5. Cho Hình Chóp (S.ABCD)có đáy Là Hình Thang Vuông Tại (A) Và (D ...

DẠNG TOÁN TỔNG HỢP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN – GÓC – KHOẢNG CÁCH – THỂ TÍCH – TỶ SỐ – CỰC TRỊ HÌNH HỌC =============== 5. Cho hình chóp \(S.ABCD\)có đáy là hình thang vuông tại \(A\) và \(D\), \(CD = a\); \(AB = AD = 2a\). Tam giác \(SAD\) cân tại \(S\) và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) tạo với đáy một góc \(60^\circ \). Gọi \(E\) là trung điểm cạnh \(AB\). Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp\(S.EBC\).

A. \(a\sqrt {\frac{{1699}}{{540}}} \).

B. \(a\sqrt {\frac{{2113}}{{864}}} \).

C. \(a\sqrt {\frac{{65}}{5}} \).

D. \(a\sqrt {\frac{{2113}}{{584}}} \).

Lời giải

+) Gọi \(I\) là trung điểm cạnh \(AD\) . Do tam giác \(SAD\) cân tại \(S\)và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy nên \(SI \bot \left( {ABCD} \right)\) , gọi \(H\)là hình chiếu của \(I\) lên cạnh \(BC\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = BC\\IH \bot BC,IH \subset \left( {ABCD} \right)\\SH \bot BC,SH \subset \left( {SBC} \right)\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left( {\widehat {\left( {SBC} \right),\left( {ABCD} \right)}} \right) = \left( {\widehat {SH,IH}} \right) = \widehat {SHI} = 60^\circ \).

+) Diện tích hình thang \(ABCD\) là \({S_{ABCD}} = \frac{1}{2}\left( {AB + CD} \right).AD = \frac{1}{2}\left( {2a + a} \right).2a = 3{a^2}\)

\({S_{\Delta IBC}} = {S_{ABCD}} – {S_{\Delta IDC}} – {S_{\Delta IAB}} = 3{a^2} – \frac{1}{2}.a.a – \frac{1}{2}.a.2a = \frac{{3{a^2}}}{2}\).

+) Gọi \(E\) là trung điểm \(AB\)\( \Rightarrow CE \bot AB\) \( \Rightarrow BC = \sqrt {C{E^2} + E{B^2}} \)\( = \sqrt {4{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 5 \).

Mà: \({S_{\Delta IBC}} = \frac{1}{2}.IH.BC = \frac{1}{2}.IH.a\sqrt 5 \)\( \Rightarrow IH = \frac{{3a\sqrt 5 }}{5}\).

Tam giác \(SHI\)vuông tại \(I\) nên \(SI = IH.tan60^\circ = \frac{{3a\sqrt 5 }}{5}.\sqrt 3 = \frac{{3a\sqrt {15} }}{5}\),\(SH = \frac{{SI}}{{\sin \,60^\circ }} = \frac{{3a\sqrt {15} }}{{5.\frac{{\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{{6a\sqrt 5 }}{5}\), \(SC = \sqrt {S{I^2} + I{C^2}} \)\( = \sqrt {{{\left( {\frac{{3a\sqrt {15} }}{5}} \right)}^2} + {{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt {185} }}{5}\)

\(SB = \sqrt {S{I^2} + I{B^2}} \)\( = \sqrt {{{\left( {\frac{{3a\sqrt {15} }}{5}} \right)}^2} + {{\left( {a\sqrt 5 } \right)}^2}} = \frac{{2a\sqrt {65} }}{5}\).

+) \({S_{\Delta SBC}} = \frac{1}{2}.SH.BC = \frac{{SB.SC.BC}}{{4{R_{\Delta SBC}}}}\)\( \Leftrightarrow {R_{\Delta SBC}} = \frac{{SB.SC}}{{2.SH}} = \frac{{\sqrt {2405} }}{{30}}a\).

+) Gọi \(J\) là trung điểm \(BC\). Do tam giác \(EBC\) vuông tại \(E\) nên \(J\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(EBC\). Gọi \(d\) là đường thẳng qua \(J\) và vuông góc với \(\left( {ABCD} \right)\) thì \(d\) là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(EBC\).

+) Gọi \(K\) là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta SBC\). Dựng đường thẳng \(d’\) qua \(K\) và vuông góc với \(\left( {SBC} \right)\), \(d’\) cắt \(d\) tại \(O\) . Khi đó \(O\) chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp\(S.EBC\).

Ta có \(KC = {R_{\Delta SBC}} = \frac{{\sqrt {2405} }}{{30}}a\).

+) Gọi \(R\) là bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp \(S.EBC\).

+) Do \(\widehat {SHI} = 60^\circ \) nên \(\widehat {HSI} = 30^\circ \)hay \(\widehat {\left( {SI,\left( {SBC} \right)} \right)} = \widehat {\left( {d,\left( {SBC} \right)} \right)} = \widehat {OJK} = 30^\circ \).

\(\cos 30^\circ = \frac{{KJ}}{{OJ}} \Rightarrow O{J^2} = \frac{4}{3}K{J^2}\).

\({R^2} = O{C^2} = O{J^2} + J{C^2} = \frac{4}{3}K{J^2} + J{C^2} = \frac{4}{3}\left( {K{C^2} – J{C^2}} \right) + J{C^2}\)\( = \frac{4}{3}K{C^2} – \frac{1}{3}J{C^2} = \frac{{1699{a^2}}}{{540}}\)\( \Rightarrow R = a\sqrt {\frac{{1699}}{{540}}} \).

Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp \(S.EBC\) bằng \(a\sqrt {\frac{{1699}}{{540}}} \).

================= CÓ NHIỀU CÁCH GIẢI MỜI CÁC BẠN THAM KHẢO. (STRONG)