50 Bài Tập Về Diện Tích Hình Tròn, Diện Tích Hình Quạt Tròn (có đáp án ...

Diện tích hình tròn, diện tích hình quạt tròn và cách giải bài tập - Toán lớp 9

I. Lý thuyết

1. Công thức tính diện tích hình tròn

Diện tích S của một hình tròn bán kính R được tính theo công thức

S=πR2(đơn vị diện tích)

2. Công thức tính diện tích hình quạt tròn

Diện tích hình quạt tròn bán kính R, cung n°được tính theo công thức:

S=πR2.n360 hay S=lR2(đơn vị diện tích)

(với l là độ dài cung n°của hình quạt tròn).

II. Các dạng bài tập

Dạng 1: Tính diện tích hình tròn, hình quạt tròn

Phương pháp giải: Áp dụng công thức tính diện tích hình tròn, diện tích hình quạt tròn.

Ví dụ 1: Điền vào ô trống bảng sau (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

Bán kính đường tròn	Độ dài đường tròn	Diện tích hình tròn	Số đo của cung tròn n°	Diện tích hình quạt tròn cung n°
12cm	45°
2cm	10,5cm2
40cm2	10cm2

Lời giải:

+ Độ dài đường tròn là 12cm nên C = 12cm. Bán kính đường tròn là:

R=C2.π=122.π=1,91cm.

Diện tích hình tròn bán kính 1,91cm là: S=R2.π=1,912.π=11,46cm2.

Diện tích hình quạt tròn cung 45°là: S'=πR2.n360=π.1,912.45360=1,43cm2.

+ Bán kính đường tròn là 2 nên độ dài đường tròn là C=2π.R=2.π.2=12,57cm.

Diện tích hình tròn là: S=R2.π=22.π=12,57cm2

Vì diện tích hình quạt tròn là 10,5cm2nên số đo của cung tròn là:

n=360.S'πR2=360.10,512,57=300°.

+ Vì diện tích hình tròn là 40cm2 nên bán kính đường tròn là:

R=Sπ=40π=3,57cm.

Chu vi cung tròn là: C=2π.R=2.π.3,57=22,42cm

Vì diện tích hình quạt tròn bằng 14diện tích hình tròn nên số đo cung tròn đó là 90°.

Ta có bảng sau:

Bán kính đường tròn	Độ dài đường tròn	Diện tích hình tròn	Số đo của cung tròn n°	Diện tích hình quạt tròn cung n°
1,91cm	12cm	11,46cm2	45°	1,43cm2
2cm	12,57cm	12,57cm2	300°	10,5cm2
3,57cm	22,42cm	40cm2	90°	10cm2

Ví dụ 2: Cho hình vuông có cạnh 5cm nội tiếp đường tròn (O). Hãy tính độ dài đường tròn (O) và diện tích hình tròn (O).

Lời giải:

Gọi hình vuông nội tiếp đường tròn (O) là ABCD khi đó:

OA = OB = OC = OD = R => O là giao điểm của AC với BD ⇒R=AC2

Xét tam giác ABC vuông tại B ta có:

AC2=AB2+BC2 (định lý Py – ta – go)

⇔AC2=52+52

⇔AC2=25+25

⇔AC2=50

⇒AC=52 cm

Vậy bán kính đường tròn là:

R=AC2=522cm

Chu vi đường tròn là:

C=2πR=2.π.522=52π (cm)

Diện tích hình tròn là:

S=πR2=π5222=252π(cm2)

Dạng 2: Tính diện tích một số hình đặc biệt liên quan đến hình tròn, hình quạt tròn

Phương pháp giải: Chia hình cần tính thành các hình nhỏ hơn có công thức tính diện tích và sử dụng công thức để tính.

Ví dụ 1: Cho (O) đường kính AB = 43cm, điểm C thuộc (O) sao cho ABC^=30°. Tính diện tích viên phân AC (viên phân là phần hình giới hạn bởi một cung tròn và dây căng cung ấy).

Xét đường tròn (O) có:

ABC^ và AOC^ là góc nội tiếp và góc ở tâm chắn cung AC⏜.

⇒AOC^=2.ABC^=2.30°=60°

Diện tích hình quạt tròn AOC là:

SqAOC=πR2.60360=πR26

Xét tam giác AOC có:

AOC^=60°

OA = OC = RDo đó tam giác AOC là tam giác đều cạnh bằng R.

Gọi CH là đường cao của tam giác AOC

Ta có sin60°=CHCO (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

⇒CH=CO.sin60°=32R

Diện tích tam giác AOC là:

SAOC=12CH.OA=12.32R.R=34R2

Diện tích viên phân AC là :

SqAOC−SAOC=πR26−34R2=π6−34R2

=π6−34.232=2π−33cm2

Ví dụ 2: Cho đường tròn (O; R) và một điểm M sao cho OM = 2R. Từ M vẽ các tiếp tuyến MA và MB với A, B là các tiếp điểm.

a) Tính độ dài cung nhỏ AB.

b) Tính diện tích giới hạn bởi hai tiếp tuyến AM; BM và cung nhỏ AB.

Lời giải:

a) Vì AM là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên AM vuông góc với OA.

Xét tam giác OAM vuông tại A ta có:

cosAOM^=OAOM=R2R=12 (tỉ số lượng giác trong tam giác vuông)

⇒AOM^=60°. Mà OM là tia phân giác của góc AOB^ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

⇒AOB^=120°.

Độ dài cung AB⏜ là:

l=πR.120180=2πR3(cm)

b) Xét tam giác OAM vuông tại A ta có:

AM2+AO2=OM2(định lý Py – ta – go)

⇔AM2+R2=2R2

⇔AM2=4R2−R2

⇔AM=3R (đơn vị độ dài)

Diện tích tam giác OAM là:

S=12AM.AO=12.R.3R=3R22(đơn vị diện tích)

Xét tam giác AOM và tam giác BOM có:

OM chung

AO = BO = R

AM = BM (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Do đó ΔAOM=ΔBOM (c – c – c)

⇒SAOM=SBOM=3R22

SAMBO=SAOM+SBOM=3R22+3R22=3R2(đơn vị diện tích)

Diện tích quạt tròn AB⏜ là:

SqAB=πR2.120°360°=πR23 (đơn vj diện tích)

Diện tích phần giới hạn bởi tiếp tuyến MA; MB và cung nhỏ AB⏜ là:

S=SAMBO−SqAB=3R2−πR23=R23−π3 (đơn vị diện tích)

III. Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho hình vuông có cạnh 10cm. Tính độ dài đường tròn và diện tích hình tròn (O) nội tiếp hình vuông.

Bài 2: Một hình quạt có chu vi bằng 28cm và diện tích bằng 49cm2. Tính bán kính hình quạt tròn đó.

Bài 3: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; 3cm). Tính diện tích hình quạt tròn giới hạn bởi hai bán kính OA; OC và cung nhỏ AC khi ABC^=60°.

Bài 4: Cho đường tròn (I; 2cm). Vẽ bán kính IA và IB sao cho AIB^=120°. Hãy tính

a) Độ dài cung nhỏ AB.

b) Diện tích hình quạt giới hạn bởi cung nhỏ AB và hai bán kính IA, IB.

Bài 5: Cho hai đường tròn đồng tâm O, bán kính lần lượt R = 5cm, r = 2cm. Lấy 2 điểm A, B thuộc (O; 2) sao cho AOB^=70°. Tia OA, OB cắt đường tròn (O; R) tại D và E, lấy điểm C thuộc đường tròn (O; r).

a) Tính DOE^;DCE^.

b) Tính độ dài đường tròn (O; R) và đường tròn (O; r); độ dài cung DE.

b) Tính diện tích hình tròn (O; r) và hình quạt tròn DOE.

Bài 6: Cho (O) đường kính AB = 22cm, điểm C thuộc (O) sao cho ABC^=30°. Tính diện tích hình giới hạn bởi đường tròn (O) với AB; AC.

Bà 7: Cho đường tròn (O) đường kính AB. Lấy M thuộc đoạn AB. Vẽ dây CD vuông góc với AB tại M. Giả sử AM = 2cm và CD = 43cm. Tính:

a) Độ dài đường tròn (O) và diện tích hình tròn (O).

b) Độ dài cung CAD⏜ và diện tích hình quạt tròn giới hạn bởi hai bán kính OC, OD và cung nhỏ CD⏜.

Bài 8: Cho đường tròn (O; R), đường kính AB cố định. Gọi M là trung điểm đoạn OB. Dây CD vuông góc với AB tại M. Điểm E chuyển động trên cung lớn CD (E khác A). Nối AE cắt CD tại K. Nối BE cắt CD tại H.

a) Chứng minh bốn điểm B, M, E, K thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh AE.AK không đổi.

c) Tính theo R diện tích hình quạt giới hạn bởi OB, OC và cung nhỏ BC.

Bài 9: Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB. Vẽ dây CD = R (C thuộc cung AD). Nối AC và BD cắt nhau tại M.

a) Chứng minh rằng khi CD thay đổi vị trí trên nửa đường tròn thì độ lớn góc AMB^không đổi.

b) Cho ABC^=30°, tính độ dài cung nhỏ AC và diện tích viên phân giới hạn bởi dây cung AC và cung nhỏ AC.

Bài 10: Cho hình vẽ là các cung tròn của các đường tròn có bán kính khác nhau được xếp nối tiếp nhau. Tính diện tích phần bị gạch trong hình vẽ biết HI = 10cm; HO = BI = 2cm.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 9 có đáp án và lời giải chi tiết khác:

Bài tập về góc có đỉnh nằm trong đường tròn, góc có đỉnh nằm ngoài đường tròn và cách giải

Cung chứa góc, các bài toán về quỹ tích, dựng hình và cách giải

Tứ giác nội tiếp và cách giải bài tập

Đường tròn nội tiếp, Đường tròn ngoại tiếp và cách giải bài tập

Độ dài đường tròn, độ dài cung tròn và cách giải bài tập