Trapezio Rettangolo, Area E Perimetro - YouMath

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Sappiamo che le basi di un trapezio rettangolo e la sua diagonale maggiore misurano rispettivamente 150 cm, 84 cm e 170 cm; dobbiamo trovare il perimetro, l'area e la diagonale minore.

Disegniamo un trapezio rettangolo: siano AB la base maggiore e CD la minore, tracciamo l'altezza CH e le diagonali BD, AC, e scriviamo i dati:

Problema su area, perimetro e diagonale minore di un trapezio rettangolo

AB = 150 cm ; CD = 84 cm ; BD = 170 cm

Troviamo subito la misura dell'altezza AD con il teorema di Pitagora. Osserviamo infatti che AD è un cateto del triangolo rettangolo di vertici A,B,D, di cui conosciamo l'ipotenusa BD e il cateto AB. Di conseguenza:

AD = √(BD^2−AB^2) = √((170 cm)^2−(150 cm)^2) = √(28900 cm^2−22500 cm^2) = √(6400 cm^2) = 80 cm

Ora che sono note basi e altezza del trapezio calcoliamone l'area. Ricordiamo infatti che l'area di un trapezio rettangolo è uguale al prodotto tra somma delle basi e altezza, tutto diviso 2

A = ((AB+CD)×CH)/(2) = ((150 cm+84 cm)×(80 cm))/(2) = ((234 cm)×(80 cm))/(2) = (18720 cm^2)/(2) = 9360 cm^2

Possiamo inoltre determinare la diagonale minore AC: basta applicare il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo di vertici A,D,C, in cui AC è l'ipotenusa e AD, CD i cateti:

AC = √(AD^2+CD^2) = √((80 cm)^2+(84 cm)^2) = √(6400 cm^2+7056 cm^2) = √(13456 cm^2) = 116 cm

Ci rimane da trovare il perimetro del trapezio rettangolo, dato dalla somma dei suoi lati:

2p = AB+BC+CD+AD

Ci manca il lato obliquo BC. Troviamolo sempre con Pitagora che, questa volta, applichiamo al triangolo rettangolo di vertici B,C,H. Di esso conosciamo il cateto CH

CH = AD = 80 cm

e possiamo determinare il cateto BH come differenza tra base maggiore e minore del trapezio

BH = AB−AH = AB−CD = 150 cm−84 cm = 66 cm

Di conseguenza

BC = √(CH^2+BH^2) = √((80 cm)^2+(66 cm)^2) = √(6400 cm^2+4356 cm^2) = √(10756 cm^2) ≃ 104 cm

Nell'ultimo passaggio abbiamo approssimato il risultato all'unità, come richiesto dalla traccia del problema.

Possiamo finalmente concludere calcolando il perimetro:

2p = AB+BC+CD+AD ≃ 150 cm+104 cm+84 cm+80 cm = 418 cm

Il problema è risolto: l'area del trapezio è di 9360 cm2, il perimetro di circa 418 cm e la diagonale minore di 116 cm.

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