4.9 CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM ml

Có thể bạn quan tâm

Chứng minh phương trình sau có nghiệm với mọi

a). (1)

b). (1)

c). (1)

d).

LỜI GIẢI

a). (1)

Đặt .

Tập xác định của hàm số f(x) là . Vì f(x) là hàm đa thức liên tục trên R.

Ta có và có . Vì với mọi m.

Do đó luôn có ít nhất 1 nghiệm trong khoảng với mọi m.

Kết luận phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi giá trị m.

b). (1)

Đặt .Tập xác định của hàm số f(x) là . Vì f(x) là hàm đa thức liên tục trên R.

Ta có và có . Từ đó suy ra luôn có ít nhất 1 nghiệm

Xét trường hợp:

Kết luận phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi giá trị m.

c). (1)

Đặt . Tập xác định của hàm số f(x) là . Vì f(x) là hàm đa thức liên tục trên R.

Ta có: .

Ta có:

Vì với mọi m.

luôn có ít nhất 1 nghiệm với mọi m.

Kết luận phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi giá trị m.

d). (1)

Đặt . Tập xác định của hàm số f(x) là . Vì f(x) là hàm đa thức liên tục trên R.

Chọn nghiệm, cho

Ta có:

Vì luôn có ít nhất 1 nghiệm . Kết luận phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi giá trị m.

Chứng minh phương trình sau có ít nhất một nghiệm:

a). b).

LỜI GIẢI

a). Đặt . Tập xác định của hàm số f(x) là . Vì f(x) là hàm đa thức liên tục trên R.

Ta có và , nên suy ra với mọi m. Do đó luôn có ít nhất 1 nghiệm với mọi m.

b). Đặt . Tập xác định của hàm số f(x) là . Vì f(x) là hàm đa thức liên tục trên R.

Ta có và có , nên suy ra với mọi m.

Do đó luôn có ít nhất 1 nghiệm với mọi m.

Chứng minh các phương trình sau có ít nhất hai nghiệm :

a). b).

LỜI GIẢI

a). Đặt . Tập xác định của hàm số f(x) là . Vì f(x) là hàm đa thức liên tục trên R.

Ta có ,

Vì phương trình luôn có ít nhất 1 nghiệm

Vì phương trình có ít nhất 1 nghiệm

Từ phương trình (1) luôn có ít nhất 2 nghiệm phân biệt.

Chứng minh phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng

LỜI GIẢI

Đặt

Tập xác định của hàm số f(x) là . Vì f(x) là hàm đa thức liên tục trên R.

Ta có và .

Vì phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng

Chứng minh phương trình có ít nhất một nghiệm âm lớn hơn .

LỜI GIẢI

Đặt . Tập xác định của hàm số f(x) là . Vì f(x) là hàm đa thức liên tục trên R.

Ta có: , và . Từ đó suy ra . Vậy phương trình (1) luôn có nghiệm thuộc khoảng .

Kết luận phương trình luôn có ít nhất 1 nghiệm âm lớn hơn .

Cho hàm số và . Chứng minh phương trình luôn có nghiệm thuộc khoảng .

LỜI GIẢI

Tập xác định của hàm số f(x) là . Vì f(x) là hàm đa thức liên tục trên R.

Ta có và

Theo đề bài có

Ta có :

Cho hàm số

a). Chứng minh

b). Chứng minh phương trình không có nghiệm thuộc khoảng

LỜI GIẢI

a. Ta có và

b. Vì hàm số không liên tục trên không có nghiệm

6. Chứng minh rằng phương trình có nghiệm.

LỜI GIẢI

Đặt phương trình đã cho trở thành

Hàm số liên tục trên R.

Ta có :

Do , suy ra phương trình có nghiệm thuộc

Vậy phương trình đã cho có nghiệm.

7. Chứng minh các phương trình sau có nghiệm:

a) b) c) d)

LỜI GIẢI

a). Đặt thì liên tục trên R và

Hàm số liên tục trên R, có suy ra phương trình có nghiệm thuộc khoảng . Vậy phương trình đã cho có nghiệm.

b).Đặt thì liên tục trên R và

Hàm số liên tục trên R, có suy ra phương trình có nghiệm thuộc khoảng , suy ra phương trình có nghiệm.

c).Đặt thì liên tục trên R và

Hàm số liên tục trên R, có suy ra phương trình có nghiệm thuộc khoảng . Vậy phương trình đã cho có nghiệm.

d).Đặt thì liên tục trên R và

Hàm số liên tục trên R, có suy ra phương trình có nghiệm thuộc khoảng . Vậy phương trình đã cho có nghiệm.

10. Chứng minh rằng nếu và thì phương trình có nghiệm thuộc khoảng

LỜI GIẢI

Đặt thì liên tục trên R.

Ta có

(do )

Vì do đó

-Với phương trình đã cho ( kí hiệu là phương trình trở thành

Suy ra hoặc

+Nếu thì từ và điều kiện suy ra . Khi đó phương trình có nghiệm là , suy ra phương trình có nghiệm

+ Nếu thì (vì nếu thì từ điều kiện suy ra )

suy ra phương trình có nghiệm

Khi đó từ điều kiện và suy ra

Do đó phương trình có nghiệm

-Với là nghiệm thuộc .

- Với và có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng

Mà (vì ) nên phương trình có nghiệm

Vậy phương trình luôn có nghiệm thuộc khoảng .

12. Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c phương trình

có ít nhất một nghiệm.

LỜI GIẢI

Đặt thì liên tục trên R.

Không giảm tính tổng quát, giả sử

-Nếu hoặc thì suy ra phương trình có nghiệm

-Nếu thì và do đó tồn tại thuộc khoảng để

Vậy phương trình đã cho luôn có ít nhất một nghiệm.

8. Chứng minh phương trình có ba nghiệm trên khoảng

LỜI GIẢI

Đặt thì liên tục trên R.

Do đó từ tính chất của hàm số liên tục , suy ra có nghiệm thuộc khoảng suy ra phương trình có ba nghiệm trên khoảng

10. Chứng minh rằng với mọi a, b, c phương trình luôn có nghiệm.

LỜI GIẢI

Đặt thì liên tục trên R.

Ta có: để

để

Như vậy có để suy ra phương trình có nghiệm vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm.

11. Chứng minh rằng với mọi a, b, c phương trình có ít nhất hai nghiệm phân biệt.

LỜI GIẢI

Đặt thì liên tục trên R.

Ta có:

để

Do đó suy ra phương trình có nghiệm trong khoảng

suy ra phương trình có nghiệm trong khoảng mà các khoảng và không giao nhau, do đó phương trình có ít nhất hai nghiệm phân biệt.

12. Chứng minh rằng phương trình có nghiệm mà

LỜI GIẢI

Cách 1: Đặt ta có phương trình

Ta chứng minh phương trình có nghiệm

Đặt phương trình trở thành:

Ta chứng minh có nghiệm trong khoảng

Đặt thì liên tục trên R.

Ta có

Nên

Và

Do đó

Suy ra vậy phương trình có nghiệm từ đó suy ra điều phải chứng minh.

Cách 2: (sử dụng lượng giác)

Từ công thức

Do đó hay với

Từ công thức này suy ra:

Nghiệm của phương trình đã cho có thể tìm được dưới dạng : , sao cho

Đặt , phương trình đã cho trở thành:

Lấy ta được và nghiệm thỏa mãn điều kiện đã nêu.

Chứng minh rằng phương trình có ba nghiệm thực phân biệt. Hãy tìm 3 nghiệm đó.

Đặt ; tập xác định suy ra hàm số liên tục trên . Ta có suy ra . Từ 3 bất đẳng thức này và tính liên tục của hàm số suy ra pt có ba nghiệm phân biệt thuộc . Đặt thay vào pt ta được:

, kết hợp với ta được . Do đó phương trình đã cho có 3 nghiệm:

Cho phương trình: ( là ẩn, là tham số). Chứng minh rằng với mọi giá trị thực của phương trình đã cho có ít nhất ba nghiệm thực phân biệt.

LỜI GIẢI

Đặt ta được xác định và liên tục trên .

Ta có

Do đó ta được nên phương trình có nghiệm thuộc suy ra phương trình có 3 nghiệm phân biệt.

Tìm n số nguyên dương nhỏ nhất sao cho phương trình có nghiệm.

Ta có . Đặt .

Điều kiện để hàm số xác định .

Nếu n lẻ: hàm số xác định .

Nếu n chẵn: Hàm số xác định . Khi đó là hàm số chẵn trên tạp xác định của nó nên nếu phương trình có nghiệm thì cũng có nghiệm . Do đó ta chỉ cần xét trường hợp .

Ta có

Ta có . Dấu xảy ra khi hệ này vô nghiệm. Do đó

Vì phương trình vô nghiệm khi .

Với ta có .

Có , .

Vì . Từ đó có (1).

Hàm số xác định và liên tục trên do đó hàm số f(x) liên tục trên đoạn (2). Từ (1) và (2) suy ra phương trình có ít nhất một nghiệm trong khoảng .

Kết luận là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho phương trình có nghiệm.

Cho hàm số

a). Chứng minh phương trình có nghiệm .

b). Không tính và hãy chứng minh .

LỜI GIẢI

Ta có và nên (1). Vì hàm số xác định và liên tục trên R nên nên hàm số f(x) liên tục trên đoạn (2). Từ (1) và (2) suy ra phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng .

Ta có . Vì là nghiệm của phương trình nên .

Đặt vì và .

Áp dụng định lý Cauchy cho hai số không âm và 3 ta có .

Dấu xảy ra .

Chứng minh khi thì phương trình có ba nghiệm dương phân biệt.

LỜI GIẢI

Đặt

Vì .

Ta có , , , . Từ đó có (1). Vì hàm số liên tục và xác định trên R nên hàm số liên tục trên các đoạn (2). Từ (1) và (2) suy ra phương trình có ba nghiệm dương phân biệt lần lượt thuộc các khoảng .

Cho và thỏa . Chứng minh rằng phương trình sau có nghiệm : .

LỜI GIẢI

Đặt . Có hàm số f(x) liên tục trên đoạn (1).

Ta có

(2).

Từ (1) và (2) suy ra phương trình có nghiệm .

Chứng minh với mọi tham số m phương trình sau luôn có nghiệm thực :

LỜI GIẢI

Đặt .

Ta có và nên (1). Vì hàm số f(x) xác định và liên tục trên R nên f(x) liên tục trên đoạn (1). Từ (1) và (2) suy ra phương trình luôn có nghiệm thuộc khoảng .

Chứng minh rằng phương trình có ba nghiệm phân biệt với mọi giá trị của tham số m.

Đặt . Ta có :

Từ đó ta có (1). Hàm số f(x) xác định và liên tục trên R do đó f(x) liên tục trên các đoạn (2). Từ (1) và (2) suy ra phương trình có ba nghiệm phân biệt lần lượt thuộc các khoảng .