équation Du Premier Degré (1er Degré) - ChronoMath

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Résolution de l'équation du premier degré » Notion d'équation , équation du second degré , inéquations » degré 2 | degré 3 | degré 4

Une équation d'inconnue x est dite du premier degré (ou 1er degré) si elle peut se ramener par des transformations régulières à la forme ax + b = 0 où a et b sont des nombres réels (ou complexes) donnés, a étant non nul. Dans l'écriture ax + b = 0, le membre de gauche est un polynôme du 1er degré : c'est à dire un binôme (deux termes) du premier degré.

Clairaut, en 1743, parlait déjà d'équation du 1er degré. d'Alembert, en 1752, dans son Encyclopédie, parle d'équation linéaire (du latin linea = ligne droite) pour signifier que l'inconnue n'apparait qu'au premier degré : pas d'exposant entier ou fractionnaire.

• 5x + 3 = 8 - x est une équation du premier d'inconnue x, car en ajoutant x dans les deux membres, on conserve l'égalité en obtenant 6x + 3 = 8 et en retirant ensuite 8 dans les deux membres, on obtient 6x - 5 = 0 : polynôme du 1er degré en x, conforme à la définition.

Pour résoudre une équation du 1er degré , c'est à dire calculer la valeur de l'inconnue réalisant l'égalité effective des deux membres de l'équation), on a tout intérêt à faire passer, de façon régulière, l'inconnue à gauche du signe égal et les nombres à droite :

5x + 3 = 8 - x ⇔ 5x + x = 8 - 3 ⇔ 6x = 5 ⇔ x = 5/6.

➔ L'équation ax + by + c = 0 est une équation linéaire à 2 variables x et y. En termes de fonction, on distingue aujourd'hui les appellations f(x) = ax : fonction linéaire et f(x) = ax + b : fonction affine (terme moderne, du latin affinis = voisin, allié), dont les représentations graphiques sont des droites (des lignes).

Discussion et résolution :

♦ 1. Si b = 0, l'équation se réduit à ax = 0 : c'est un cas trivial paradoxalement mal résolu au collège où l'on rencontre trop souvent la réponse x = - a, confusion classique avec l'équation x + a = 0.

Si a est non nul, l'unique solution de l'équation ax = 0 est x = 0

car il s'agit là d'un produit nul a × x = 0 et a étant non nul, x l'est nécessairement.

• 5x + 3(2 + x) = 6 ⇔ 5x + 6 + 3x = 6 ⇔ 8x = 0. La solution est x = 0.

♦ 2. Si a = 0, l'équation se réduit à b = 0 : c'est un cas trivial qui conduit à aucune solution ou bien une infinité :

• 5x + 3(2 + x) = 8x - 4 ⇔ 5x + 6 + 3x = 8x - 4 ⇔ 8x - 8x = -4 - 6 ⇔ 0 = -10 : faux; il n'y a donc pas de solution.
• 5x + 3(2 + x) = 8x + 6 ⇔ 5x + 6 + 3x = 8x + 6 ⇔ 8x - 8x = 6 - 6 ⇔ 0 = 0 : vrai ; il y a une infinité de solutions.

♦ 3. Si b ≠ 0, l'équation ax + b = 0 est équivalente à ax = - b et la solution est x = -b/a par division par a.

∗∗∗ Exemples :

2x - 3 = 0 2x = 3 x = 3/2

3x + 4 = 0 3x = - 4 x = - 4/3

6x + 3 = 10 - x 6x + x = 10 - 3 7x = 7 x = 7/7 x = 1

6(x - 1) = 3(x - 2) 6x - 6 = 3x - 6 6x - 3x = - 6 + 6 3x = 0 x = 0

1 - 2x = 5 + x 1 - 5 = x + 2x - 4 = 3x 3x = - 4 (symétrie) x = - 4/3

3 - 7x = 5 - x - 7x + x = 5 - 3 - 6x = 2 6x = - 2 x = - 2/6 x = - 1/3

4x - 1 = 2(3x - 1) + 5 4x - 1 = 6x - 2 + 5 4x - 6x = -2 + 5 + 1 - 2x = 4 2x = - 4 x = -4/2 x = -2

3x + 1 = 2 × 5 3x + 1 = 10 3x = 10 - 1 3x = 9 x = 9/3 x = 3

(3x + 1) × 3 = 2x × 5 9x + 3 = 10x 9x - 10x = -3 - x = -3 x = -3

Autoévaluation niveau 5è : »

∗∗∗ Petits problèmes d'algèbre niveau 5è/4ème

♦ Il y a autant de moutons dans le tiers de mon troupeau que lorsque 20 d'entre eux le quittent pour aller boire. Combien ai-je de moutons dans mon troupeau ? Rép : si x désigne le nombre cherché, on a x/3 = x - 20, d'où 2x = 60; x =30.

♦ Dans mon porte-monnaie, j'avais une certaine somme. J'en ai dépensé le tiers et y ai remis 2 €. Quelque temps après j'ai dépensé le quart de son contenu et il me restait alors 6 €. Combien contenait donc initialement mon porte-monnaie ? Rép : si S désigne la somme cherchée exprimée en euros, avant la seconde dépense, il restait 2S/3 + 2. Après la seconde dépense les 3/4 de ce reste égalent 6. Donc 3(2S/3 + 2)/4 = 6. J'avais 9 �.

♦ Dans une salle de permanence d'un collège, un tiers des élèves s'adonne aux mathématiques, un quart a préféré apprendre la leçon de géographie et le reste, 10 élèves, bavarde en attendant que ça sonne.... Combien y a-t-il d'élèves dans la salle ? Rép : si x désigne le nombre cherché, on a x - x/3 - x/4 = 10, d'où 5x = 120; x = 24.

♦ Après une évaluation, une classe a été répartie en 4 groupes : 15% dans le groupe 1, 40% dans le groupe 2, un quart dans le groupe 3 et le reste, 6 élèves, dans le groupe 4. Combien y a-t-il d'élèves dans cette classe ? Rép : 15 + 40 + 25 = 80. 100 - 80 = 20 : donc 6 élèves correspondent à 20% du nombre d'élèves de cette classe; par conséquent 100% de élèves correspondent à 5 × 6 = 30 élèves : il y a 30 élèves dans cette classe. En termes d'équation, on serait conduit à écrire : x - 15x/100 - 40x/100 - x/4 = 6, donc 20x/100 = 6; 20x = 600; x = 600/20 = 30.

♦ En 2005, un père a 43 ans et son fils 24. En quelle année l'âge du père fut ou sera, le double de l'âge du fils ? Rép : si x désigne le nombre d'années dans le futur ou le passé nous séparant du phénomène indiqué, on a 2 × (24 + x) = 43 + x, d'où 48 + 2x = 43 + x; x = -5. Cette réponse négative indique que le phénomène a eu lieu il y a 5 ans : en l'an 2000. » on pourra reprendre l'exercice en remplaçant double par triple...

∗∗∗ niveau 4è/3ème

♦ Le produit de nombres consécutifs diminue de 22 lorsqu'on les diminue chacun de 2 unités. Quels sont ces nombres ? Rép : si x désigne le plus petit, l'autre est x + 1 et on a alors : (x - 2)(x - 1) = x(x + 1) - 22. D'où x2 - 3x + 2 = x2 + x - 22; les x2 s'éliminent et finalement x = 6. Les nombres cherchés sont donc 6 et 7. Vérification : 6 × 7 = 42; 4 × 5 = 20; 42 - 20 = 22.

∗∗∗ Autres petits problèmes du 1er degré niveau collège

Pokémons...	Un bon ciment 1er degré et proportionnalité
Voyage scolaire	Généreuse maman
Naufragés	Problème de pommes pas vraiment évident...
Un problème de sous un peu difficile	Zoo...logique à traiter sans équations
L'addition s'il vous plaît !	Des pommes & des poires un peu difficile...
Rues Jeanne et Darc avec un peu de trigo	La fortune de Karen
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