớt) phụ thuộcuurbậc nhất vào vận tốc và các lực kích động ngoài là hàm của thời gian t: P (t ) .Gọi QP là lực suy rộng của lực kích động ngoài. Phương trình Lagrăng II trongtrường hợp này có dạng:d ⎛ ∂T ⎞ ∂T∂π ∂φ⎜ • ⎟−=−− • + QPdt ⎜ ∂ q ⎟ ∂q∂q ∂ q⎝⎠

Xem Thêm

Tài liệu liên quan

• giáo trình lý thuyết dao động
  • 159
  • 1,230
  • 4
• Đề KT chương IV Đại số 7
  • 0
  • 7
  • 0
• Phần mềm hổ trợ việc cắt nhạc
  • 0
  • 5
  • 0
• tác động của nội lực
  • 12
  • 486
  • 0
• 250 câu hỏi ôn tâp tốt nghệp
  • 26
  • 416
  • 0
• Câu hỏi ôn tập học kỳ 1
  • 29
  • 637
  • 0
• Đề trắc nghiệm tổng hợp
  • 4
  • 516
  • 1
• Trắc nghiệm sinh học
  • 26
  • 555
  • 2
• Đề thi casio thpt của tphcm năm 2007
  • 1
  • 595
  • 8
• Đề thi casio thpt của tphcm năm 2007
  • 1
  • 94
  • 0

Tải bản đầy đủ (.pdf) (159 trang)

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

(1.56 MB) - giáo trình lý thuyết dao động-159 (trang) Tải bản đầy đủ ngay ×