1. TÓM TẮT LÝ THUYẾT CHƯƠNG LƯỢNG GIÁml

TÓM TẮT LÝ THUYẾT CHƯƠNG LƯỢNG GIÁC

I). TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ:

1). Hàm số chẵn, hàm số lẻ:

Hàm số với tập xác định D gọi là hàm số chẵn nếu: với mọi thì và .

Hàm số với tập xác định D gọi là hàm số lẻ nếu: với mọi thì và .

Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng.

Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.

2). Hàm số đơn điệu:

Cho hàm số xác định trên tập .

Hàm số gọi là đồng biến (hay hàm số tăng) trên nếu có .

Hàm số gọi là nghịch biến (hay hàm số giảm) trên nếu có .

3). Hàm số tuần hoàn:

Hàm số xác định trên tập hợp D, được gọi là hàm số tuần hoàn nếu có số sao cho với mọi ta có và và .

Nếu có số dương T nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên thì T gọi là chu kì của hàm tuần hoàn f.

II). HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC:

1). Hàm sốsin:

Tính chất:

Tập xác định .

Tập giá trị: ,có nghĩa là .

Hàm số tuần hoàn với chu kì , có nghĩa với .

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng và nghịch biến trên mỗi khoảng , .

là hàm số lẻ, đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O là tâm đối xứng (Hình 1).

Hình 1.

Một số giá trị đặc biệt:

2). Hàm sốcôsin:

Tính chất:

Tập xác định .

Tập giá trị: ,có nghĩa là .

Hàm số tuần hoàn với chu kì , có nghĩa với .

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng và nghịch biến trên mỗi khoảng , .

là hàm số chẵn, đồ thị hàm số nhận Oy làm trục đối xứng (Hình 2).

Hình 2.

Một số giá trị đặc biệt:

.

.

3). Hàm số tang:

Tập xác định:

Tâp giá trị là R.

Hàm số tuần hoàn với chu kì , có nghĩa .

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng .

là hàm số lẻ, đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng và nhận mỗi đường thẳng làm đường tiệm cận.(Hình 3)

Hình 3.

Một số giá trị đặc biệt :

.

.

4). Hàm số cotang: .

Tập xác định: .

Tập giá trị: .

Tính chất:

Hàm số tuần hoàn với chu kì , có nghĩa .

Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng .

là hàm số lẻ, đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng và nhận mỗi đường thẳng làm đường tiệm cận (Hình 4).

Hình 4

Một số giá trị đặc biệt :

.

.

.

ÔN TẬP: CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

HỆ THỨC CƠ BẢN

1. 2. 3.

4. 5. 6.

Điều kiện tồn tại:

· tanx là (x ¹p/ 2 + kp , k Î Z) cotx là (x ¹ kp, k Î Z)

· sinx là – 1 £sinx £ 1 cosx là – 1 £ cosx £ 1

chú ý:

· a2 + b2 = ( a + b)2 – 2ab a3 + b3 = ( a + b)3 – 3ab( a + b)

CÔNG THỨC CỘNG

7. 8.

9. 10.

11. 12.

13. 14.

CÔNG THỨC NHÂN

NHÂN ĐÔI

15. 16.

17.

NHÂN BA

18. 19. 20.

HẠ BẬC

21. Þ

22. Þ

23.

24.

GÓC CHIA ĐÔI: với

25. 26. 27.

TỔNG THÀNH TÍCH

28. 29.

30. 31.

32. 33.

34. 35.

TÍCH THÀNH TỔNG

36.

37.

38.

CUNG LIÊN KẾT

Giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt:

CHÚ Ý:

.

.

CÁC DẠNG TOÁN

VẤN ĐỀ 1: TÌM TẬP XÁC ĐỊNH, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA MỘT BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC.

DẠNG 1: TÌM TẬP XÁC ĐỊNH CỦA MỘT BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC :

PHƯƠNG PHÁP: Sử dụng các mệnh đề tương đương sau:

xác định

xác định .

xác định xác định.

xác định xác định.

xác định xác định và .

xác định xác định và .

Ví dụ: Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a). b). c).

d). e). f).

LỜI GIẢI

a). , hàm số xác định khi (đúng ), vì . Suy ra tập xác định là .

b). hàm số xác định xác định .Tập xác định của hàm số .

c). hàm số xác định xác định . Tập xác định của hàm số .

d). hàm số xác định .

Tập xác định của hàm số .

e). hàm số xác định . Tập xác định của hàm số .

f). hàm số xác định . Tập xác định của hàm số .

DẠNG 2: TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT NHỎ NHẤT

Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a). b). c).

d). e). f).

g). trên đoạn h).

k). l).

LỜI GIẢI

a). Ta có . Vậy:

khi .

khi .

b). Ta có . Vậy :

khi .

khi .

c). . Do . Vậy :

khi .( vì ).

khi .

d). .

Vì .

e).

Ta có . Vậy :

khi .

khi .

f).

Vì và Do đó .

Lại có : Khi thì .

Khi thì

Kết luận và

g). trên đoạn

Khi thì nên .

Vậy : khi . khi .

h).

Ta có hàm số tanx đồng biến và xác định trên khoảng mà do đó hàm số tanx đồng biến và xác định trên đoạn . Từ đó ta có . Vậy :

khi . khi .

k). Ta có

Ta có hàm số tanx đồng biến và xác định trên khoảng mà do đó hàm số tanx đồng biến và xác định trên đoạn . Từ đó ta có

.

khi .

khi .

l).

.

Có

. Vậy :

khi .

khi .

Tìm giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau trên khoảng đã chỉ ra:

trên khoảng

trên khoảng

VẤN ĐỀ 2: TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

DẠNG 1: XÉT TÍNH CHẴN, LẺ CỦA HÀM SỐ

Ví dụ: Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số lượng giác sau :

a). b).

c). d).

e). f).

g). h).

LỜI GIẢI

a). Để hàm số có nghĩa (với ). Tập xác định , là một tập đối xứng. Do đó thì

Ta có . Vậy hàm số f(x) là hàm số lẻ. Đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng.

b). Tập xác định , là một tập đối xứng. Do đó thì .

Ta có .

Có . Vậy hàm số f(x) là hàm số chẵn. Đồ thị hàm số nhận trung tung Oy làm trục đối xứng.

d). . Hàm số có nghĩa khi . Tập xác định , là một tập đối xứng. Do đó thì . Ta có . Vậy hàm số f(x) là hàm số chẵn. Đồ thị hàm số nhận trung tung Oy làm trục đối xứng.

e). . Hàm số có nghĩa khi . Tập xác định , là một tập đối xứng. Do đó thì . Ta có . Vậy hàm số f(x) là hàm số lẻ. Đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng.

f). . Hàm số có nghĩa khi . Tập xác định , là một tập đối xứng. Do đó thì .

Ta có . Vậy hàm số f(x) là hàm số chẵn. Đồ thị hàm số nhận trung tung Oy làm trục đối xứng.

g). . Hàm số có nghĩa khi . Tập xác định , là một tập đối xứng. Do đó thì . Ta có . Vậy hàm số f(x) là hàm số chẵn. Đồ thị hàm số nhận trung tung Oy làm trục đối xứng.

h). . Tập xác định , là một tập đối xứng. Do đó thì . Ta có . Vậy hàm số f(x) là hàm số chẵn. Đồ thị hàm số nhận trung tung Oy làm trục đối xứng.

DẠNG 2: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

PHƯƠNG PHÁP :

Vẽ vòng tròn lượng giác.

Biểu diễn các cung lượng giác trên vòng tròn lượng giác.

Dựa vào định nghĩa của các hàm số lượng giác để xét các khoảng đồng biến nghịch biến của hàm số lượng giác.

Ví dụ : Xét tính tăng giảm và lập bảng biến thiên của các hàm số lượng giác sau :

a). trên b). trên

c). trên d). trên

LỜI GIẢI

a).

nếu (Hình 1). Suy ra hàm số f(x) đồng biến trên . nếu (Hình 2). Suy ra hàm số f(x) nghịch biến trên .

Bảng biến thiên :

b). trên

Vì . Đặt , đồ thị hàm số như sau :

Khi x biến thiên trong thì 2x biến thiên trong , nên hàm số nghịch biến trên khoảng .

Khi x biến thiên trong thì 2x biến thiên trong , nên hàm số đồng biến trên khoảng .

Khi x biến thiên trong thì 2x biến thiên trong , nên hàm số nghịch biến trên khoảng .

Bảng biến thiên của hàm số :

c). trên

Vì . Đặt , đồ thị hàm số như sau :

Khi x biến thiên trong thì biến thiên trong , nên hàm số đồng biến trên khoảng .

Khi x biến thiên trong thì biến thiên trong , nên hàm số nghịch biến trên khoảng .

Bảng biến thiên của hàm số trên

d). trên

vì hàm nghịch biến trên R và hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định. Do đó hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó.

Lại có khi thì và trong khoảng này hàm số không xác định . Suy ra bảng biến thiên của hàm số như sau :

DẠNG 3: TÍNH TUẦN HOÀN CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Ví dụ : Chứng minh các hàm số lượng giác sau đây là hàm tuần hoàn và tìm chu kì (nếu có) của chúng :

a). b). c).

d). f). g).

LỜI GIẢI

a). . Tập xác định

Cách 1 : Ta có

Vậy f(x) là hàm tuần hoàn.

Tìm chu kì của f(x) : Giả sử L là chu kì của hàm số thì L là số dương nhỏ nhất thỏa (1)

Mặt khác số dương T nhỏ nhất thỏa chính là (2).

Từ (1) và (2) suy ra .

Cách 2 :

Giả sử

(1).

Với thì (1) phải đúng, có nghĩa ta có

.

Ngược lại với ta có:

Vậy (*).

Từ (*) chứng tỏ hàm số f(x) là hàm tuần hoàn.

Mặt khác trong các số thì là số nguyên dương nhỏ nhất. Vậy chu kì của hàm số f(x) là .

b). . Tập xác định

Cách 1 : Ta có thì và .

Vậy f(x) là hàm tuần hoàn.

Tìm chu kì của f(x) : Giả sử L là chu kì của hàm số thì L là số dương nhỏ nhất thỏa (1)

Mặt khác số dương T nhỏ nhất thỏa chính là (2).

Từ (1) và (2) suy ra . Kết luận chu kì của f(x) là .

Cách 2 :

Giả sử

(1).

Với thì (1) phải đúng, có nghĩa ta có

Ngược lại với ta có

Vậy (*). Từ (*) chứng tỏ hàm số f(x) là hàm tuần hoàn.

Mặt khác trong các số thì là số dương nhỏ nhất. Vậy chu kì của hàm số f(x) là .

c).

Hàm số xác định khi .

Vậy tập xác định của hàm số .

Giả sử (1).

Với thì (1) phải đúng, có nghĩa ta phải có :

.

Ngược lại với , ta có:

Vậy (*).

Từ (*) chứng tỏ rằng f(x) là hàm tuần hoàn.

Mặt khác trong các số thì là số dương nhỏ nhất. Vậy chu kì của hàm số f(x) là .

d). Tập xác định

Ta xét đẳng thức

chọn thì và do đó . Số dương nhỏ nhất trong các số T là .

Rõ ràng và . Do đó f là hàm số tuần hoàn với chu kì .

VẤN ĐỀ 3: VẼ ĐỒ THỊ CỦA MỘT HÀM SỐ SUY RA TỪ MỘT ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ ĐÃ BIẾT

PHƯƠNG PHÁP:

Giả sử hàm số có đồ thị là (C).

Đồ thị của hàm số được suy ra từ (C)bằng cách biến mỗi điểm của (C) thành điểm của (C’).

Đồ thị của hàm số được suy ra từ (C)bằng cách biến mỗi điểm của (C) thành điểm của (C’) nếu k > 0 hoặc thành điểm của (C’) nếu k < 0.

Đồ thị của hàm số được suy ra từ (C)bằng cách biến mỗi điểm của (C) thành điểm của (C’) hoặc thực hiện phép tịnh tiến đồ thị (C) theo véc tơ .

Đồ thị của hàm số được suy ra từ (C)bằng cách biến mỗi điểm của (C) thành điểm của (C’) hoặc thực hiện phép tịnh tiến đồ thị (C) theo véc tơ .

Đồ thị của hai hàm số và đối xứng với nhau qua trục hoành.

Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục Oy làm trục đối xứng.

Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.

Ví dụ: Từ đồ thị hàm số hãy suy ra đồ thị của mỗi hàm số sau:

a). b). c). d).

e). f). g). h). .

LỜI GIẢI

Gọi đồ thị của hàm số là (C)

a). Đồ thị của hàm số được suy ra từ (C) bằng cách biến mỗi điểm của (C) thành điểm của , hay nói cách khác đồ thị nhận được bằng cách thực hiện phép giãn đồ thị (C) theo phương trục tung hai lần (hình 1).

b). Đồ thị của hàm số được suy ra từ (C) bằng cách biến mỗi điểm của (C) thành điểm của , hay nói cách khác đồ thị nhận được bằng cách thực hiện phép giãn đồ thị (C) theo phương trục tung hai lần (hình 2).

c). Đồ thị của hàm số được suy ra từ (C) bằng cách biến mỗi điểm của (C) thành điểm của , hay nói cách khác đồ thị nhận được bằng cách thực hiện phép co đồ thị (C) theo phương trục hoành ba lần (hình 3).

d).Đồ thị của hàm số được suy ra từ (C) bằng cách biến mỗi điểm của (C) thành điểm của , hay nói cách khác đồ thị nhận được bằng cách thực hiện phép giãn đồ thị (C) theo phương trục hoành hai lần để được đồ thị (C’) và sau đó thực hiện phép đối xứng (C’) qua trục hoành được (hình 4).

e). Đồ thị của hàm số được suy ra từ (C) bằng cách biến mỗi điểm của (C) thành điểm của , hay nói cách khác đồ thị nhận được bằng cách thực hiện phép tịnh tiến (C) theo véctơ tức là tịnh tiến (C) theo phương trục hoành sang trái một đoạn đơn vị (hình 5).

f). Đồ thị của hàm số được suy ra từ (C) bằng cách biến mỗi điểm của (C) thành điểm của , hay nói cách khác đồ thị nhận được bằng cách thực hiện phép tịnh tiến (C) theo véctơ tức là tịnh tiến (C) theo phương trục hoành sang phải một đoạn đơn vị (hình 6).

g). Đồ thị của hàm số được suy ra từ (C) bằng cách biến mỗi điểm của (C) thành điểm của , hay nói cách khác đồ thị nhận được bằng cách thực hiện phép tịnh tiến (C) theo véctơ tức là tịnh tiến (C) theo phương trục tung lên trên một đoạn 2 đơn vị (hình 7).

h). Ta có .

Đồ thị của hàm số được suy ra từ đồ thị (C) bằn cách thực hiện các phép biến đổi sau:

Phép co đồ thị hai lần theo phương trục hoành được đồ thị (C’) và lấy đối xứng (C’) qua trục hoành được (C’’).

Tịnh tiến (C’’) theo phương trục hoành sang trái một đoạn đơn vị được (C’’’).

Tịnh tiến (C’’’) theo phương trục tung lên trên một đoạn 2 đơn vị được đồ thị cần tìm (Hình 8).

BÀI TẬP TỔNG HỢP

Câu 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a). b). c).

d). e). f).

g). h). . k).

LỜI GIẢI

a). hàm số xác định

b). hàm số xác định .Tập xác định của hàm số .

c). hàm số xác định .

Tập xác định của hàm số .

e). hàm số xác định . Tập xác định của hàm số .

f). hàm số xác định .

Tập xác định của hàm số .

g). hàm số xác định . Tập xác định của hàm số .

h). hàm số xác định .Tập xác định của hàm số .

k). hàm số xác định . Tập xác định của hàm số .

Câu 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a). b). trên

c). d).

e). trên Rf). trên Rg). h).

k). trên l). trên R

m).

LỜI GIẢI

a). Ta có hàm số tanx đồng biến và xác định trên khoảng mà do đó hàm số tanx đồng biến và xác định trên đoạn . Từ đó ta có . Vậy: khi ; khi .

b). Ta có .

Vì . Ta có hàm số sinx đồng biến trên . Do đó .

Vậy: khi khi .

c). . Do . Vì đồng biến trên và nghịch biến trên và có , và .

Bảng biến thiên:

Do đó khi và khi .

d). . Do

e). Ta có

Ta có , do đó nên . Vậy khi và khi .

f). .

Ta có

. Vậy:

khi

khi .

g).

Ta có . Từ đó suy ra

khi .

khi .

Kết luận khi , khi .

h). Ta có .

Vì . Vậy :

khi .

khi .

k).Ta có .

Khi

Do đó .

Vậy: khi và khi .

l).

Đặt

. Vì nên điều kiện .

Ta có .

Từ đó có (1).

Bảng biến thiên của hàm số (1)

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy và .

m).

Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau:

a). b). c).

d). e).

LỜI GIẢI

Vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a). b). c).

LỜI GIẢI

a).

do đó đồ thị hàm số được vẽ dựa vào đồ thị như sau:

giữ nguyên phần đồ thị của hàm số nằm phía trên trục Ox được đồ thị

Lấy đối xứng qua trục Ox phần đồ thị của hàm số nằm phía dưới trục Ox được đồ thị .

Đồ thị cần vẽ hơp của hai đồ thị và .

b).

hàm số có chu kì , do đó trước tiên ta vẽ đồ thị hàm số trên một đoạn có độ dài , rồi tịnh tiến phần đồ thị ấy dọc theo trục Ox các đoạn có độ dài thì sẽ được toàn bộ đồ thị hàm số (Hình 2).

Hình 2.

c).

đồ thị hàm số được suy ra từ đồ thị hàm số bằng cách tịnh tiến sang phải dọc theo trục Ox một đoạn bằng (Hình 3).

Hình 3.