70 Bài Toán Nâng Cao Lớp 7

Trang chủ » Toán Khó Lớp 7 Hk1 » 70 Bài Toán Nâng Cao Lớp 7

Có thể bạn quan tâm

Bài tập Toán nâng cao lớp 7 gồm 9 trang tổng hợp các dạng toán nâng cao gồm cả Đại số và Hình học.

Các dạng Toán 7 nâng cao được trình bày rất bài bản các dạng bài tập tự luyện trọng tâm khác nhau. Qua đó giúp các em học sinh thử sức, rèn luyện kiến thức, để đánh giá đúng năng lực bản thân, nắm vững được các dạng bài thường xuất hiện trong đề kiểm tra, bài thi sắp tới. Đồng thời thấy được lỗi sai cần tránh, kịp thời lấp đầy lỗ hổng kiến thức, tìm ra các phương pháp làm bài nhanh. Bên cạnh đó các em tham khảo thêm: bài tập về lũy thừa số hữu tỉ, bài tập Nhân chia số hữu tỉ.

Những bài toán nâng cao lớp 7

A. PHẦN ĐẠI SỐ

Bài toán 1. So sánh: 2009^{20}\(2009^{20}\) và 20092009^{10}.\(20092009^{10}.\)

Bài toán 2. Tính tỉ số \frac{A}{B},\(\frac{A}{B},\) biết:

A=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\ldots+\frac{1}{2007}+\frac{1}{2008}+\frac{1}{2009}\(A=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\ldots+\frac{1}{2007}+\frac{1}{2008}+\frac{1}{2009}\)

B=\frac{2008}{1}+\frac{2007}{2}+\frac{2006}{3}+\ldots+\frac{2}{2007}+\frac{1}{2008}\(B=\frac{2008}{1}+\frac{2007}{2}+\frac{2006}{3}+\ldots+\frac{2}{2007}+\frac{1}{2008}\)

Bài toán 3. Cho x, y, z, t \in \mathrm{N}^{*}.\(t \in \mathrm{N}^{*}.\)

Chứng minh rằng: \mathrm{M}=\frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{x+y+t}+\frac{z}{y+z+t}+\frac{t}{x+z+t}\(\mathrm{M}=\frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{x+y+t}+\frac{z}{y+z+t}+\frac{t}{x+z+t}\) có giá tri không phải là số tư nhiên.

Bài toán 4. Tìm x ; y \in Z\(y \in Z\) biết:

a. 25-y^{2}=8(\mathrm{x}-2009)\(a. 25-y^{2}=8(\mathrm{x}-2009)\)

b. x^{3} y=x y^{3}+1997\(x^{3} y=x y^{3}+1997\)

c. x+y+9=xy-7

Bài toán 5. Tìm x biết

a. |5(2 x+3)|+|2(2 x+3)|+|2 x+3|=16\(. |5(2 x+3)|+|2(2 x+3)|+|2 x+3|=16\)

b. \left|x^{2}+\right| 6 x-||2=x^{2}+4.\(\left|x^{2}+\right| 6 x-||2=x^{2}+4.\)

Bài toán 6. Chứng minh rằng: \frac{3}{1^{2} .2^{2}}+\frac{5}{2^{2} \cdot 3^{2}}+\frac{7}{3^{2} \cdot 4^{2}}+\ldots+\frac{19}{9^{2} \cdot 10^{2}}<1\(\frac{3}{1^{2} .2^{2}}+\frac{5}{2^{2} \cdot 3^{2}}+\frac{7}{3^{2} \cdot 4^{2}}+\ldots+\frac{19}{9^{2} \cdot 10^{2}}<1\)

\mathrm{x}_{n \cdot} \mathrm{X}_{1}=0\(\mathrm{x}_{n \cdot} \mathrm{X}_{1}=0\) thì \mathrm{n}\(\mathrm{n}\) chia hết cho 4 .

Bài toán 7. Cho n số x1, x2, ..., xn mỗi số nhận giá trị 1 hoặc -1. Chứng minh rằng nếu x1.x2 + x2.x3 + ...+ xn.x1 = 0 thì n chia hết cho 4.

Bài toán 8 . Chứng minh rằng:

\mathrm{S}=\frac{1}{2^{2}}-\frac{1}{2^{4}}+\frac{1}{2^{6}}-\ldots+\frac{1}{2^{4 n-2}}-\frac{1}{2^{4 n}}+\ldots+\frac{1}{2^{2002}}-\frac{1}{2^{2004}}<0,2\(\mathrm{S}=\frac{1}{2^{2}}-\frac{1}{2^{4}}+\frac{1}{2^{6}}-\ldots+\frac{1}{2^{4 n-2}}-\frac{1}{2^{4 n}}+\ldots+\frac{1}{2^{2002}}-\frac{1}{2^{2004}}<0,2\)

Bài toán 9.  Tính giá tri của biểu thức \mathrm{A}=x^{n}+\frac{1}{x^{n}}\(\mathrm{A}=x^{n}+\frac{1}{x^{n}}\) giả sử x^{2}+x+1=0.\(x^{2}+x+1=0.\)

Bài toán 10. Tìm max của biểu thức: \frac{3-4 x}{x^{2}+1}.\(\frac{3-4 x}{x^{2}+1}.\)

Bài toán 11. Cho \mathrm{x}, y, \mathrm{z}\(\mathrm{x}, y, \mathrm{z}\) là các số dương. Chứng minh rằng

\mathrm{D}=\frac{x}{2 x+y+z}+\frac{y}{2 y+z+x}+\frac{z}{2 z+x+y} \leq \frac{3}{4}\(\mathrm{D}=\frac{x}{2 x+y+z}+\frac{y}{2 y+z+x}+\frac{z}{2 z+x+y} \leq \frac{3}{4}\)

Bài toán 12. Tìm tổng các hê số của đa thức nhân đươc sau khi bỏ dấu ngoăc trong biểu thức:

\mathrm{A}(\mathrm{x})=(3 - \left.4 x+x^{2}\right)^{2004} \cdot\left(3+4 x+x^{2}\right)^{2005}\(\mathrm{A}(\mathrm{x})=(3 - \left.4 x+x^{2}\right)^{2004} \cdot\left(3+4 x+x^{2}\right)^{2005}\)

Bài toán 13. Tìm các số a, b, c nguyên dương thỏa mãn: a^{3}+3\(a^{3}+3\)

a^{2}+5=5^{b}\(a^{2}+5=5^{b}\) và \mathrm{a}+3=5^{c}\(\mathrm{a}+3=5^{c}\)

Bài toán 14. Cho \mathrm{x}=2005\(\mathrm{x}=2005\). Tính giá tri của biểu thức:

x^{2005}-2006 x^{2004}+2006 x^{2003}-2006 x^{2002}+\ldots-2006 x^{2}+2006 x-1\(x^{2005}-2006 x^{2004}+2006 x^{2003}-2006 x^{2002}+\ldots-2006 x^{2}+2006 x-1\)

Bài toán 15. Rút gọn biểu thức:\mathrm{N}=\frac{x|x-2|}{x^{2}+8 x-20}+12 x-3\(\mathrm{N}=\frac{x|x-2|}{x^{2}+8 x-20}+12 x-3\)

Bài toán 16. Trong 3 số x, y, z có 1 số dương, 1 số âm và một số 0 . Hỏi mỗi số đó thuộc loài nào biết: |x|=y^{3}-y^{2} z\(|x|=y^{3}-y^{2} z\)

Bài toán 17. Tìm hai chữ số tận cùng của tổng sau: \mathrm{B}=3+3^{2}+3^{3}+3^{4}+\ldots+3^{2009}\(\mathrm{B}=3+3^{2}+3^{3}+3^{4}+\ldots+3^{2009}\)

Bài toán 18. Cho 3 \mathrm{x}-4 \mathrm{y}=0\(\mathrm{x}-4 \mathrm{y}=0\). Tìm min của biểu thức: \mathrm{M}=x^{2}+y^{2}\(\mathrm{M}=x^{2}+y^{2}\)

Bài toán 19. Tìm x, y, z biết:\frac{x^{2}}{2}+\frac{y^{2}}{3}+\frac{z^{2}}{4}=\frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{5}.\(\frac{x^{2}}{2}+\frac{y^{2}}{3}+\frac{z^{2}}{4}=\frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{5}.\)

Bài toán 20. Tìm x, y biết rằng: x^{2}+y^{2}+\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}=4\(x^{2}+y^{2}+\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}=4\)

Bài toán 21. Cho a là số gồm 2n chữ số 1, \mathrm{~b}\(\mathrm{~b}\) là số gồm \mathrm{n}+1\(\mathrm{n}+1\) chữ số 1, c là số gồm n chữ số 6. Chứng minh rằng a +\mathrm{b}+\mathrm{c}+8\(a +\mathrm{b}+\mathrm{c}+8\)là số chính phương.

Bài toán 22. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên a, tồn tại số tự nhiên b sao cho \mathrm{ab}+4\(\mathrm{ab}+4\) là số chính phương.

Bài toán 23. Chứng minh rằng nếu các chữ số a, b, c thỏa mãn điều kiện \overline{a b}: \overline{c d}=a: c\(\overline{a b}: \overline{c d}=a: c\) thì \overline{a b b b}: \overline{b b b c}=a: c.\(\overline{a b b b}: \overline{b b b c}=a: c.\)

Bài toán 24. Tìm phân số \frac{m}{n}\(\frac{m}{n}\) khác 0 và số tự nhiên k, biết rằng\frac{m}{n}=\frac{m+k}{n k}.\(\frac{m}{n}=\frac{m+k}{n k}.\)

Bài toán 25. Cho hai số tự nhiên a và \mathrm{b}(\mathrm{a}<\mathrm{b})\(\mathrm{b}(\mathrm{a}<\mathrm{b})\). Tìm tổng các phân số tối giản có mẫu bằng 7 , mỗi phân số lớn hơn a nhưng nhỏ hơn b.

Bài toán 26. Chứng minh rằng:\mathrm{A}=1+3+5+7+\ldots+\mathrm{n}\(\mathrm{A}=1+3+5+7+\ldots+\mathrm{n}\) là số chính phương (n lẻ).

Bài toán 27. Tìm n biết rằng: n^{3}-n^{2}+2 n+7\(n^{3}-n^{2}+2 n+7\) chia hết cho n^{2}+1.\(n^{2}+1.\)

Bài toán 28. Chứng minh rằng: \mathrm{B}=2^{2^{2 n+1}}+3\(\mathrm{B}=2^{2^{2 n+1}}+3\) là hợp số với mọi số nguyên dương n

Bài toán 29. Tìm số dư khi chia\left(\mathrm{n}^{3}-1\right)^{111}. (n \left.^{2}-1\right)^{333}\(\left(\mathrm{n}^{3}-1\right)^{111}. (n \left.^{2}-1\right)^{333}\)cho n

Bài toán 30. Tìm số tự nhiên n để 1^{n}+2^{n}+3^{n}+4^{n}\(1^{n}+2^{n}+3^{n}+4^{n}\) chia hết cho 5 .

Bài toán 31 .

a. Chứng minh rằng: Nếu a không là bội số của 7 thì \mathrm{a}^{6}-1\(\mathrm{a}^{6}-1\) chia hết cho 7 .

b. Cho \mathrm{f}(\mathrm{x}+1)\left(\mathrm{x}^{2}-1\right)=\mathrm{f}(\mathrm{x})\left(\mathrm{x}^{2}+9\right)\(\mathrm{f}(\mathrm{x}+1)\left(\mathrm{x}^{2}-1\right)=\mathrm{f}(\mathrm{x})\left(\mathrm{x}^{2}+9\right)\) có ít nhất 4 nghiệm.

c. Chứng minh rằng: \mathrm{a}^{5}-\mathrm{a}\(\mathrm{a}^{5}-\mathrm{a}\) chia hết cho 10 .

Bài toán 32. Tính giá trị của biểu thức: \mathrm{A}=5 y^{4}+7 x-2 z^{5}\(\mathrm{A}=5 y^{4}+7 x-2 z^{5}\) tai \left(\mathrm{x}^{2}-1\right)+(\mathrm{y}-\mathrm{z})^{2}=16.\(\left(\mathrm{x}^{2}-1\right)+(\mathrm{y}-\mathrm{z})^{2}=16.\)

Bài toán 33. Chứng minh rằng:

a. 0,5\left(2007^{2005}-2003^{2003}\right)\(0,5\left(2007^{2005}-2003^{2003}\right)\) là một số nguyên.

b. \mathrm{M}=\frac{1986^{2004}-1}{1000^{2004}-1}\(b. \mathrm{M}=\frac{1986^{2004}-1}{1000^{2004}-1}\) không thể là số nguyên.

c. Khi viết dưới dạng thập phân thì số hữu tỉ \left(\frac{9}{11}-0,81\right)^{2004}\(\left(\frac{9}{11}-0,81\right)^{2004}\) có ít nhất 4000 chữ số 0 đầu tiên sau dấu phẩy.

...........

B. PHẦN HÌNH HỌC 

Bài toán 49. Cho tam giác ABC, trung tuyến AM, phân giác AN. Từ N vẽ đường thẳng vuông góc với AN cắt AB, AM tại hai điểm P và Q. Từ Q vẽ đường thẳng vuông góc với AB cắt AN tại O. Chứng minh rằng QO BC.

Bài toán 50. Cho ABC. Trung tuyến BM và đường phân giác CD cắt nhau tại I thỏa mãn IB = IC. Từ A kẻ AH BC. Chứng minh rằng IM = IH.

Bài toán 51. Cho xOy. Trên hai cạnh Ox và Oy lấy lần lượt các điểm A và B sao cho OA + OB = 2a. Xác định vị trí của A và B để cho AB đạt min.

Bài toán 52. Cho đoạn thẳng MN = 4cm, điểm O nằm giữa M và N. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ MN vẽ các tam giác cân đỉnh O là OMA và OMB sao cho góc ở đỉnh O bằng 45 . Tìm vị trí của O để AB min. Tính độ dài nhỏ nhất đó.

Bài toán 53. Cho \Delta \mathrm{ABC}\(\Delta \mathrm{ABC}\) cân tại A có A=100^{\circ}\(A=100^{\circ}\), tia phân giác của góc B cắt AC tại D

Chứng minh rằng \mathrm{BC}=\mathrm{BD}+\mathrm{AD}.\(\mathrm{BC}=\mathrm{BD}+\mathrm{AD}.\)

Bài toán 54. Cho \triangle \mathrm{ABC}\(\triangle \mathrm{ABC}\) vuông tại có \mathrm{AC}=3 \mathrm{AB}.\(\mathrm{AC}=3 \mathrm{AB}.\) Trên AC ấy các điểm D và E sao cho \mathrm{AD}=\mathrm{DE}=\mathrm{EC}\(\mathrm{AD}=\mathrm{DE}=\mathrm{EC}\). Chứng minh rằng \widehat{\mathrm{AEB}}+\widehat{\mathrm{ACB}}=45^{\circ}.\(\widehat{\mathrm{AEB}}+\widehat{\mathrm{ACB}}=45^{\circ}.\)

Bài toán 55. Cho tam giác ABC cân tại A \hat{\mathrm{A}}=30^{\circ}, \mathrm{BC}=2 \mathrm{~cm}\(\hat{\mathrm{A}}=30^{\circ}, \mathrm{BC}=2 \mathrm{~cm}\). Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho \mathrm{CBD}=60^{\circ}\(\mathrm{CBD}=60^{\circ}\). Tính độ dài AD

Bài toán 56. Cho tam giác ABC cân tại A,\hat{B}=75^{\circ}\(\hat{B}=75^{\circ}\). Kẻ CH vuông góc với AB. Chứng minh rằng \mathrm{CH}=\frac{A B}{2}.\(\mathrm{CH}=\frac{A B}{2}.\)

Bài toán 57. Cho tam giác \mathrm{ABC}\(\mathrm{ABC}\) vuông cân tại B và tồn tại một điểm M nằm trong tam giác sao cho \mathrm{MA}: \mathrm{MB}: \mathrm{MC}=1: 2: 3.\(\mathrm{MA}: \mathrm{MB}: \mathrm{MC}=1: 2: 3.\) Tính AMB.

Bài toán 58. Nếu a, b, c là độ đài ba cạnh của một tam giác thóa mãn điều kiện \mathrm{a}^2+\mathrm{b}^2 5 \mathrm{c}^2\(\mathrm{a}^2+\mathrm{b}^2> 5 \mathrm{c}^2\) thì c là cạnh nhó nhất.

Bài toán 59. Cho tam giác ABC cân tại A. Trên trung tuyến BD lấy E sao cho cho \mathrm{DAE}= \mathrm{ABD}\(\mathrm{DAE}= \mathrm{ABD}\). Chứng minh rằng: D \hat{A E}=E \hat{C B}\(D \hat{A E}=E \hat{C B}\).

Bài toán 60. Cho \triangle \mathrm{ABC}\(\triangle \mathrm{ABC}\) có \widehat{\mathrm{BAC}}=40^{\circ},\(\widehat{\mathrm{BAC}}=40^{\circ},\) \widehat{\mathrm{ABC}}=60^{\circ}\(\widehat{\mathrm{ABC}}=60^{\circ}\). Gọi D và E là các điểm tương ứng trên AC và AB sao cho \mathrm{CBD}=40^{\circ} ; \mathrm{BCE}=70^{\circ}\(\mathrm{CBD}=40^{\circ} ; \mathrm{BCE}=70^{\circ}\). Giả sử BD cắt CE tại F. Chứng minh rằng: \mathrm{AF} \perp \mathrm{BC}.\(\mathrm{AF} \perp \mathrm{BC}.\)

Bài toán 61. Cho tam giác \mathrm{ABC}\(\mathrm{ABC}\), trung tuyến AM, phân giác AN. Từ N vẽ đường thẳng vuông góc với A N cắt A B, A M tại hai điểm P và Q. Từ Q vẽ đương thẳng vuông góc với AB cắt AN tại O. Chứng minh rằng \mathrm{QO} \perp \mathrm{BC}.\(\mathrm{QO} \perp \mathrm{BC}.\)

..............

Mời các bạn tải file tài liệu để xem thêm nội dung chi tiết

Từ khóa » Toán Khó Lớp 7 Hk1