120 Bài Tập Cực Trị Của Hàm Số Chọn Lọc, Có Lời Giải (nâng Cao

120 Bài tập Cực trị của hàm số chọn lọc, có lời giải (nâng cao - Phần 1)

• Ra mắt Sách 20 đề THPT quốc gia form 2025 toán, văn, anh.... (từ 80k/1 cuốn)

Trang trước Trang sau

Với 120 Bài tập Cực trị của hàm số (nâng cao - Phần 1) có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm Bài tập Cực trị của hàm số (nâng cao - Phần 1).

120 Bài tập Cực trị của hàm số chọn lọc, có lời giải (nâng cao - Phần 1)

Bài giảng: Các dạng bài tìm cực trị của hàm số - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

Câu 1: Đường cong trong hình vẽ bên dưới là đồ thị hàm số y = f'(x). Số điểm cực trị của hàm số y = f(x) là:

Quảng cáo

A. 2 B. 3

C. 4 D. 5

Lời giải:

Ta thấy đồ thị hàm số f'(x) có 4 điểm chung với trục hoành x1, 0, x2, x3 nhưng dấu của f'(x) chỉ đổi dấu khi x đi qua hai điểm 0 và x3.

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số y = f(x) có 2 điểm cực trị.

Suy ra chọn đáp án A.

Câu 2: Cho hàm số y = f(x). Đồ thị hàm số y = f'(x) như hình bên. Tìm số điểm cực trị của hàm số g(x) = f(x2 - 3)

A. 2 B. 3

C. 4 D. 5

Lời giải:

Ta có g'(x) = 2x. f'(x2 – 3)

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án suy ra ta chọn B.

Chú ý: Dấu của g’(x) được xác định như sau: Ví dụ xét trên khoảng (2; +∞)

• x ∈ (2; +∞) → x > 0 (1)

• x ∈ (2; +∞) ⇒ x2 > 4 ⇒ x2 - 3 > 1 -theo do thi f'(x)→ f'(x2 - 3) (2)

Từ (1) và (2) suy ra g'(x) = 2x.f'(x2 – 3) > 0 trên khoảng (2; +∞) nên g'(x) mang dấu “+”.

Nhận thấy các nghiệm x = 1 hoặc x = -1 và x = 0 là các nghiệm bội lẻ nên g'(x) qua nghiệm đổi dấu; các nghiệm x = 2 hoặc x = -2 là nghiệm bội chẵn (lí do dựa vào đồ thị ta thấy f'(x) tiếp xúc với trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 1 nên qua nghiệm không đổi dấu.

Câu 3: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên R và có bảng xét dấu của y = f'(x) như sau

Hỏi hàm số g(x) = f(x2 - 2x) có bao nhiêu điểm cực tiểu ?

A. 1 B. 2

C.3 D. 4

Lời giải:

Ta có g'(x) = (2x - 2). f'(x2 – 2x)

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án suy ra ta chọn A.

Quảng cáo

Câu 4: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên R và f(0) < 0 đồng thời đồ thị hàm số y = f'(x) như hình vẽ bên dưới

Số điểm cực trị của hàm số g(x) = f2(x) là

A. 1 B. 2

C. 3 D. 4

Lời giải:

Dựa vào đồ thị, ta có:

Bảng biến thiên của hàm số y = f(x)

Bảng biến thiên của hàm số g(x)

Vậy hàm số g(x) có 3 điểm cực trị.

Suy ra chọn đáp án C.

Câu 5: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số y = x4 + 2mx2 = 1 có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông cân.

Lời giải:

Tập xác định: D = R.

y' = 4x3 + 4mx; y' = 0 ⇔ 4x3 + 4mx = 0

Hàm số có 3 cực trị khi và chỉ khi phương trình y' = 0 có 3 nghiệm phân biệt nghĩa là phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 0 ⇔ -m > 0 hay m < 0. (loại đáp án C và D)

Vậy tọa độ 3 điểm lần lượt là: A(0; 1), B(-√(-m), 1 - m2), C(√(-m), 1 - m2)

Ta có AB→ = (-√(-m), -m2); AC→ = (√(-m), -m2)

Vì tam giác ABC vuông cân tại A nên :

AB→. AC→ = 0 ⇔ -√(m2) + m2.m2 = 0

⇔ -|m| + m4 = 0 ⇔ m + m4 = 0

Nên m = -1 (vì m < 0)

Vậy với m = -1 thì hàm số có 3 cực trị tạo thành một tam giác vuông cân.

Suy ra chọn đáp án B.

Câu 6: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên R. Đồ thị hàm số y = f'(x) như hình vẽ bên dưới

Số điểm cực trị của hàm số g(x) = f(x - 2017) - 2018x + 2019 là

A. 1 B. 2

C. 3 D. 4

Lời giải:

Ta có: g'(x)= f'(x - 2017) – 2018

Xét phương trình: g'(x) = 0 hay f'(x - 2017) = 2018

Dựa vào đồ thị hàm số y = f'(x) suy ra phương trình f'(x - 2017) = 2018 có 1 nghiệm đơn duy nhất.

Suy ra hàm số g(x) có 1 điểm cực trị.

Suy ra chọn đáp án A.

Quảng cáo

Câu 7: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị của hàm số y = x4 – 2mx2 có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích nhỏ hơn 1.

A. m > 0 B. m < 1

C. 0 < m < 3√4 D. 0 < m < 1

Lời giải:

Ta có: y' = 4x3 – 4mx = 4m(x2 – m) (*)

+ Để đồ thị hàm số đã cho có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình (*) có 3 nghiệm phân biệt ⇔ m > 0 .

+ Xét y' = 0

Các điểm cực trị tạo thành tam giác cân có đáy bằng 2√m, đường cao bằng m2. (như hình minh họa)

Ta được SΔABC = 1/2. AC.BD = √m.m2

Để tam giác có diện tích nhỏ hơn 1 thì: √m.m2 < 1 ⇔ m5 < 1 ⇔ 0 < m < 1

Suy ra chọn đáp án D.

Câu 8: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên R. Đồ thị hàm số y = f'(x) như hình vẽ bên dưới. Hỏi hàm số g(x) = f(x) + x đạt cực tiểu tại điểm nào dưới đây ?

A. x = 0 B. x = 1

C. x = 2 D. Không có điểm cực tiểu.

Lời giải:

+ Ta có đạo hàm: g'(x) = f'(x) + 1

Do đó g'(x)= 0 ⇔ f'(x) = -1

+ Suy ra số nghiệm của phương trình g'(x) = 0 chính là số giao điểm giữa đồ thị của hàm số f'(x) và đường thẳng y = -1.

Dựa vào đồ thị ta suy ra:

Lập bảng biến thiên cho hàm g(x) ta thấy g(x) đạt cực tiểu tại x = 1.

Suy ra chọn đáp án B.

Câu 9: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị của hàm số y = x3 – 3mx2 + 4m3 có hai điểm cực trị A và B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 4 với O là gốc tọa độ.

Lời giải:

Đạo hàm y' = 3x2 – 6mx

Đồ thị của hàm số có hai điểm cực trị A(0, 4m3) và B(2m, 0)

SΔABC = 1/2.OA.OB = 4 ⇔ 1/2. |4m3.2m| = 4 ⇔ 4m4 = 4 ⇔ m = 1 hoặc m = -1.

Suy ra chọn đáp án B.

Câu 10: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên R. Đồ thị hàm số y = f'(x) như hình vẽ bên dưới.

Hàm số g(x) = f(x) - x3/3 + x2 - x + 2 đạt cực đại tại

A. x = -1 B. x = 0

C. x = 1 D. x = 2

Lời giải:

Ta có đạo hàm: g'(x) = f'(x) – x2 + 2x - 1

Xét g'(x)= 0 ⇔ f'(x) – x2 + 2x - 1 = 0

⇔ f'(x) = x2 – 2x + 1 = (x - 1)2

Suy ra số nghiệm của phương trình g'(x) = 0 chính là số giao điểm giữa đồ thị của hàm số f'(x) và parapol (P): y = (x - 1)2

Dựa vào đồ thị ta suy ra

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy g(x) đạt cực đại tại x = 1.

Suy ra chọn đáp án C.

Quảng cáo

Câu 11: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên R. Đồ thị hàm số y = f'(x) như hình vẽ bên dưới. Hàm số g(x) = 2f(x) + x2 đạt cực tiểu tại điểm

A. x = -1 B. x = 0

C. x = 1 D. x = 2

Lời giải:

Ta có g'(x) = 2f'(x) + 2x.

Xét phương trình g'(x)=0 hay f'(x) = - x

Suy ra số nghiệm của phương trình g'(x) = 0 chính là số giao điểm giữa đồ thị của hàm số f'(x) và đường thẳng y = - x

Dựa vào đồ thị ta suy ra

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy g(x) đạt cực tiểu tại x = 0 .

Suy ra chọn đáp án B.

Câu 12: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số y = x8 + (m - 2)x5 – (m2 – 4).x4 + 1 đạt cực tiểu tại x = 0?

A. 3 B. 5

C. 4 D. Vô số.

Lời giải:

Ta xét các trường hợp sau

* Nếu m2 - 4 = 0 ⇒ m = 2 hoặc m = -2

• Khi m= 2 thì y' = 8x7. Suy ra: y' = 0 khi x = 0 là điểm cực tiểu.

• Khi m = - 2 thì y'= x3(8x4 – 20).

Suy ra: y' = 0

Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại x = 0 ( loại)

* Nếu m2 - 4 ≠ 0 ⇒ m ≠ 2 hoặc m ≠ -2. Khi đó ta có:

y'= 8x7 + 5(m - 2).x4 – 4(m2 – 4).x3

y' = x2[8x5 + 5(m - 2)x2 - 4(m2 - 4)x]

Số cực trị của hàm y = x8 + (m - 2)x5 - (m2 - 4)x4 + 1 bằng số cực trị của hàm g’(x) với:

Nếu x = 0 là điểm cực tiểu thì g''(0) > 0. Khi đó

-4(m2 - 4) > 0 ⇔ m2 - 4 < 0 ⇒ -2 < m < 2 ⇒ m = {-1; 0; 1}

Vậy có 4 giá trị nguyên của m là {-1; 0; 1; 2}.

Suy ra chọn đáp án C.

Câu 13: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên R. Đồ thị hàm số y = f'(x) như hình vẽ bên dưới. Hỏi đồ thị hàm số g(x) = f(x) + 3x có bao nhiểu điểm cực trị ?

A. 2 B. 3

C. 4 D. 7

Lời giải:

Ta có đạo hàm g'(x)= f'(x) + 3

Xét phương trình g'(x) = 0 hay f'(x)= - 3

Suy ra số nghiệm của phương trình g'(x) = 0 chính là số giao điểm giữa đồ thị của hàm số f'(x) và đường thẳng y = -3.

Dựa vào đồ thị ta suy ra

Ta thấy x = -1, x = 0, x = 1 là các nghiệm đơn và x = 2 là nghiệm kép nên đồ thị hàm số

g(x) = f(x) + 3x có 3 điểm cực trị tại các điểm x = -1, x = 0 và x = 1.

Suy ra chọn đáp án B.

Câu 14: Cho hàm số sau. Tìm giá trị của m để hàm số đã cho đạt cực trị tại x1, x2 và thỏa mãn: x1 + 2x2 = 1.

Lời giải:

Ta có đạo hàm: y'= mx2 – 2(m - 1)x + 3(m - 2)

Yêu cầu của bài toán tương đương y' = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn: x1 + 2x2 = 1

Câu 15: Cho hàm số bậc bốn y = f(x). Đồ thị hàm số y = f'(x) như hình vẽ bên.

Số điểm cực đại của hàm số là:

A. 1 B. 2

C. 3 D. 4

Lời giải:

Ta có:

Bảng xét dấu

Từ đó suy ra hàm số có 1 điểm cực đại.

Chú ý: Cách xét dấu “-” hay “+” của g'(x) để cho nhanh nhất ta lấy một giá trị x0 thuộc khoảng đang xét rồi thay vào g'(x).

Chẳng hạn với khoảng (-1; -1 + √2) ta chọn

Vì dựa vào đồ thị ta thấy f'(√2) < 0

Suy ra chọn đáp án A.

Câu 16: Cho hàm số y = f(x). Đồ thị hàm số y = f'(x) như hình vẽ dưới đây

Số điểm cực trị của hàm số g(x) = e2f(x)+1 + 5f(x) là

A. 1 B. 2

C. 3 D. 4

Lời giải:

+ Ta thấy đồ thị của hàm số f'(x) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.

Suy ra hàm số f(x) có 3 điểm cực trị.

+ Ta có: g'(x) = 2f'(x).e2f(x)+1 + f'(x).5f(x).ln5 = f'(x).(2e2f(x)+1 + 5f(x).ln5)

+ Vì 2e2f(x)+1 + 5f(x).ln5 > 0 với mọi x nên g'(x) = 0 ⇔ f'(x) = 0.

Suy ra số điểm cực trị của hàm số g(x) bằng số điểm cực trị của hàm số f(x).

Vậy hàm số g(x) có 3 điểm cực trị.

Suy ra chọn đáp án C.

Câu 17: Cho hàm số y = f(x). Đồ thị hàm số y = f'(x) như hình vẽ bên dưới và f'(x) < 0 với mọi x ∈ (-∞; -3,4) ∪ (9; +∞). Đặt g(x) = f(x) - mx + 5. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số g(x) có đúng hai điểm cực trị ?

A. 4 B. 7

C. 8 D. 9

Lời giải:

Ta có: g'(x) = f'(x) - m.

Xét phương trình: g'(x) = 0 hay f'(x) – m= 0 ⇔ f'(x) = m

Để hàm số g(x) có đúng hai điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình g'(x) = 0 có hai nghiệm đơn ( hoặc nghiệm bội lẻ phân biệt)

Suy ra chọn đáp án C.

Câu 18: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y = x4 – 2mx2 + 1 có ba điểm cực trị A(0,1), B, C thỏa mãn BC = 4?

A. m = 4 hoặc m = -4. B. m = √2.

C. m = 4. D. m = √2 hoặc m = -√2.

Lời giải:

Cách 1:

+ Ta có: y' = 4x3 - 4mx = 4x(x2 - m);

+ Để hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ khi y' = 0 có ba nghiệm phân biệt ⇔ m > 0

+ Suy ra tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số là:

A(0;1), B(√m; 1 - m2) và C(-√m; 1 - m2)

Để BC = 4 ⇔ 2√m = 4 ⇔ √m = 2 ⇔ m = 4 (thỏa mãn).

Cách 2: Áp dụng công thức giải nhanh:

Điều kiện để có ba cực trị là ab < 0 ⇔ m > 0

Để độ dài BC = m0 khi và chỉ khi:

am02 + 2b = 0 ⇔ 1.42 + 2.(-2m) = 0 ⇔ m = 4

Suy ra chọn đáp án C.

Câu 19: Cho hàm số y = x4 – 2(m + 1)x2 + m2 với m là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông.

A. m = -1 B. m = 0

C. m = 1 D. m = 2

Lời giải:

Cách 1.

* Ta có đạo hàm: y'= 4x3 – 4(m + 1)x = 4x(x2 - m - 1)

* Để hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ khi y' = 0 có ba nghiệm phân biệt:

⇔ m + 1 > 0 ⇔ m > -1.

Suy ra tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số là:

A(0; m2), B(√(m + 1); -2m - 1) và C(-√(m + 1); -2m - 1)

Khi đó AB− = (√(m + 1); -2m - 1 - m2) và AC− = (-√(m + 1); -2m - 1 - m2)

Để tam giác ABC vuông: AB−.AC− = 0

Cách 2. Áp dụng công thức giải nhanh:

Điều kiện để có ba cực trị ab < 0 hay m > -1

Để tam giác ABC vuông điều kiện là: 8a + b3 = 0

⇔ 8.1 + [-2(m + 1)]3 = 0 ⇔ m = 0

Suy ra chọn đáp án B.

Câu 20: Tìm giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số y = x4 + 2mx2 + 1 có ba điểm cực trị tạo thành tam giác vuông cân.

Lời giải:

Ta có:

* Để hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ khi (*) có hai nghiệm phân biệt khác 0

⇔ -m > 0 hay m < 0

* Khi đó toạ độ ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là:

A(0;1), B(√(-m); -m2 + 1), C(-√(-m); -m2 + 1)

Ta có: AB = AC nên tam giác ABC cân tại A nên điều kiện để tam giác ABC vuông cân là:

Suy ra chọn đáp án B.

Câu 21: Cho hàm số y = 3x4 + 2(m - 2018).x2 + 2017 với m là tham số thực. Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có một góc bằng 120o.

A. m = - 2018 B. m = -2017

C. m = 2017 D. m = 2018

Lời giải:

Cách 1.

Ta có: y' = 12x3 + 4(m - 2018)x;

Để hàm số có ba điểm cực trị ⇔ 2018 - m > 0 ⇔ m < 2018.

Khi đó, tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số là: A(0; 2017)

Do tam giác ABC cân tại A: AB = AC nên ∠BAC = 120o. Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC ta có:

BC2 = AB2 + AC2 – 2.AB.AC.cosA = AB2 + AB2 – 2.AB.AB.cos120o

⇔ BC2 = 3AB2

⇔ (m - 2018)3 = -1 ⇔ m = 2017 (thỏa mãn)

Cách 2. Áp dụng công thức giải nhanh:

Điều kiện để có ba cực trị: ab < 0 hay m < 2018

Áp dụng công thức giải nhanh:

(với α = ∠BAC, A là điểm cực trị thuộc Oy)

Ta được:

⇔ 3[2(m - 2018)]3 = -8.3 ⇔ m = 2017 thỏa mãn.

Suy ra chọn đáp án C.

Câu 22: Cho hàm số y = 1/4.x4 - (3m + 1)x2 + 2(m + 1) với m là tham số thực. Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có trọng tâm là gốc tọa độ.

A. m = -2/3. B. m = 2/3.

C. m = -2/3. D. m = 1/3.

Lời giải:

Cách 1.

Ta có: y' = x3 - 2(3m + 1)x = x[x2 - 2(3m + 1)]

Để hàm số có ba điểm cực trị ⇔ 2(3m + 1) > 0 ⇔ m > -1/3.

Khi đó đồ thị hàm số có ba điểm cực trị là: A(0; 2(m + 1))

Suy ra tọa độ trọng tâm của tam giác ABC là :

Để G ≡ O ⇔ 2(m + 1) + 2(-9m2 - 4m + 1) = 0

Cách 2. Áp dụng công thức giải nhanh:

Điều kiện để có ba cực trị ab < 0 ⇔ m > -1/3.

Yêu cầu bài toán: G ≡ O ⇔ b2 - 6ac = 0 ⇔ (3m + 1)2 - 6.1/4.2(m + 1) = 0

Suy ra chọn đáp án D.

Câu 23: Cho hàm số y = 9/8.x4 + 3(m - 3)x2 + 4m + 2017 với m là tham số thực. Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành tam giác đều.

A. m = -2 B. m = 2

C. m = 3 D. m = 2017

Lời giải:

Cách 1.

Ta có: y' = 9/2.x3 + 6(m - 3)x;

Để hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ khi (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 0.

⇔ 4(m - 3) > 0 ⇔ m < 3

Khi đó tọa độ ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là: A(0; 4m + 2017)

Do tam giác ABC cân tại A nên để tam giác ABC đều thì AB = BC hay AB2 = BC2

Cách 2. Áp dụng công thức giải nhanh:

Điều kiện để có ba cực trị ab < 0 hay m < 3

Để tam giác tạo bởi điểm cực trị là tam giác đều khi và chỉ khi:

b3 = -24a hay 27(m - 3)3 = -27 ⇔ m = 2