4.2. Xác Suất Có điều Kiện, Công Thức Nhân Xác Suất

Định nghĩa: Xác suất của biến cố A với điều kiện biến cố B xảy ra được gọi là xác suất có điều kiện của biến cố A. Ký hiệu P(A/B).

Ví dụ 4: Hộp có 10 viên bi trong đó có 4 viên màu đỏ, 6 viên màu trắng. Lần lượt rút không hoàn lại 2 viên bi. Giả sử lần thứ nhất rút được bi màu đỏ, tính xác suất để lần thứ hai rút được bi màu đỏ.

Gọi Ai là biến cố rút được bi màu đỏ lần thứ i.

Hình 5

3 đỏ

4 đỏ

Đ1

Đ2 ?

lần 2

lần 1

10

9

Ta có: P(A2/A1) = 3/9

Chú ý: Cho A, B là hai biến cố với P(B) > 0. Ta còn có công thức:

Ví dụ 5: Một bộ bài có 52 lá. Rút ngẫu nhiên 1 lá bài. Tính xác suất để rút được con “át”, biết rằng lá bài rút ra là lá bài màu đen.

Gọi A là biến cố rút được con “át”.

B là biến cố rút được lá bài màu đen.

Ta thấy trong bộ bài có 26 lá bài màu đen nên

một con át đen nên

Do đó ta có:

Ví dụ 6: Thi 2 môn, xác suất đậu một thứ nhất là 0,6. Nếu môn thứ nhất đậu thì khả năng sinh viên đó đậu môn thứ hai là 0,8. Nếu môn thứ nhất không đậu thì khả năng sinh viên đó đậu môn thứ 2 chỉ là 0,6. Tính xác suất trong các trường hợp sau:

a) Sinh viên đó đậu chỉ một môn.

b) Sinh viên đó đậu 2 môn.

Giải

a) Sinh viên đó đậu chỉ một môn:

Gọi A là biến cố sinh viên đó đậu chỉ một môn.

Ai là biến cố sinh viên đó đậu môn thứ i (i =1, 2).

Ta có:

Suy ra:

= (0,6.(0,2) + (0,4).(0,6) = 0,36

b) Sinh viên đó đậu 2 môn:

Gọi B là biến cố sinh viên đậu hai môn.

Ta có:

Suy ra:

4.3.2 Công thức nhân xác suất:

Cho A và B là hai biến cố bất kỳ của một phép thử. Ta luôn có:

P(AB) = P(A) . P(B/A) = P(B) . P(A/B)

• • Nếu A và B độc lập, có: P(AB) = P(A) . P(B)
  • Mở rộng: P(A1.A2…… An) = P(A1) . P(A2/A1) . P(A3/A1A2). . .P(An/A1..An-1)
  • Nhóm các biến cố độc lập toàn phần: A1, A2, …, An được gọi là độc lập toàn phần khi và chỉ khi: P(A1A2…An) = P(A1). P(A2)… P(An)

Ví dụ 7:Tung đồng thời hai con xúc xắc. Tính xác suất để cả 2 con xúc xắc đều xuất hiện mặt 6 chấm.

Gọi A là biến cố cả hai xúc xắc đều xuất hiện mặt 6 chấm.

Ai là biến cố xúc xắc thứ i xuất hiện mặt 6 chấm (i = 1, 2)

Ta có: A=A1A2

Do A1 và A2 độc lập nhau, nên:

Ví dụ 8: Hai xạ thủ mỗi người bắn một phát đạn vào bia. Xác suất bắn trúng của người thứ nhất là p = 0,9; của người thứ hai là p = 0,7. Tính xác suất:

a) Cả hai đều bắn trúng.

b) Có đúng một viên đạn trúng bia.

c) Bia bị trúng đạn.

Biết rằng hai người bắn độc lập với nhau.

Gọi A là biến cố xạ thủ I bắn trúng bia.

B là biến cố xạ thủ II bắn trúng bia.

C là biến cố cả hai xạ thủ trúng bia.

D là biến cố có một viên đạn trúng bia.

E là biến cố bia bị trúng đạn.

a) Xác suất để cả hai đều bắn trúng: Ta có C = AB

P(C) = P(AB) = P(A) . P(B) = 0,9 . 0,7 = 0,63

b) Xác suất để có một viên đạn trúng bia:

Ta có:

Vì và là xung khắc với nhau

→

→ P(D) = 0,9 . 0,3 + 0,1 . 0,7 = 0,34

c.) Xác suất để bia bị trúng đạn:

Ta có:

P(E) = 1 – 0,03 = 0,97