30. Chuyên đề Bất đẳng Thức - Bất đẳng Thức ml

Đại số 10 NC

Bài 30: CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC (B3)

BĐT BUNHIACOVXKI

Dẫn dắt: Buổi hôm trước chúng ta đã cùng nhau đi nghiên cứu hai phương pháp giải bất đẳng thức là pp biển đổi tương đương và pp Cmr bằng BĐT Cosi. Ngoài ra chúng ta còn một bất đẳng thức nữa rất quan trọng, ứng dụng rất nhiều vào tìm GTLN, GTNN đó là bđt bunhiacovxki Vậy bđt này như thế nào thì chúng ta cùng vào bài ngày hôm nay.

I. Lý thuyết

1. Bất đẳng thức Bunhikovxki

a. BĐT bu – nhi – a – cốp – xki cho 4 số

Với 4 số ta có:

Dấu “=” xảy ra (nếu a, b ≠ 0)

b. BĐT bu – nhi – a – cốp – xki cho 6 số

Với 4 số ta có:

Dấu “=” xảy ra (nếu a, b, c ≠ 0)

Mở rộng: Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki cho hai bộ số thực mỗi bộ gồm n số. Khi đó ta có:

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

2. Hệ quả

Hệ quả 1: (Tìm GTNN) Nếu (không đổi) thì GTNN đạt được khi

Hệ quả 2: (Tìm GTLN) Nếu (không đổi) thì GTLN Đạt được khi

Chú ý: Với bất đăng thức bunhia ta xác định dấu trước để biết vế ta đang cần xét nằm ở vế nào. Sau đó ta đang xác định bộ số để sử dụng bất đẳng thức bunhia.

Cho học sinh áp dụng chứng minh bất đẳng thức

Bài 4. Mức 3: Chứng minh

a) Với a, b ∈ R và x, y > 0, ta luôn có:

b) Với a, b, c ∈ R và x, y, z > 0, ta luôn có:

Hướng dẫn

a. Ta có

b. Chứng minh tương tự

Cho học sinh quay lại bất đẳng thức này chính là mở rộng của bất đẳng thức mà hôm trước chúng ta đã chứng minh.

Bài 1. Mức 2:Cho x, y là hai số thỏa mãn . Chứng minh . Khi nào đẳng thức xảy ra

Hướng dẫn: Ta đang cần chứng minh .

Nhận thấy vế trái A = 4x+3y đang nằm ở bên nhỏ hơn vậy nó giống với vế nào của bất đẳng thức VP vậy ta có thể ứng dụng bất đẳng thức Bunhia để Cm.

Vậy ta cần Có (4x+3y)^2 nhỏ hơn bằng tuy nhiên để dùng BĐT Bunhia ta cần xác định xem dùng nó với hai bộ số nào?

Ưu tiên sử dụng bộ số mà có thể sử dụng được điều kiện của đề bài

Vậy ta nên sử dụng bộ số nào phân tích Vậy chắc chắn ta cần có bộ số (2x;3y) vậy ta cần thêm bộ số nào nữa để được 4x+3y?

Hướng dẫn

Áp dụngBĐT Bunhiacopxki cho 4 số 2, 1, 2x, 3y ta có:

Dấu “=” xảy ra hoặc

Bài 2. Mức 2: Chứng minh rằng

a. Nếu thì

b. Nếu thì

Hướng dẫn: Vt đang có dạng vậy nếu muốn dùng bunhia ta cần có bộ số (x; y)

Tìm bộ số còn lại dựa vào giả thiết.

Hướng dẫn

a. Ta có

Dấu “=” xảy ra khi

b. Ta có

Dấu “=” xảy ra khi

Bài 3. Mức 3: Cho x, y, z là 3 số dương thỏa mãn . Chứng minh rằng . Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?

Hướng dẫn

Ta có T.49 =

Dấu “=” xảy ra khi x = 1; y = 5 và z = 2

Bài 5. Mức 3: Tìm GTLN của A = với x, y, z ≥ −1 và x + y + z = 1

Hướng dẫn

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:

A = =

Dấu “=” xảy ra

Vậy GTNN của A = khi

Bài 6. Mức 3: Cho a > c > 0 và b > c > 0. Chứng minh rằng

Hướng dẫn

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki, ta có:

Bài 7. Mức 3: Chứng minh rằng với mọi số thực x, ta có:

Hướng dẫn

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki và bất đẳng thức , ta được

Vậy