Determinante Di Una Matrice - YouMath

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Il determinante di una matrice quadrata A è un numero che esprime alcune proprietà algebriche e geometriche della matrice; si indica con det(A) o, a seconda dei casi, con |A|.

In questa lezione spieghiamo tutti i modi per calcolare il determinante di una qualsiasi matrice quadrata di ordine n ≥ 1.

Il metodo generale è quello descritto dal teorema di Laplace, che vale per una qualsiasi matrice quadrata, ma prima trattiamo due tecniche particolari: una per il calcolo del determinante di matrici di ordine 2 e l'altra per il calcolo del determinante di matrici di ordine 3.

Fatto ciò passiamo a un po' di aspetti teorici: elenchiamo le proprietà del determinante e ne diamo una definizione formale.

Prima di proseguire, onde evitare fraintendimenti, ribadiamo che il determinante è definito solamente per matrici quadrate e che non è possibile calcolarlo nel caso di matrici rettangolari.

Indice

  1. Matrici 1x1
  2. Matrici 2x2
  3. Matrici 3x3 (regola di Sarrus)
  4. Matrici qualsiasi (sviluppo di Laplace)
  5. Metodo di Gauss-Jordan
  6. Proprietà
  7. Definizione formale

Determinante di matrici 1x1

Il determinante di una matrice formata da un solo elemento è uguale all'elemento stesso:

det[a_(11)] = a_(11)

Determinante di matrici 2x2

Il determinante di una matrice quadrata di ordine 2 si calcola come prodotto degli elementi della diagonale principale meno il prodotto degli elementi dell'antidiagonale.

Dunque, se abbiamo una matrice 2x2, possiamo calcolarne il determinante con la formula:

det[a b ; c d] = ad−bc

Esempi sul determinante di una matrice di ordine 2.

Calcoliamo il determinante delle seguenti matrici:

A = [1 3 ; 4 5] B = [6 12 ; 3 6] C = [−2 5 ; 0 −1]

Svolgimento. Applichiamo la formula del caso 2x2:

det(A) = det[1 3 ; 4 5] = 1·5−3·4 = 5−12 = −7 ; det(B) = det[6 12 ; 3 6] = 6·6−12·3 = 36−36 = 0 ; det(C) = det[−2 5 ; 0 −1] = −2·(−1)−5·0 = 2−0 = 2

Determinante di matrici 3x3 - regola di Sarrus

Per calcolare il determinante di una matrice quadrata di ordine 3 possiamo applicare la regola di Sarrus, secondo cui:

det[a_(11) a_(12) a_(13) ; a_(21) a_(22) a_(23) ; a_(31) a_(32) a_(33)] = a_(11)·a_(22)·a_(33)+a_(12)·a_(23)·a_(31)+a_(13)·a_(21)·a_(32)+;−(a_(13)·a_(22)·a_(31)+a_(12)·a_(21)·a_(33)+a_(11)·a_(23)·a_(32))

Ricordarla a memoria sarebbe inutilmente impegnativo, ma per fortuna c'è un modo comodo per ricavarla.

(La pagina continua con 1662 parole, formule escluse, per un tempo stimato di lettura di 16 minuti)

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Ultima modifica: 11/09/2025

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