2 + Căn 4 - X = 2x^2 - 5x - 1. B) Giải Hệ Phương Trìn - Tự Học 365

Lời giải của Tự Học 365

Giải chi tiết:

a)      Giải phương trình: \(\sqrt {x - 2}  + \sqrt {4 - x}  = 2{x^2} - 5x - 1\).

Điều kiện xác định: \(2 \le x \le 4\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}2{x^2} - 5x - 3 - \left( {\sqrt {x - 2}  - 1} \right) - \left( {\sqrt {4 - x}  - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {2x + 1} \right)\left( {x - 3} \right) - \dfrac{{x - 3}}{{\sqrt {x - 2}  + 1}} + \dfrac{{x - 3}}{{\sqrt {4 - x}  + 1}} = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\left( {2x + 1 - \dfrac{1}{{\sqrt {x - 2}  + 1}} + \dfrac{1}{{\sqrt {4 - x}  + 1}}} \right) = 0\\Do\,\,\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{{\sqrt {x - 2}  + 1}} \le 1 \Rightarrow 1 - \dfrac{1}{{\sqrt {x - 2}  + 1}} \ge 0\\2 \le x \le 4\end{array} \right. \Rightarrow 2x + 1 - \dfrac{1}{{\sqrt {x - 2}  + 1}} + \dfrac{1}{{\sqrt {4 - x}  + 1}} \ge 0\\ \Leftrightarrow x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = 3\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \(x = 3\).

b)     Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}xy - 3y = 4{x^2}\\{y^2} + 2y + 7 = 7{x^2} + 8x\end{array} \right.\)

Hệ đã cho tương đương với:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}2xy - 6y = 8{x^2}\\{y^2} + 2y + 7 = 8{x^2} - {x^2} + 8x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}xy - 3y = 4{x^2}\\{y^2} + 2y + 7 - 2xy + 6y + {x^2} - 8x = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}xy - 3y = 4{y^2}\\{\left( {x - y} \right)^2} - 8\left( {x - y} \right) + 7 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}xy - 3y = 4{x^2}\\ \Leftrightarrow \left( {x - y - 7} \right)\left( {x - y - 1} \right) = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x - y = 1\\3{x^2} + 4x - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{ - 2 + \sqrt {13} }}{3};y = \frac{{ - 5 + \sqrt {13} }}{3}\\x = \frac{{ - 2 - \sqrt {13} }}{3};y = \frac{{ - 5 - \sqrt {13} }}{3}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x - y = 7\\3{x^2} + 10x - 21 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{ - 5 + 2\sqrt {22} }}{3};y = \frac{{ - 26 + 2\sqrt {22} }}{3}\\x = \frac{{ - 5 - 2\sqrt {22} }}{3};y = \frac{{ - 26 - 2\sqrt {22} }}{3}\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm.