(6) Danh Sách Tổng Hợp Các Bài Toán Về Giới Hạn – Dãy Số
Có thể bạn quan tâm
ĐỊNH LÝ TRUNG BÌNH CESARO VÀ MỘT LỚP CÁC BÀI TOÁN GIỚI HẠN
Trong bài viết này, mình sẽ đề cập đến phương pháp giải một lớp các bài toán giới hạn liên quan đến dãy xác định bởi :
Trong đó là những số thực cho trước.
Ngoài ra, mình cũng sẽ đề cập đến những bài toán liên quan đến việc xác định hằng số sao cho dãy
có giới hạn hữu hạn khác
.
Bài toán 1 : Cho dãy số xác định bởi
.
Chứng minh rằng .
Lời giải :
Dễ dàng chứng minh được có giới hạn hữu hạn bằng
. Từ đó :
Như vậy theo định lí trung bình Cesaro :
Bài toán hoàn tất.
Nhận xét :
1) Để tìm số sao cho dãy
có giới hạn hữu hạn. Ta sẽ xét hiệu
và tìm giới hạn của hiệu này. Trong đó mối liên hệ giữa
và
là
.
Ở bài này thì nên
, chính vì vậy mà ta có lời giải trên.
2) Việc quy định dạng dãy số chỉ mang tính hình thức bởi lẽ có rất nhiều những dãy số không theo dạng này nhưng ta vẫn có thể áp dụng cách giải như trên. Xem tiếp bài toán sau.
Bài toán 2 : Cho dãy số thoả mãn
và :
Tính .
Xem lời giải tại đây.
Bài toán 3 (Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ số 420)
Cho dãy số xác định bởi
và :
Tính .
Xem lời giải tại đây.
Tiếp theo ta sẽ chuyển sang xét một dạng khác phức tạp hơn.
Bài toán 4 (Vietnam Team Selection Test 1993)
Dãy số xác định bởi
và :
Hãy tìm tất cả các số thực để dãy số
có giới hạn hữu hạn khác
.
Lời giải :
Dễ dàng chứng minh được rằng . Xét hiệu :
Từ đó theo định lí trung bình Cesaro thì :
Ta có :
Và chú ý rằng .
Nếu mà thì
Nếu mà thì
Như vậy giá trị duy nhất thoả mãn bài toán là
Nhận xét :
1) Với dãy số thì điều kiện để dãy
có giới hạn hữu hạn khác
là
. Trong bài toán trên thì do
nên ta tìm được
.
2) Một cách tổng quát hơn với dãy thì điều kiện để dãy
có giới hạn hữu hạn khác
là
.
(Nhận xét 2 là do mình suy đoán và độ đảm bảo không cao, nếu bạn đọc phát hiện một trường hợp dãy số không đúng như dự đoán này thì liên hệ với mình nhé)
Bài toán 5 : Cho dãy số được xác định bởi
và :
Tìm tất cả các số thực sao cho dãy số
có giới hạn hữu hạn khác
.
Lời giải :
Ta thấy dãy có giới hạn hữu hạn khác
khi và chỉ khi dãy
có giới hạn hữu hạn khác
.
Chú ý nhận xét bởi bài toán trên, ở đây ta có
. Như vậy số
cần tìm sẽ thoả :
Dễ thấy . Như vậy ta đi xét :
Đặt thì :
Trong đó :
Từ đó theo định lí trung bình Cesaro :
Để ý thấy :
Nếu thì
Nếu thì
Như vậy phải có và đây là giá trị duy nhất thoả mãn bài toán.
Bài toán 6 (Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ số 434)
Cho dãy số xác định bởi
cho trước và :
Tìm tất cả các số thực sao cho dãy
có giới hạn hữu hạn khác
.
Lời giải :
Dãy có giới hạn hữu hạn khác
khi và chỉ khi dãy
có giới hạn hữu hạn khác
. Như vậy
sẽ thoả :
Hơn nữa dễ thấy thế nên nếu đặt
thì
Xét :
Theo định lí trung bình Cesaro thì :
Chú ý là . Nếu mà
thì
. Còn nếu
thì
.
Như vậy là đáp số duy nhất của bài toán.
Một số bài toán hay :
Bài toán 7 : Cho dãy số xác định bởi
và :
Tìm tất cả các số thực sao cho dãy số
có giới hạn hữu hạn khác
.
Bài toán 8 : Cho là một số nguyên dương và xét dãy
:
Tính .
Từ khóa » Giới Hạn Dãy Số Diendantoanhoc
-
Dãy Số - Giới Hạn - Diễn đàn Toán Học
-
Tài Liệu Cơ Bản Và Nâng Cao Về Dãy Số-Giới Hạn. - Diễn đàn Toán Học
-
[PDF] CÔNG THỨC TỔNG QUÁT VÀ GIỚI HẠN DÃY SỐ
-
BÀI TẬP GIỚI HẠN DÃY SỐ -... - Diễn đàn Toán Học Việt Nam
-
Bài Tập GIỚI HẠN Dãy Số -... - Diễn đàn Toán Học Việt Nam | Facebook
-
[DOC] PHẦN 1: ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA DÃY SỐ
-
Lý Thuyết Giới Hạn Của Dãy Số Toán 11
-
Một Số Phương Pháp Tính Giới Hạn Dãy Số - Toán 11
-
Dạng Toán 2. Tìm Giới Hạn Của Dãy Số Dựa Vào Các định Lý Và Các ...
-
Tính Giới Hạn Bằng Tích Phân - Toán Học Việt Nam - MathVn.Com
-
CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN DÃY SỐ – MATHPIAD
-
Giới Hạn (toán Học) – Wikipedia Tiếng Việt
-
Một Số Bài Toán Tìm Giới Hạn Của Dãy Truy Hồi | ChiHao
-
Tuyển Tập Tài Liệu Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi Chuyên Phần Phương ...