Bài 5: Công Thức Nhân Xác Suất

1. Xác suất có điều kiện

Cho A, B là hai biến cố.

Nếu A, B xung khắc mà đã biết B xảy ra thì A không thể xảy ra.

Nếu \(B \subset A\) mà đã biết B xảy ra thì A chắc chắn xảy ra.

Trong thực tế có thể gặp trường hợp: Ta cần tính xác suất của biến cố A khi đã biết thông tin là biến cố B đã xảy ra.

Định nghĩa: Xác suất của biến cố A được tính với điều kiện biến cố B đã xảy ra được gọi là xác suất có điều kiện của A, ký hiệu là: P(A/B)

Thí dụ: Kiện hàng có 5 sản phẩm (trong đó có 2 sản phẩm loại I). Lấy ngẫu nhiên lần lượt ra 2 sàn phẩm (lấy không hoàn lại). Tìm xác suất để lần thứ hai lấy được sản phẩm loại I biết lần thứ nhất lấy được sản phẩm loại I.

Giải: Gọi A là biến cố “lần thứ hai lấy được sản phẩm loại I” ; B là biến cố “lần thứ nhất lấy được sản phẩm loại I”. Ta cần tìm P(A/B).

Ta thấy lần thứ nhất đã lấy được sản phẩm loại I (tức B đã xảy ra) nên trong kiện còn lại 4 sản phẩm, trong đó có 1 sản phẩm loại I.

Theo định nghĩa cổ điển, ta có: \(P(A/B) = \frac{1}{4}\)

Công thức tính: Để tính xác suất có điều kiện, tùy theo từng trường hợp cụ thể ta có thể dùng định nghĩa cổ điển hoặc dùng công thức:

\(P(A/B) = \frac{{P(AB)}}{{P(B)}}\,\,\,\,(1.16)\)

(với điều kiện \(P(B) \ne 0\))

Trước khi chứng minh công thức tổng quát, ta xét thi dụ sau:

Một lớp có 50 sinh viên, trong đó có 30 sinh viên nữ và 20 sinh viên nam. Trong lớp có 11 sinh viên học giỏi toán (trong đó có 6 sinh viên nữ ). Gặp ngẫu nhiên một sinh viên của lớp. Tìm xác suất để gặp được sinh viên học giỏi toán, biết sinh viên này là nữ.

Giải: Gọi A là biến cố gặp được sinh viên học giỏi toán; B là biến cố gặp được sinh viên nữ. Ta cần tính P(A/B).

Để tính xác suất trên, ta sử dụng định nghĩa cổ điển.

Vì biến cố B đã xảy ra, nên số trường hợp đồng khả năng là 30 (đó là các trường hợp: gặp được sinh viên nữ thứ nhất, gặp được sinh viên nữ thứ hai,.. ., gặp được sinh viên nữ thứ 30).

Sô" trường hợp thuận lợi cho A là 6 (đó là các trường hợp: gặp được sinh viên nữ giỏi toán thứ nhâ't, gặp được sinh viên nữ giỏi toán thứ hai, ..., gặp được sinh viên nữ giỏi toán thứ sáu)

Vậy theo định nghĩa cổ điển ta có: \(P(A/B) = \frac{6}{{30}} = 0,2\)

Ta có: \(P(A/B) = \frac{6}{{30}} = \frac{{(6/50)}}{{(30/50)}} = \frac{{P(AB)}}{{P(B)}}\)

Chứng minh:

Giả sử phép thử có n trường hợp đồng khả năng, trong đó có m1 trường hợp thuận lợi cho B; m2 trường hợp thuận lợi cho A. Vì A, B không xung khắc nên nói chung sẽ có k trường hợp thuận lợi cho cả A và B. Theo định nghĩa cổ điển của xác suất ta có:

\(P(AB) = \frac{k}{n};\,\,\,\,\,P(B) = \frac{{{m_1}}}{n}\)

Ta tính P(A/B)

Với điều kiện B đã xảy ra nên số trường hợp đồng khả năng của biến cố A khi đó sẽ là mi; số trường hợp thuận lợi cho A là k.

Do vậy: \(P(A/B) = \frac{k}{{{m_1}}}\)

Ta có: \(P(A/B) = \frac{k}{{{m_1}}} = \frac{{(k/n)}}{{({m_1}/n)}} = \frac{{P(AB)}}{{P(B)}}\) (đpcm)

Trong thí dụ trên thì: n = 50; m1 = 30; k = 6

Sự độc lập của các biến cố

Ta có thể dùng khái niệm xác suất có điều kiện để định nghĩa hai biến cố độc lập như sau:

Hai biến cố A, B độc lập nếu: P(A/B) = P(A) hay P(B/A) = P(B)

Tức việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không ảnh hưởng đến khả năng xảy ra của biến cố kia.

Từ định nghĩa trên ta suy ra: Hai biến cố A, B độc lập khi và chỉ khi: P(AB) = P(A)P(B)

Tức là: việc B xảy ra hay không xảy ra không làm thay đổi xác suất của biến cố A và ngược lại, việc A xảy ra hay không xảy ra không làm thay đổi xác suất của biến cố B.

Nếu A, B độc lập thì \(\overline A ,{\rm{ }}B;{\rm{ }}A,{\rm{ }}\overline B \) và \(\overline A ,{\rm{ }}\overline B \) cũng độc lập.

Các biến cố A1, A2. . . . An được gọi là độc lập từng đôi nếu 2 biến cố bất kỳ ưong n biến cố này độc lập nhau.

Các biến cố A1, A2, ..., An được gọi là độc lập toàn phần (độc lập trong toàn thể), ta gọi vắn tắt là các biến cổ độc lập, nếu với mọi tập con {i1, i2,...,ik} của {1,2, ...,n}

\(P({A_{{i_1}}}{A_{{i_2}}}...{A_{{i_k}}}) = P({A_{{i_1}}})P({A_{{i_2}}})....P({A_{{i_k}}})\)

Các biến cố độc lập toàn phần thì độc lập từng đôi, nhưng các biến cố độc lập từng đôi thì chưa chắc độc lập toàn phần.

Thí dụ:

Có hai kiện hàng, từ mỗi kiện ta chọn ngẫu nhiên ra một sản phẩm để kiểm tra. Gọi A là biến cố sản phẩm chọn ra từ kiện thứ nhất là sản phẩm tốt. B là biến cố sản phẩm chọn ra từ kiện thứ hai là sản phẩm tốt. A, B là hai biến cố độc lập.

Một một kiện hàng có 10 sản phẩm (trong đó có 7 sản phẩm loại I và 3 sản phẩm loại II). Lần lượt lấy ngẫu nhiên hai sản phẩm từ kiện hàng này. Gọi A là biến cố sản phẩm lấy lần thứ nhất là sản phẩm loại I, B là biến cố sản phẩm lấy lần thứ hai là sản phẩm loại I, thì B phụ thuộc A.

Tung một con súc sắc 4 lần, gọi Ai (i = 1,2, 3, 4) là biến cố lần tung thứ i được mặt 6 chấm. Các biến cố Ai (i = 1,2, 3,4) độc lập toàn phần.

Tung một đồng xu 2 lần. Gọi A là biến cố lần tung thứ nhất xuất hiện mặt sấp; B là biến cố lần tung thứ hai xuất hiện mặt ngửa; c là biến cố cả hai lần tung cùng xuất hiện mặt sấp hoặc cùng xuất hiện mặt ngửa.

Không gian mẫu đối vối phép thử này là: Q = {SS, SN, NS, NN}

Trong đó:

• SS là biến cố cả hai lần tung đều ra mặt sấp.
• SN là biến cố lần tung thứ nhất ra mặt sấp và lần tung thứ hai ra mặt ngửa.
• NS là biến cố lần tung thứ nhất ra mặt ngửa và lần tung thứ hai ra mặt sấp.
• NN là biến cố cả hai lần tung đều ra mặt ngửa.

Ta có: P(A/B) = 0,5 = P(A) và P(B/A) = 0,5 = P(B). Vậy A, B độc lập.

P(A/C) = 0,5 = P(A) và P(C/A) = 0,5 = P(C). Vậy A, C độc lập.

P(B/C) = 0,5 = P(B) và P(C/B) = 0,5 = P(C). Vậy B, C độc lập.

Vậy A, B, C độc lập từng đôi. Nhưng: P(C/AB) = 0 \(\ne \) P(C) = 0,5 tức là C và AB không độc lập. Vậy A, B, C không độc lập toàn phần.

2. Định lý

A, B là hai biến cố bất kỳ, thì: P(AB) = P(A).P(B/A)= P(B)P(A/B) (1.17)

Tổng quát: A1, A2,..., An bất kỳ, thì: \(P({A_1}{A_2}....{A_n}) = P({A_1})P({A_2}/{A_1})...P({A_n}/{A_1}{A_2}...{A_{n - 1}})\) (1.18)

Từ công thức tính xác suất có điều kiện bạn đọc có thể dễ dàng chứng minh được các công thức trên.

3. Hệ quả

Nếu A, B là hai biến cố độc lập, thì: P(AB) = P(A)P(B) (1.19)

Bạn đọc có thể dễ dàng chứng minh hệ quả này.

Tổng quát: Nếu A1, A2,..., An độc lập toàn phần, thì: \(P({A_1}{A_2}....{A_n}) = P({A_1})P({A_2})P({A_3})...P({A_n})\) (1.20)

Thí dụ: Một phân xưởng có 3 máy. Xác suất các máy bị hỏng trong ngày tương ứng là: 0,1; 0,2; 0,15. Tính các xác suất sau đây:

a. Có một máy bị hỏng trong ngày?

b. Có ít nhất một máy bị hỏng trong ngày?

Giải:

Gọi A1, A2, A3 tương ứng là các biến cố máy thứ nhất, thứ hai, thứ ba bị hỏng trong ngày. Khi đó A1; A2; A3 tương ứng sẽ là các biến cố máy thứ nhất, thứ hai, thứ ba tốt trong ngày.

A là biến cố có một máy hỏng trong ngày.

Ta thấy: \(A{\rm{ }} = {\rm{ }}{A_1}{\rm{.}}\overline {{A_2}} .\overline {{A_3}} {\rm{ }} + {\rm{ }}\overline {{A_1}} {\rm{.}}{A_2}.\overline {{A_3}} {\rm{ }} + {\rm{ }}\overline {{A_1}} .\overline {{A_2}} .{A_3}\)

Vì các biến cố tích xung khắc từng đôi và các biến cố trong mỗi tích đó độc lập toàn phần, do đó:

\(P\left( A \right){\rm{ }} = {\rm{ }}P\left( {A{}_1} \right).P\left( {\overline {{A_2}} } \right).P\left( {\overline {{A_3}} } \right){\rm{ }} + {\rm{ P}}\left( {\overline {{A_1}} } \right).P\left( {{A_2}} \right).P\left( {\overline {{A_3}} } \right){\rm{ }} + {\rm{ }}P\left( {\overline {A{}_1} } \right).P\left( {\overline {{A_2}} } \right).P\left( {{A_3}} \right)\)

\(= {\rm{ }}0,1\,x\, {\rm{ }}0,8\,x\, {\rm{ }}0,85{\rm{ }} + {\rm{ }}0,9\,x\, {\rm{ }}0,2\,x\, {\rm{ }}0,85{\rm{ }} + {\rm{ }}0,9\,x\, {\rm{ }}0,8\,x\, {\rm{ }}0,15{\rm{ }} = {\rm{ }}0,329\)

Gọi B là biến cố: “Có ít nhất một máy bị hỏng trong ngày”. Như vậy ta suy ra: B là biến cố: “Không có máy nào bị hỏng trong ngày”, hay “ cả 3 máy đều tốt”. Tức \(\overline B = \overline {{A_1}} .\overline {{A_2}} .\overline {{A_3}} \)

\(P(B) = 1 - P(\overline B ) = 1 - P(\overline {{A_1}} ).P(\overline {{A_2}} ).P(\overline {{A_3}} ) = 1 - 0,9\,x\,0,8\,x\,0,85\, = \,0,388\)