Calcul De Fraction Continue - Développement - DCode

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Outil de calcul de fractions continues. Une fraction continue (ou fraction continuée) est une représentation d'un nombre N sous la forme d'une série d'entiers (a0, a1, …, an) tels que N = (a0+1/(a1+1/(a2+1/(…1/(an))).

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Fractions Continues - dCode

Catégorie(s) : Séries

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Fractions Continues

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Développement en fractions continuées

Fraction ou Nombre à virgule Nombre d'étapes maxi (Nième Approximation) Afficher la valeur numérique Calculer Voir aussi : Fractions Irréductibles — PGCD (Plus Grand Commun Diviseur)

Calcul du Nombre à partir d'une fraction continue

Liste de Nombres représentant la Fraction continue

Afficher la valeur comme

Fraction ou nombre exact Valeur numérique (approximation)

Calculer Voir aussi : Calculs avec des Fractions

Réponses aux Questions (FAQ)

Qu'est-ce qu'une fraction continuée ? (Définition)

Une fraction continuée est une écriture d'un nombre sous la forme d'une fraction imbriquée, construite a partir d'entiers.

Elle s'écrit sous la forme générale : $$ a_0 + \cfrac{1}{ a_1 + \cfrac{1}{ a_2 + \cfrac{1}{ a_3 + \cdots}}} $$

ou, de manière abrégée : $ [ a_0;a_1;a_2;a_3;\dots ] $

Le coefficient $ a_0 $ est un entier relatif, et les coefficients suivants $ a_1, a_2, \ldots $ sont des entiers strictement positifs.

Une fraction continuée est dite finie lorsque le développement s'arrête apres un nombre fini d'étapes. Elle représente alors exactement un nombre rationnel.

Une fraction continuée est dite infinie lorsque le développement se poursuit indéfiniment. Elle représente alors un nombre irrationnel.

Comment calculer une fraction continue ? (Algorithme de calcul)

Le principe de développement en fraction continuée repose sur l'algorithme d'Euclide de division euclidienne, comme pour le calcul du PGCD.

Chaque quotient obtenu correspond a un coefficient de la fraction continue.

Exemple : La fraction rationnelle approximant pi $ \frac{355}{113} = 3.14159292035\ldots $ découle du fait que $$ 355 = 113 \times \fbox{3} + 16 \\ 113 = 16 \times \fbox{7} + 1 \\ 16 = 1 \times \fbox{16} + 0 $$ Les quotients successifs sont $ 3 $, $ 7 $ et $ 16 $. La fraction continue correspondante est donc $ [3,7,16] $

Certains développements de fractions continues sont infinis

Pour trouver la fraction correspondante, utiliser l'outil de fractions irréductibles.

Comment trouver les convergents a partir d'une fraction continuée ?

Les convergents d'une fraction continuée sont les fractions rationnelles obtenues en tronquant successivement son développement.

Pour une fraction continuée $ [ a_0;a_1;a_2;a_3;\dots ] $ le nième convergent est $ [ a_0;a_1;a_2;\dots;a_n ] $

Les convergents fournisent les meilleures approximations rationnelles du nombre représenté.

Comment calculer la fraction continue d'une racine ?

Calculer une valeur approchée de la racine (appromimation la plus précise possible) et dCode fournira la fraction continue correspondante.

Comment écrire une fraction continue en LaTeX ?

La manière recommandée est d'utiliser cfrac : $$ e=2+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{ 1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{4+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{6+\cdots}}}}}}}} $$

Mais la manière courte, appellée abrégée, s'écrit $$ e = [2 ; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, \cdots] $$

Quelles sont les fractions continues remarquables ?

Les fractions continues les plus connues sont :

— Racine de 2 : $ \sqrt{2} = [1;2,2,2,2,2,\cdots] $

— Nombre d'or $ \Phi = [1;1,1,1,1,1,\cdots] $

Fraction continue ou fraction continuée ?

Fraction continue est le terme le plus utilisée, d'où le nom de cette page, et fraction continuée est souvent considéré comme un anglicisme (continued fraction).

Cependant, ces fractions sont des continuations à l'infini de fractions, elles sont sans vrai rapport avec la notion mathématique de continuité. Le terme le plus exact mathématiquement serait donc fractions continuées et non pas fractions continues. (Merci JMV)

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Citation

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