Dạng Toán 2. Tìm Giới Hạn Của Dãy Số Dựa Vào Các định Lý Và Các ...

Hãy đăng ký thành viên để có thể dễ dàng hỏi bài, trao đổi, giao lưu và chia sẻ về kiến thức

Đăng nhập

Tăng Giáp Trang chủ Diễn đàn > TOÁN HỌC > LỚP 11 > Chủ đề 4. GIỚI HẠN > Dạng toán 2. Tìm giới hạn của dãy số dựa vào các định lý và các giới hạn cơ bản.

Thảo luận trong 'Chủ đề 4. GIỚI HẠN' bắt đầu bởi moon, 5/12/18.

1. 

   moon Thành viên cấp 2 Thành viên BQT

   Tham gia ngày: 2/10/14 Bài viết: 160 Đã được thích: 46 Điểm thành tích: 28

   Phương pháp: Sử dụng các định lí về giới hạn, biến đổi đưa về các giới hạn cơ bản. • Khi tìm $\lim \frac{{f(n)}}{{g(n)}}$ ta thường chia cả tử và mẫu cho ${n^k}$, trong đó $k$ là bậc lớn nhất của tử và mẫu. • Khi tìm $\lim \left[ {\sqrt[k]{{f(n)}} – \sqrt[m]{{g(n)}}} \right]$ trong đó $\lim f(n) = \lim g(n) = + \infty $ ta thường tách và sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp. Ví dụ 4. Tìm các giới hạn sau: 1. $A = \lim \frac{{2{n^2} + 3n + 1}}{{3{n^2} – n + 2}}.$ 2. $B = \lim \frac{{\sqrt {{n^2} + n} }}{{n – \sqrt {3{n^2} + 1} }}.$ 3. $C = \lim \frac{{{{\left( {2{n^2} + 1} \right)}^4}{{\left( {n + 2} \right)}^9}}}{{{n^{17}} + 1}}.$ 4. $D = \lim \frac{{\sqrt {{n^2} + 1} – \sqrt[3]{{3{n^3} + 2}}}}{{\sqrt[4]{{2{n^4} + n + 2}} – n}}.$ 1. Ta có: $A = \lim \frac{{2 + \frac{3}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}}}{{3 – \frac{1}{n} + \frac{2}{{{n^2}}}}} = \frac{2}{3}.$ 2. Ta có: $B = \lim \frac{{\frac{{\sqrt {{n^2} + n} }}{n}}}{{\frac{{n – \sqrt {3{n^2} + 1} }}{n}}}$ $ = \lim \frac{{\sqrt {1 + \frac{1}{n}} }}{{1 – \sqrt {3 + \frac{1}{{{n^2}}}} }}$ $ = \frac{1}{{1 – \sqrt 3 }}.$ 3. Ta có: $C = $ $\lim \frac{{{n^8}{{(2 + \frac{1}{{{n^2}}})}^4}.{n^9}{{(1 + \frac{2}{n})}^9}}}{{{n^{17}}(1 + \frac{1}{{{n^{17}}}})}}$ $ = \lim \frac{{{{(2 + \frac{1}{{{n^2}}})}^4}.{{(1 + \frac{2}{n})}^9}}}{{1 + \frac{1}{{{n^{17}}}}}}$ $ = 16.$ 4. Ta có: $D = $ $\lim \frac{{n\left( {\sqrt {1 + \frac{1}{{{n^2}}}} – \sqrt[3]{{3 + \frac{2}{{{n^3}}}}}} \right)}}{{n\left( {\sqrt[4]{{2 + \frac{1}{{{n^3}}} + \frac{2}{{{n^4}}}}} – 1} \right)}}$ $ = \frac{{1 – \sqrt[3]{3}}}{{\sqrt[4]{2} – 1}}.$ Ví dụ 5. Tìm các giới hạn sau: 1. $A = \lim \left( {\sqrt {{n^2} + 6n} – n} \right).$ 2. $B = \lim \left( {\sqrt[3]{{{n^3} + 9{n^2}}} – n} \right).$ 1. Ta có: $A = \lim \left( {\sqrt {{n^2} + 6n} – n} \right)$ $ = \lim \frac{{{n^2} + 6n – {n^2}}}{{\sqrt {{n^2} + 6n} + n}}$ $ = \lim \frac{{6n}}{{\sqrt {{n^2} + 6n} + n}}$ $ = \lim \frac{6}{{\sqrt {1 + \frac{6}{n}} + 1}}$ $ = 3.$ 2. Ta có: $B = \lim \left( {\sqrt[3]{{{n^3} + 9{n^2}}} – n} \right)$ $ = \lim \frac{{9{n^2}}}{{\sqrt[3]{{{{\left( {{n^3} + 9{n^2}} \right)}^2}}} + n\sqrt[3]{{{n^3} + 9{n^2}}} + {n^2}}}$ $ = \lim \frac{9}{{\sqrt[3]{{{{\left( {1 + \frac{9}{n}} \right)}^2}}} + \sqrt {1 + \frac{9}{n}} + 1}}$ $ = 3.$ Ví dụ 6. Tìm các giới hạn sau: 1. $A = \lim \left( {\sqrt {{n^2} + 2n + 2} + n} \right).$ 2. $B = \lim \left( {\sqrt {2{n^2} + 1} – n} \right).$ 1. Ta có: $A = \lim n\left( {\sqrt {1 + \frac{2}{n} + \frac{2}{{{n^2}}}} + 1} \right).$ Vì: $\lim n = + \infty $ và $\lim \left( {\sqrt {1 + \frac{2}{n} + \frac{2}{{{n^2}}}} + 1} \right) = 2 > 0.$ Nên $A = + \infty .$ 2. Ta có: $B = \lim n\left( {\sqrt {2 + \frac{1}{n}} – 1} \right).$ Vì: $\lim n = + \infty $ và $\lim \left( {\sqrt {2 + \frac{1}{n}} – 1} \right)$ $ = \sqrt 2 – 1 > 0.$ Nên $B = + \infty .$ Ví dụ 7. Tìm các giới hạn sau: 1. $A = $ $\lim \frac{{n\sqrt {1 + 3 + 5 + … + (2n – 1)} }}{{2{n^2} + 1}}.$ 2. $B = $ $\lim \frac{{\sqrt {1 + 2 + … + n} – n}}{{\sqrt[3]{{{1^2} + {2^2} + … + {n^2}}} + 2n}}.$ 1. Ta có: $1 + 3 + 5 + … + 2n – 1 = {n^2}.$ Suy ra $A = \lim \frac{{{n^2}}}{{2{n^2} + 1}}$ $ = \lim \frac{1}{{2 + \frac{1}{{{n^2}}}}}$ $ = \frac{1}{2}.$ 2. Ta có: $1 + 2 + … + n = \frac{{n(n + 1)}}{2}.$ ${1^2} + {2^2} + … + {n^2}$ $ = \frac{{n(n + 1)(2n + 1)}}{6}.$ Suy ra: $B = $ $\lim \frac{{\sqrt {\frac{{n(n + 1)}}{2}} – n}}{{\sqrt[3]{{\frac{{n(n + 1)(2n + 1)}}{6}}} + 2n}}$ $ = \lim \frac{{\sqrt {\frac{{{n^2}\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)}}{2}} – n}}{{\sqrt[3]{{\frac{{{n^3}\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)\left( {2 + \frac{1}{n}} \right)}}{6}}} + 2n}}$ $ = \frac{{\sqrt {\frac{1}{2}} – 1}}{{\sqrt[3]{{\frac{1}{3}}} + 2}}.$ Ví dụ 8. Tìm các giới hạn sau: 1. $C = $ $\lim \left[ {\left( {1 – \frac{1}{{{2^2}}}} \right)\left( {1 – \frac{1}{{{3^2}}}} \right)…\left( {1 – \frac{1}{{{n^2}}}} \right)} \right].$ 2. $D = $ $\lim \left[ {\frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + \frac{1}{{3.4}} + … + \frac{1}{{n(n + 1)}}} \right].$ 1. Ta có: $1 – \frac{1}{{{k^2}}}$ $ = \frac{{(k – 1)(k + 1)}}{{{k^2}}}$ nên suy ra: $\left( {1 – \frac{1}{{{2^2}}}} \right)\left( {1 – \frac{1}{{{3^2}}}} \right)…\left( {1 – \frac{1}{{{n^2}}}} \right)$ $ = \frac{{1.3}}{{{2^2}}}.\frac{{2.4}}{{{3^2}}}…\frac{{(n – 1)(n + 1)}}{{{n^2}}}$ $ = \frac{{n + 1}}{{2n}}.$ Do vậy $C = \lim \frac{{n + 1}}{{2n}} = \frac{1}{2}.$ 2. Ta có: $\frac{1}{{k(k + 1)}}$ $ = \frac{1}{k} – \frac{1}{{k + 1}}$ nên suy ra $\frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + \frac{1}{{3.4}} + … + \frac{1}{{n(n + 1)}}$ $ = 1 – \frac{1}{{n + 1}}.$ Vậy $D = \lim \left( {1 – \frac{1}{{n + 1}}} \right) = 1.$ Ví dụ 9. Tìm các giới hạn sau: 1. $A = \lim \frac{{{4^{n + 1}} – {5^{n + 1}}}}{{{4^n} + {5^n}}}.$ 2. $B = \lim \frac{{{{4.3}^{n + 2}} – {{2.7}^{n – 1}}}}{{{4^n} + {7^{n + 1}}}}.$ 1. Chia cả tử và mẫu cho ${5^n}$ ta có: $A = \lim \frac{{4{{\left( {\frac{4}{5}} \right)}^n} – 5}}{{{{\left( {\frac{4}{5}} \right)}^n} + 1}} = – 5$ (do $\lim {\left( {\frac{4}{5}} \right)^n} = 0$). 2. Ta có: $B = $ $\lim \frac{{36{{\left( {\frac{4}{7}} \right)}^n} – \frac{2}{7}}}{{{{\left( {\frac{4}{7}} \right)}^n} + 7}}$ $ = – \frac{2}{{49}}.$ Ví dụ 10. Tìm giới hạn sau: $C = $ $\lim \left[ {\left( {1 – \frac{1}{{{2^2}}}} \right)\left( {1 – \frac{1}{{{3^2}}}} \right)…\left( {1 – \frac{1}{{{n^2}}}} \right)} \right].$ Ta có: $1 – \frac{1}{{{k^2}}}$ $ = \frac{{(k – 1)(k + 1)}}{{{k^2}}}$ nên suy ra: $\left( {1 – \frac{1}{{{2^2}}}} \right)\left( {1 – \frac{1}{{{3^2}}}} \right)…\left( {1 – \frac{1}{{{n^2}}}} \right)$ $ = \frac{{1.3}}{{{2^2}}}.\frac{{2.4}}{{{3^2}}}…\frac{{(n – 1)(n + 1)}}{{{n^2}}}$ $ = \frac{{n + 1}}{{2n}}.$ Do vậy $C = \lim \frac{{n + 1}}{{2n}} = \frac{1}{2}.$

   Bài viết mới nhất

   • Hàm số liên tục trên một tập hợp05/12/2018
   • Chứng minh phương trình có nghiệm dựa vào tính liên tục của hàm số05/12/2018
   • Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm05/12/2018
   • Dạng toán 2. Tìm giới hạn của dãy số dựa vào các định lý và các giới hạn cơ bản.05/12/2018
   • Dạng toán 1. Tìm giới hạn bằng định nghĩa.05/12/2018
   moon, 5/12/18 #1

(Bạn phải Đăng nhập hoặc Đăng ký để trả lời bài viết.) Show Ignored Content

Chia sẻ trang này

Tên tài khoản hoặc địa chỉ Email: Mật khẩu: Bạn đã quên mật khẩu? Duy trì đăng nhập Đăng nhập

Thống kê diễn đàn

Đề tài thảo luận: 6,071 Bài viết: 12,735 Thành viên: 18,036 Thành viên mới nhất: duychien.saigonapp

Chủ đề mới nhất

• [8+] Phân tích bài thơ Đất nước... Tăng Giáp posted 6/8/20
• Hướng dẫn viết dàn ý bài thơ... Tăng Giáp posted 6/8/20
• [8+] Phân tích bài kí Ai đã đặt... Tăng Giáp posted 6/8/20
• [8+] Phân tích truyện Vợ chồng... Tăng Giáp posted 6/8/20
• [8+] Phân tích bài thơ tây tiến... Tăng Giáp posted 6/8/20

Đang tải... Tăng Giáp Trang chủ Diễn đàn > TOÁN HỌC > LỚP 11 > Chủ đề 4. GIỚI HẠN >