§2. Phương Trình đường Tròn - Hoc24
Có thể bạn quan tâm
1. Phương trình đường tròn có tâm và bán kính cho trước
Trong mặt phẳng \(Oxy\) cho đường thẳng \(\left(C\right)\) tâm \(I\left(a;b\right)\), bán kính \(R\).
Ta có \(M\left(x;y\right)\in\left(C\right)\Leftrightarrow IM=R\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(x-a\right)^2+\left(y-b\right)^2}=R\)
\(\Leftrightarrow\left(x-a\right)^2+\left(y-b\right)^2=R^2\)
Phương trình \(\left(x-a\right)^2+\left(y-b\right)^2=R^2\) được gọi là phương trình đường tròn tâm \(I\left(a;b\right)\) bán kính \(R\).
Chẳng hạn, phương trình đường tròn tâm \(I\left(2;-3\right)\) bán kính \(R=5\) là: \(\left(x-2\right)^2+\left(y+3\right)^2=25\)
Ví dụ 1: Cho hai điểm \(A\left(1;2\right)\) và \(B\left(-3;4\right)\). Viết phương trình đường tròn \(\left(C\right)\) đường kính \(AB\).
Giải:
Gọi \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\). Ta có \(I\left(-1;3\right)\)
Bán kính của đường tròn \(\left(C\right)\) là \(IA=\sqrt{\left(-1-1\right)^2+\left(3-2\right)^2}=\sqrt{5}\)
Như vậy ta được đường tròn \(\left(C\right)\) tâm \(I\left(-1;3\right)\) bán kính \(R=\sqrt{5}\)
Suy ra phương trình đường tròn \(\left(C\right)\) là: \(\left(x+1\right)^2+\left(y-3\right)^2=5\).
Ví dụ 2: Viết phương trình đường tròn tâm \(I\left(2;-3\right)\) và đi qua điểm \(M\left(-2;3\right)\).
Giải:
Với \(I\left(2;-3\right)\), \(M\left(-2;3\right)\) ta có \(IM=\sqrt{\left(2+2\right)^2+\left(-3-3\right)^2}=\sqrt{52}\)
Đường tròn tâm \(I\) và đi qua điểm \(M\) có bán kính \(R=IM=\sqrt{52}\)
Do đó ta có phương trình đường tròn là: \(\left(x-2\right)^2+\left(y+3\right)^2=52\).
Ví dụ 3: Tìm tâm và bán kính của các đường tròn sau:
a) \(x^2+y^2-2x-2y-2=0\) ;
b) \(16x^2+16y^2+16x-8y-11=0\)
Giải:
a) Ta có: \(x^2+y^2-2x-2y-2=0\) \(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2=4\)
Vậy đường tròn này có tâm \(I\left(1;1\right)\) và bán kính \(R=2\).
b) Ta có: \(16x^2+16y^2+16x-8y-11=0\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+x-\dfrac{1}{2}y-\dfrac{11}{16}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(y-\dfrac{1}{4}\right)^2=1\)
Vậy đường tròn này có tâm \(I\left(-\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{4}\right)\) bán kính \(R=1\).
Chú ý: Phương trình đường tròn có tâm là gốc toạ độ \(O\) và có bán kính \(R\) là:
\(x^2+y^2=R^2\)
@1972697@2. Nhận xét
Phương trình đường tròn \(\left(x-a\right)^2+\left(y-b\right)^2=R^2\) có thể được viết dưới dạng \(x^2+y^2-2ax-2by+c=0\) , trong đó \(c=a^2+b^2-R^2\).
Ngược lại, phương trình \(x^2+y^2-2ax-2by+c=0\) là phương trình của đường tròn \(\left(C\right)\) khi và chỉ khi \(a^2+b^2-c>0\). Khi đó đường tròn \(\left(C\right)\) có tâm \(I\left(a;b\right)\) và bán kính \(R=\sqrt{a^2+b^2-c}\).
Ta xét lại ví dụ 3 trên nhưng với cách làm khác.
Ví dụ 3: Tìm tâm và bán kính của các đường tròn sau:
a) \(x^2+y^2-2x-2y-2=0\) ;
b) \(16x^2+16y^2+16x-8y-11=0\)
Giải:
a) Ta có \(x^2+y^2-2x-2y-2=0\) \(\Leftrightarrow\) \(x^2+y^2-2.1.x-2.1y-2=0\)
Suy ra phương trình trên có các hệ số \(a=1,b=1,c=-2\)
Nên đường tròn có tâm \(I\left(1;1\right)\) và bán kính \(R=\sqrt{1^2+1^2-\left(-2\right)}=\sqrt{4}=2\)
b) Ta có \(16x^2+16y^2+16x-8y-11=0\) \(\Leftrightarrow x^2+y^2+x-\dfrac{1}{2}y-\dfrac{11}{16}=0\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2-2.\dfrac{-1}{2}.x-2.\dfrac{1}{4}.y-\dfrac{11}{16}=0\)
Suy ra phương trình trên có các hệ số \(a=-\dfrac{1}{2},b=\dfrac{1}{4},c=-\dfrac{11}{16}\)
Nên đường tròn có tâm \(I\left(-\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{4}\right)\), bán kính \(R=\sqrt{\left(-\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(\dfrac{1}{4}\right)^2-\left(-\dfrac{11}{16}\right)}=1\)
Ví dụ 4: Viết phương trình đường tròn \(\left(C\right)\) đi qua 3 điểm \(A\left(1;2\right)\), \(B\left(5;2\right)\) và \(C\left(1;-3\right)\).
Giải:
Gọi phương trình đường tròn \(\left(C\right)\) là \(x^2+y^2-2ax-2by+c=0\)
Do \(A\left(1;2\right)\in\left(C\right)\) nên ta có \(1^2+2^2-2.a.1-2.b.2+c=0\) \(\Rightarrow2a+4b-c=5\) (1)
Do \(B\left(5;2\right)\in\left(C\right)\) nên ta có \(5^2+2^2-2.a.5-2.b.2+c=0\) \(\Rightarrow10a+4b-c=29\) (2)
Do \(C\left(1;-3\right)\in\left(C\right)\) nên ta có \(1^2+\left(-3\right)^2-2.a.1-2.b.\left(-3\right)+c=0\) \(\Rightarrow2a-6b-c=10\) (3)
Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}2a+4b-c=5\\10a+4b-c=29\\2a-6b-c=10\end{matrix}\right.\)
Giải hệ phương trình trên ta được nghiệm \(a=3,b=-\dfrac{1}{2},c=-1\)
Thay vào ta được phương trình đường tròn \(\left(C\right)\) là \(x^2+y^2-6x+y-1=0\).
@1972874@3. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn
Cho điểm \(M_0\left(x_0;y_0\right)\) nằm trên đường tròn \(\left(C\right)\) tâm \(I\left(a;b\right)\).
Gọi \(\Delta\) là tiếp tuyến với \(\left(C\right)\) tại \(M_0\).
Ta có \(M_0\) thuộc \(\Delta\) và vectơ \(\overrightarrow{IM_0}=\left(x_0-a;y_0-b\right)\) là vectơ pháp tuyến của \(\Delta\).
Do đó \(\Delta\) có phương trình là:
\(\left(x_0-a\right)\left(x-x_0\right)+\left(y_0-b\right)\left(y-y_0\right)=0\) (2)
Phương trình (2) là phương trình tiếp tuyến của đường tròn \(\left(x-a\right)^2+\left(y-b\right)^2=R^2\) tại điểm \(M_0\) nằm trên đường tròn.
Ví dụ 5: Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm \(M\left(3;4\right)\) thuộc đường tròn \(\left(C\right):\left(x-1\right)^2+\left(y-2\right)^2=8\).
Giải:
Từ phương trình \(\left(x-1\right)^2+\left(y-2\right)^2=8\) ta suy ra \(\left(C\right)\) có tâm \(I\left(1;2\right)\)
Suy ra phương trình tiếp tuyến với \(\left(C\right)\) tại \(M\left(3;4\right)\) là
\(\left(3-1\right)\left(x-3\right)+\left(4-2\right)\left(y-4\right)=0\)
\(\Leftrightarrow2x+2y-14=0\)
\(\Leftrightarrow x+y-7=0\)
Vậy phương trình tiếp tuyến với \(\left(C\right)\) tại \(M\left(3;4\right)\) là \(x+y-7=0\).
@1974034@Từ khóa » Công Thức Tính Bán Kính Pt đường Tròn
-
Tìm Tọa độ Tâm Và Bán Kính Của đường Tròn
-
Lý Thuyết Phương Trình đường Tròn | SGK Toán Lớp 10
-
Tìm Tâm Và Bán Kính đường Tròn
-
Phương Trình đường Tròn: Lý Thuyết, Công Thức Và Cách Giải Các Dạng ...
-
Phương Trình đường Tròn: Lý Thuyết, Công Thức, Cách Giải Các Dạng ...
-
Cách để Tính Bán Kính Đường Tròn - WikiHow
-
Công Thức Phương Trình đường Tròn Và Bài Tập Có Lời Giải Chi Tiết
-
Công Thức Tính Bán Kính đường Tròn [dễ Nhớ] - Babelgraph
-
Chia Sẽ Phương Trình Và Công Thức đường Tròn đơn Giản
-
Phương Trình Của đường Tròn Là Gì ? Phương Trình Tổng Quát Có Tâm ...
-
Bài 2. Phương Trình đường Tròn - Củng Cố Kiến Thức
-
Phương Trình đường Tròn Và Các Dạng Bài Tập Lớp 10, 12
-
Phương Trình đường Tròn Lớp 10 Chuẩn Nhất - CungHocVui
-
Viết Phương Trình đường Tròn Biết Tâm, Bán Kính, đường Kính