Xác định Tính Chẵn Lẻ Của Hàm Số Lượng Giác

XÁC ĐỊNH TÍNH CHẴN LẺ CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

A. Lý thuyết

Phương pháp chung

Ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Tìm tập xác định D của hàm số, khi đó:

  Nếu D là tập đối xứng (tức là \[\forall x\in D\Rightarrow -x\in D\] ), ta thực hiện tiếp bước 2

  Nếu D không là tập đối xứng (tức là $\exists x\in D$ mà \[-x\notin D\] ), ta kết luận hàm số không chẵn cũng không lẻ.

Bước 2: Xác định \[f\left( -x \right)\] , khi đó:

   Nếu \[f\left( -x \right)=f\left( x \right)~\]kết luận hàm số là hàm chãn

   Nếu \[f\left( -x \right)=-f\left( x \right)~\]kết luận hàm số là hàm lẻ

   Ngoài ra kết luận hàm số không chẵn cùng không lẻ

B. Bài tập minh họa

Câu 1: Xác định tính chẵn lẻ hàm số $y=2x-\sin 3x$.

Giải:

Tập xác định $D=\mathbb{R}$.

Với $\forall x\in D$ thì $-x\in D$.

Ta có     $f\left( x \right)=2x-\sin 3x$.

$f\left( -x \right)=2\left( -x \right)-\sin 3\left( -x \right)=-2x+\sin 3x=-\left( 2x-\sin 3x \right)$.

$\Rightarrow f\left( -x \right)=-f\left( x \right),\forall x\in D$.

Vậy $y=2x-\sin 3x$ là hàm số lẻ

Câu 2: Xác định tính chẵn lẻ hàm số $y=1+2{{x}^{2}}-\cos 3x$.

Giải:

Tập xác định $D=\mathbb{R}$.

Với $x\in D$ thì $-x\in D$.

Ta có           $f\left( x \right)=1+2{{x}^{2}}-\cos 3x$.

          $f\left( -x \right)=1+2{{\left( -x \right)}^{2}}-\cos 3\left( -x \right)=1+2{{x}^{2}}-\cos 3x=f\left( x \right)$.

          $\Rightarrow f\left( -x \right)=f\left( x \right),\forall x\in D$.

Vậy $y=1+2{{x}^{2}}-\cos 3x$ là hàm số chẵn.

Câu 3: Xác định tính chẵn lẻ hàm số $y=2-\sin x\cos \left( \frac{5\pi }{2}-2x \right)$.

Giải:

Ta có $y=2-\sin x\cos \left( \frac{5\pi }{2}-2x \right)=2-\sin x\sin 2x$.

Tập xác định $D=\mathbb{R}$.

Với $x\in D$ thì $-x\in D$.

Ta có           $f\left( x \right)=2-\sin x\sin 2x$.

          \[f\left( -x \right)=2-\sin \left( -x \right)\sin \left( -2x \right)=2-\sin x\sin 2x\].

          $\Rightarrow f\left( -x \right)=f\left( x \right),\forall x\in D$.

Vậy hàm y chẵn.

Câu 4: Xác định tính chẵn lẻ hàm số $y=\left| x \right|\cos 2x$.

Giải:

Tập xác định $D=\mathbb{R}$.

Với $x\in D$ thì $-x\in D$.

Ta có           $f\left( x \right)=\left| x \right|\cos 2x$.

          \[f\left( -x \right)=\left| -x \right|\cos \left( -2x \right)=\left| x \right|\cos 2x=f\left( x \right)\].

$\Rightarrow f\left( -x \right)=f\left( x \right),\forall x\in D$.

Vậy y là hàm chẵn.

Câu 5: Xác định tính chẵn lẻ hàm số $y=4{{x}^{2}}-\sin \left| 3x \right|$.

Giải:

Tập xác định $D=\mathbb{R}$.

Với $x\in D$ thì $-x\in D$.

Ta có           $f\left( x \right)=4{{x}^{2}}-\sin \left| 3x \right|$.

          $f\left( -x \right)=4{{\left( -x \right)}^{2}}-\sin \left| -3x \right|=4{{x}^{2}}-\sin \left| 3x \right|=f\left( x \right)$.

          $\Rightarrow f\left( -x \right)=f\left( x \right),\forall x\in D$.

Vậy y là hàm chẵn.

Câu 6: Xác định tính chẵn lẻ hàm số $y=\tan x-2\cos 3x$.

Giải:

Tập xác định $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z} \right\}$.

Với $x\in D$ thì $-x\in D$.

Ta có $f\left( \frac{\pi }{4} \right)=1+\sqrt{2},\text{ }f\left( -\frac{\pi }{4} \right)=-1+\sqrt{2}\Rightarrow \text{ }f\left( -\frac{\pi }{4} \right)\ne f\left( \frac{\pi }{4} \right)$ và $f\left( -\frac{\pi }{4} \right)\ne -f\left( \frac{\pi }{4} \right)$.

Vậy hàm y không chẵn, không lẻ.

Câu 7: Xác định tính chẵn lẻ hàm số $y=\sin x{{\cos }^{2}}x+\tan x$.

Giải:

Tập xác định $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z} \right\}$.

Với $\forall x\in D$ thì $-x\in D$.

Ta có           $f\left( x \right)=\sin x{{\cos }^{2}}x+\tan x$.

          $f\left( -x \right)=\sin \left( -x \right){{\cos }^{2}}\left( -x \right)+\tan \left( -x \right)=-\sin x{{\cos }^{2}}x-\tan x$.

          $\Rightarrow f\left( -x \right)=-f\left( x \right),\forall x\in D$.

          Vậy y là hàm số lẻ.

Câu 8: Xác định tính chẵn lẻ hàm số $y=1+\cos x\sin \left( \frac{3\pi }{2}-3x \right)$.

Giải:

Ta có $y=1+\cos x\sin \left( \frac{3\pi }{2}-3x \right)=1-\cos x\cos 3x$.

Tập xác định $D=\mathbb{R}$.

Với $x\in D$ thì $-x\in D$.

Ta có           $f\left( x \right)=1-\cos x\cos 3x$.

          $f\left( -x \right)=1-\cos \left( -x \right)\cos \left( -3x \right)=1-\cos x\cos 3x=f\left( x \right)$.

          $\Rightarrow f\left( -x \right)=f\left( x \right),\forall x\in D$.

Vậy y là hàm chẵn.

Câu 9: Xác định tính chẵn lẻ hàm số $y=\frac{\left| x \right|\sin 2x}{{{\cos }^{3}}2x}$.

Giải:

Hàm số xác định $\Leftrightarrow {{\cos }^{3}}2x\ne 0\Leftrightarrow \cos 2x\ne 0\Leftrightarrow x\ne \frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2},k\in \mathbb{Z}$.

Tập xác định $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2},k\in \mathbb{Z} \right\}$.

Với $x\in D$ thì $-x\in D$.

Ta có           $f\left( x \right)=\frac{\left| x \right|\sin 2x}{{{\cos }^{3}}2x}$.

          $f\left( -x \right)=\frac{\left| -x \right|\sin \left( -2x \right)}{{{\cos }^{3}}\left( -2x \right)}=-\frac{\left| x \right|\sin 2x}{{{\cos }^{3}}2x}$.

          $\Rightarrow f\left( -x \right)=-f\left( x \right),\forall x\in D$.

          Vậy y là hàm số lẻ.

Câu 10: Xác định tính chẵn lẻ hàm số $y=\frac{2\sin x-4\tan x}{5+\cos x}$.

Giải:

Biểu thức $5+\cos x\ne 0,\forall x\in \mathbb{R}$ nên tập xác định của hàm số là $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z} \right\}$.

Với $\forall x\in D$ thì $-x\in D$.

Ta có           $f\left( x \right)=\frac{2\sin x-4\tan x}{5+\cos x}$.

          $f\left( -x \right)=\frac{2\sin \left( -x \right)-4\tan \left( -x \right)}{5+\cos \left( -x \right)}=\frac{-2\sin x+4\tan x}{5+\cos x}$.

          $\Rightarrow f\left( -x \right)=-f\left( x \right),\forall x\in D$.

          Vậy y là hàm số lẻ.

C. Bài tập rèn luyện

Xét tính chẵn lẻ của hàm số.

      1. y = xcos3x      2.\[y=\frac{1+\cos x}{1-\cos x}\]       3. y = x3sin2x             4.\[y=\frac{{{x}^{3}}-\sin x}{\cos 2x}\]

      5. \[y=\frac{\cos 2x}{x}\]     6. y = x – sinx            7. \[y=\sqrt{1-\cos x}\]        8.\[y=1+\cos x\sin \left( \frac{3\pi }{2}-2x \right)\]

      9. y = cosx + sin2x   10. y = sin2x + cos2x   11. y = cot2x + 5sinx   12. \[y=\tan \left( x-\frac{\pi }{3} \right)\]

 

                                               

 

Bài viết gợi ý:

1. Hàm số lượng giác (Dạng 4)

2. QUY TẮC NHÂN

3. QUY TẮC CỘNG

4. Chứng Minh Ba Đường Thẳng Đồng Quy

5. Chứng Minh Ba Điểm Thẳng Hàng

6. Thiết Diện

7. Giao Điểm Giữa Đường Thẳng Và Mặt Phẳng