Xác Suất Có điều Kiện - Phương Pháp Giải Các Dạng Toán (Đại Số Và ...

§6. XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN

6.1. Khái niệm

Xác suất của biến cố B được tính trong điều kiện biến cố A đã xảy ra, kí hiệu P(B | A), được gọi là xác suất của B với điều kiện A.

6.2. Ứng dụng

Với hai biến cố A, B bất kì ta có P(AB) = P(A).P(B | A).

Ví dụ 40.

Trong hộp có 3 viên bi màu trắng và 7 viên bi màu đỏ. Lấy lần lượt mỗi lần một viên theo cách lấy không trả lại. Tính:

a) Xác suất để viên bi lấy lần thứ hai là màu đỏ nếu biết rằng viên bị lấy lần thứ nhất cũng là màu đỏ.

a) Xác suất để viên bi lấy lần thứ hai là màu đỏ nếu biết rằng viên bi lấy lần thứ nhất là màu trắng.

Giải.

a) Sau khi biết viên bi lấy lần thứ nhất là màu đỏ, thì trong hộp còn lại 9 viên, gồm 3 viên bi màu trắng và 6 viên bi màu đỏ. Vậy xác suất để viên bi lấy lần thứ hai là màu đỏ nếu biết rằng viên bi lấy lần thứ nhất cũng màu đỏ là

b) Giả sử viên bi lấy lần thứ nhất là màu trắng, thế thì trong hộp còn lại 9 viên, gồm 2 viên bi màu trắng và 7 viên bi màu đỏ.

Vậy xác suất để viên bi lấy lần thứ hai là màu đỏ nếu biết rằng viên bi lấy lần thứ nhất màu trắng là

Nhận xét.

Gọi A là biến cố “viên bi lấy lần thứ nhất là màu đỏ”.

Gọi B là biến cố “viên bi lấy lần thứ hai là màu đỏ”.

Xác xuất trong câu a) là P(B | A).

Xác xuất trong câu b) là P(B | $\bar{A}$).

Ví dụ 41.

Một bình đựng 5 viên xanh và 3 viên bi đỏ chỉ khác nhau về màu sắc. Lấy ngẫu nhiên một viên bi, rồi lấy tiếp một viên bi nữa. Tính xác suất của biến cố "lấy lần thứ hai được một viên bi xanh".

Giải.

Gọi A là biến cố “lần thứ nhất lấy được bi xanh”, ta có $\bar{A}$ là biến cố “lần thứ nhất lấy được bi đỏ”. Gọi B là biến cố “lần thứ hai lấy được bi xanh”. Như vậy, biến cố B xảy ra cùng với A hoặc $\bar{A}$. Do đó :

B = BA + B$\bar{A}$.

Mà BA và B$\bar{A}$ là hai biến cố xung khắc nhau nên ta có

P(B) = P(BA) + P(B$\bar{A}$).

Sử dụng công thức xác suất có điều kiện ta có

P(B) = P(A).P(B | A) + P($\bar{A}$).P(B | $\bar{A}$).

BÀI TẬP

2.36. Để xét hiệu quả của một loại Vaccine, người ta điều tra tình hình mắc bệnh trên 1000 người dân có và không có tiêm phòng loại Vaccine này. Số liệu thu được như sau:

Chọn ngẫu nhiên một người trong số 1000 người này. Gọi A là biến cố “người đó có tiêm phòng”, B là biến cố “người đó không tiêm phòng”, C là biến cố “người đó bị mắc bệnh”, D là biến cố “người đó không bị mắc bệnh”.

a) Tính P(A), P(B), P(C) và P(D).

b) Tính P(AC), P(AD), P(BC), P(BD).

c) Tính P(C | A), P(C | B).

2.37. Trong một lô sản phẩm có 95% sản phẩm đạt tiêu chuẩn. Trong số sản phẩm đạt tiêu chuẩn có 60% sản phẩm loại một. Ta lấy ngẫu nhiên một sản phẩm từ lô sản phẩm này. Tính xác suất để được sản phẩm loại một.

HƯỚNG DẪN GIẢI

2.36.

b) AC là biến cố “người đó có tiêm phòng và bị mắc bệnh”.

AD là biến cố “người đó có tiêm phòng và không bị mắc bệnh”.

BC là biến cố “người đó không tiêm phòng và mắc bệnh”.

BD là biến cố “người đó không tiêm phòng và không mắc bệnh”.

Ta có :

c) P(C | A) là xác suất người được chọn ngẫu nhiên ra là bệnh biết rằng người đó là có tiêm phòng. Ta có :

P(C | B) là xác suất người được chọn ngẫu nhiên ra là không mắc bệnh biết rằng người đó thuộc nhóm không tiêm phòng. Ta có :

2.37. Gọi A là biến cố “sản phẩm lấy ra là loại một”, B là biến cố “sản phẩm lấy ra là đạt tiêu chuẩn”. Xác suất cần tính là :

P(A) = P(A.B) = P(B).P(A | B).

Vậy P(A) = 0,95.0,6 = 0,570.