8 Cách Phân Tích đa Thức Thành Nhân Tử Cực Hay

8 cách phân tích đa thức thành nhân tử cực hayToán lớp 8: Phân tích đa thức thành nhân tử Tải về Nâng cấp gói Pro để trải nghiệm website VnDoc.com KHÔNG quảng cáo, và tải file cực nhanh không chờ đợi. Mua ngay Từ 79.000đ Tìm hiểu thêm

Phân tích đa thức thành nhân tử

• I. Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
  • 1. Phương pháp đặt nhân tử chung
  • 2. Phương pháp dùng hằng đẳng thức
  • 3. Phương pháp nhóm nhiều hạng tử
  • 4. Phương pháp tách
  • 5. Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử
  • 6. Phương pháp đặt biến phụ
  • 7. Phương pháp giảm dần số mũ của lũy thừa
  • 8. Phương pháp hệ số bất định
• II. Vận dụng giải một số dạng bài tập phân tích đa thức thành nhân tử
• III. Bài tập về phân tích đa thức thành nhân tử

Phân tích đa thức thành nhân tử là nội dung vô cùng quan trọng trong chương trình môn Toán lớp 8 học kì 1. Đây là dạng bài thường gặp trong Toán 8, đồng thời cũng là phần toán căn bản các em cần nắm vững để có thể làm các dạng Toán nâng cao. Tài liệu dưới đây, VnDoc sẽ gửi tới các bạn 8 phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, lý thuyết kèm bài tập vận dụng để các em luyện tập. Sau đây mời các em tham khảo chi tiết.

I. Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

1. Phương pháp đặt nhân tử chung

Trong biểu thức bài toán cho, chúng ta cần lựa chọn ra những ẩn số hay hằng của một số biểu thức nhất định là ước chung và chọn chúng làm nhân tử. Để dễ hiểu chúng ta có như sau:

A.B + C.B - B.Q=B.(A + C-Q)

Mấu chốt của vấn đề là làm thế nào chúng ta phải đưa được biểu thức đã cho về dạng tích của nhiều đa thức. Bởi nhiều bạn mới học, cũng bảo đặt nhân tử chung nhưng khi xem kết quả thì chưa tồn tại dạng tích mà vẫn ở dạng tổng.

Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung.

\(\text { a. } 2 x^{2}-8 x^{3}+12 x=2. x. x^{3}-2.4. x. x^{2}+2.6 .x=2 .x \cdot\left(x^{3}-4 x^{2}+6\right)\)

\(\text { b. } x y^{2}-3 x^{2} y^{2}+2 x y^{3}=x y^{2}.(1-3+2 y)\)

2. Phương pháp dùng hằng đẳng thức

Ở phương pháp này các bạn cần vận dụng linh hoạt 7 hằng đẳng thức đáng nhớ vào việc phân tích đa thức thành nhân tử. Vận dụng các hằng đẳng thức để biến đổi đa thức thành tích các nhân tử hoặc luỹ thừa của một đa thức đơn giản.

Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức.

a. \(x^{2}-4 x+4=x^{2}-2 .x \cdot 2+2^{2}=(x-2)^{2}\)

\(\text { b. } x^{3}+9 x^{2}+27 x+27=x^{3}+3 \cdot x^{2} \cdot 3+3 \cdot x \cdot 3^{2}+3^{3}=(x+3)^{3}\)

3. Phương pháp nhóm nhiều hạng tử

Dùng các tính chất giao hoán, kết hợp của phép cộng các đa thức, ta kếp hợp những hạng tử của đa thức thành từng nhóm thích hợp rồi dùng các phương pháp khác phân tích nhân tử theo từng nhóm rồi phân tích chung đối với các nhóm. Thường sau khi nhóm chúng ta sẽ sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung hoặc dùng hằng đắng thức để làm tiếp.

Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử bằng phương pháp nhóm nhiều hạng tử.

\(x^4+x-4x^2-2=\left(x^4-4x^2\right)+\left(x-2\right)\)

\(=x^{2}\left(x^{2}-4\right)+(x-2)=x^{2}(x-2)(x+2)+(x-2)\)

\(=(x-2)\left[x^{2}(x+2)+1\right]=(x-2)\left(x^{3}+2 x^{2}+1\right)\)

4. Phương pháp tách

Ta có thể tách 1 hạng tử nào đó của đa thức thành hai hay nhiều hạng tử thích hợp để làm xuất hiện những nhóm hạng tử mà ta có thể dùng các phương pháp khác để phân tích được

Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử bằng phương pháp tách hạng tử.

\(2 x^{2}-7 x y+5 y^{2}=2 x^{2}-2 x y-5 x y+5 y^{2}=\left(2 x^{2}-2 x y\right)-\left(5 x y-5 y^{2}\right)\)

\(=2 x(x-y)-5 y(x-y)=(x-y)(2 x-5 y)\)

5. Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử

Ta có thể thêm bớt 1 hạng tử nào đó của đa thức để làm xuất hiện những nhóm hạng tử mà ta có thể dùng các phương pháp khác để phân tích được.

Ví dụ

\(x^{4}+4=x^{4}+4 x^{2}+4-4 x^{2}=\left(x^{4}+4 x^{2}+4\right)-4 x^{2}=\left(x^{2}+2\right)^{2}-(2 x)^{2}\)

\(=\left(x^{2}+2-2 x\right)(x=2+2 x)\)

6. Phương pháp đặt biến phụ

Trong một số trường hợp, để việc phân tích đa thức thành nhân tử được thuận lợi, ta phải đặt biến phụ thích hợp.

Ví dụ: \(A=\left(x^{2}+2 x+8\right)^{2}+3 x \cdot\left(x^{2}+2 x+8\right)+2 x^{2}\)

Đặt: \(y=x^{2}+2 x+8\)

Ta có: \(A=y^{2}+3 x y+2 x^{2}=y^{2}+x y+2 x y+2 x^{2}\)

\(=\left(y^{2}+x y\right)+\left(2 x y+2 x^{2}\right)=y(x+y)+2 x(x+y)\)

\(=(x+y)(2 x+y)\)

7. Phương pháp giảm dần số mũ của lũy thừa

Phương pháp này chỉ áp dụng được cho các đa thức như là những đa thức có dạng . Khi phân tích các đa thức có dạng như trên thì biểu thức sau khi phân tích đều có 1 nhân tử là Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử

8. Phương pháp hệ số bất định

II. Ví dụ minh họa

Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a, (ab - 1 )2 + ( a + b )2

b, x3 + 2x2 + 2x + 1

c, x2 - 2x - 4y2 - 4y

Giải

a) Ta có ( ab - 1 )2 + ( a + b )2 = a2b2 - 2ab + 1 + a2 + 2ab + b2

= a2b2 + a2 + b2 + 1 = ( a2b2 + a2 ) + ( b2 + 1 )

= a2( b2 + 1 ) + ( b2 + 1 ) = ( a2 + 1 )( b2 + 1 )

b) Ta có x3 + 2x2 + 2x + 1 = ( x3 + 1 ) + ( 2x2 + 2x )

= ( x + 1 )( x2 - x + 1 ) + 2x( x + 1 ) = ( x + 1 )( x2 + x + 1 )

c) Ta có x2 - 2x - 4y2 - 4y = ( x2 - 4y2 ) - ( 2x + 4y )

= ( x - 2y )( x + 2y ) - 2( x + 2y )

= ( x + 2y )( x - 2y - 2 ).

Bài 2: Tính giá trị của biểu thức sau A = x6 - 2x4 + x3 + x2 - x, biết x3 - x = 6.

Giải

Ta có: A = x6 - 2x4 + x3 + x2 - x = ( x6 - 2x4 + x2 ) + ( x3 - x )

= ( x3 - x )2 + ( x3 - x )

Với x3 - x = 6 = ( x3 - x )2 + ( x3 - x ), ta có A = 62 + 6 = 36 + 6 = 42.

Vậy A = 42.

III. Vận dụng giải một số dạng bài tập phân tích đa thức thành nhân tử

Bài 39 trang 19 skg toán 8 tập 1: Phân tích đa thức thành nhân tử

a) 3x - 6y;

b) \(\frac{2}{5}x^2+5x^3+x^2y\);

c) 14x2y – 21xy2 + 28x2y2;

d) \(\frac{2}{5} x(y-1)-\frac{2}{5} y(y-1)\);

e) 10x(x - y) - 8y(y - x).

* Lời giải bài 39 trang 19 skg toán 8 tập 1:

a) 3x - 6y = 3(x-2y)

b) \(\frac{2}{5} x^{2}+5 x^{3}+x^{2} y=x^{2}\left(\frac{2}{5}+5 x+y\right)\)

c) 14x2y – 21xy2 + 28x2y2 = 7xy.2x - 7xy.3y +7xy.4xy = 7xy(2x-3y+4xy)

d) \(\frac{2}{5} x(y-1)-\frac{2}{5} y(y-1)=\frac{2}{5}(y-1)(x-y)\)

e) 10x(x - y) - 8y(y - x)

- Ta thấy: y - x = –(x – y) nên ta có:

10x(x - y) - 8y(y - x) =10x(x - y) - 8y[-(x - y)] =10x(x - y) + 8y(x - y) =2(x-y)(5x+4y)

Bài 40 trang 19 skg toán 8 tập 1: Tính giá trị của biểu thức

a) 15.91,5 + 150.0,85;

b) x(x - 1) - y(1 - x) tại x = 2001 và y = 1999.

* Lời giải bài 40 trang 19 skg toán 8 tập 1:

- Lưu ý: Với dạng bài tập này chúng ta cần phân tích hạng tử để xuất hiện nhân tử chung rồi phân tích thành nhân tử trước khi tính giá trị.

a) 15.91,5 + 150.0,85 =15.91,5 + 15.10.0,85 =15(91,5 + 10.0,85) =15(91,5 + 8,5) =15.100 =1500.

b) x(x - 1) - y(1 - x)

- Ta thấy: 1 - x = -(x - 1) nên ta có:

x(x - 1) - y(1 - x) =x(x-1)-y[-(x-1)] =x(x-1)+y(x-1) =(x-1)(x+y)

- Thay x = 2001 và y = 1999 ta được: (2001-1)(2001+1999) =2000.4000 =8000000

Bài 41 trang 19 skg toán 8 tập 1: Tìm x, biết:

a) 5x(x -2000) - x + 2000 = 0;

b) x3 – 13x = 0

* Lời giải bài 41 trang 19 skg toán 8 tập 1:

a) 5x(x -2000) - x + 2000 = 0

⇔ 5x(x – 2000) – (x – 2000) = 0

⇔ (x – 2000).(5x – 1) = 0

\(\Leftrightarrow\left[\begin{array} { c } { x - 2 0 0 0 = 0 } \\ { 5 x - 1 = 0 } \end{array} \Leftrightarrow \left[\begin{array}{c} x=2000 \\ x=1 / 5 \end{array}\right.\right.\)

- Kết luận có 2 giá trị x thoả mãn là x = 2000 và x = 1/5.

b) x3 = 13x ⇔ x3 – 13x = 0 ⇔ x(x2 – 13) = 0

\(\Leftrightarrow\left[\begin{array} { c } { x = 0 } \\ { x ^ { 2 } - 1 3 = 0 } \end{array} \Leftrightarrow \left[\begin{array}{c} x=0 \\ x=\pm \sqrt{13} \end{array}\right.\right.\)

- Kết luận: Có ba giá trị của x thỏa mãn là x = 0, x = √13 và x = –√13.

Bài 42 trang 19 skg toán 8 tập 1: Chứng minh rằng 55n + 1 – 55n chia hết cho 54 (với n là số tự nhiên)

* Lời giải Bài 42 trang 19 skg toán 8 tập 1:

- Ta có: 55n + 1 – 55n = 55n.55 - 55n = 55n (55 - 1) = 55n.54

- Vì 54 chia hết cho 54 nên 55n.54 luôn chia hết cho 54 với n là số tự nhiên.

⇒ Vậy 55n + 1 – 55n chia hết cho 54.

Bài 43 trang 20 skg toán 8 tập 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) x2 + 6x + 9; b) 10x – 25 – x2

c) \(8x^3-\frac{1}{8}\); d) \(\frac{1}{25}x^2-64y^2\)

* Lời giải bài 43 trang 20 skg toán 8 tập 1:

a) x2 + 6x + 9 = (x)2 + 2.(x).(3) + (3)2 = (x+3)2

b) 10x – 25 – x2 = –(–10x + 25 + x2) = –(x2 - 10x + 25)

= –[(x)2 – 2.(5).(x) + (5)2] = –(x–5)2

c) \(8 x^{3}-\frac{1}{8}=(2 x)^{3}-\left(\frac{1}{2}\right)^{3}=\left(2 x-\frac{1}{2}\right)\left[(2 x)^{2}+\frac{1}{2} \cdot 2 x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}\right]\)

\(=\left(2 x-\frac{1}{2}\right)\left(4 x^{2}+x+\frac{1}{4}\right)\)

d) \(\frac{1}{25} x^{2}-64 y^{2}=\left(\frac{1}{5} x\right)^{2}-(8 y)^{2}=\left(\frac{1}{5} x-8 y\right)\left(\frac{1}{5} x+8 y\right)\)

Bài 44 trang 20 skg toán 8 tập 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) \(x^3+\frac{1}{27}\); b) (a + b)3 – (a – b)3

c) (a + b)3 + (a – b)3 ;

d) 8x3 + 12x2y + 6xy2 + y3

e) - x3 + 9x2 – 27x + 27.

* Lời giải bài 44 trang 20 skg toán 8 tập 1:

a) \(x^{3}+\frac{1}{27}=x^{3}+\left(\frac{1}{3}\right)^{3}=\left(x+\frac{1}{3}\right)\left[x^{2}-\frac{1}{3} x+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}\right]\)

\(=\left(x+\frac{1}{3}\right)\left(x^{2}-\frac{1}{3} x+\frac{1}{9}\right)\)

b) (a + b)3 – (a – b)3

= [(a + b) – (a – b)] . [(a + b)2 + (a + b).(a – b) + (a – b)2]

= (a + b – a + b) . (a2 + 2ab + b2 + a2 – b2+ a2 – 2ab + b2)

= 2b.(3a2+ b2)

c) (a + b)3 + (a – b)3

= [(a + b) + (a – b)] . [(a + b)2 – (a + b)(a –b) + (a – b)2]

= [(a + b) + (a – b)] . [(a2 + 2ab + b2) – (a2 – b2) + (a2 – 2ab + b2)]

= (a + b + a – b) . (a2 + 2ab + b2 – a2 + b2 + a2 – 2ab + b2)

= 2a.(a2 + 3b2)

d) 8x3 + 12x2y + 6xy2 + y3 = (2x)3 + 3.(2x)2.y + 3.2x.y2 + y3 = (2x + y)3

e) –x3 + 9x2 – 27x + 27= (–x)3 + 3.(–x)2.3 + 3.(–x).32 + 33 = (–x + 3)3 = (3 – x)3

Bài 45 trang 20 skg toán 8 tập 1: Tìm x, biết:

a) 2 - 25x2 = 0

b) \(x^{2}-x+\frac{1}{4}=0\)

* Lời giải bài 45 trang 20 skg toán 8 tập 1:

a) \(2-25 x^{2}=0 \Leftrightarrow(\sqrt{2}-5 x)(\sqrt{2}+5 x)=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array} { l } { \sqrt { 2 } - 5 x = 0 } \\ { \sqrt { 2 } + 5 x = 0 } \end{array} \Leftrightarrow \left[\begin{array}{c} x=\sqrt{2} / 5 \\ x=-\sqrt{2} / 5 \end{array}\right.\right.\)

- Kết luận: vậy có 2 nghiệm thoả là \(x=-\sqrt{\frac{2}{5}}\) và \(x=\sqrt{\frac{2}{5}}\).

b) \(x^{2}-x+\frac{1}{4}=0 \Leftrightarrow x^{2}-2 \cdot \frac{1}{2} x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=0 \Leftrightarrow\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=0 \Leftrightarrow x=\frac{1}{2}\)

- Kết luận: vậy có 1 nghiệm thoả là x=1/2.

Bài 46 trang 21 skg toán 8 tập 1: Tính nhanh

a) 732 - 272 ; b) 372 - 132 ; c) 20022 - 22

* Lời giải bài 46 trang 21 skg toán 8 tập 1:

a) 732 – 272 = (73 + 27)(73 – 27) = 100.46 = 4600

b) 372 – 132 = (37 + 13)(37 – 13) = 50.24 = 100.12 = 1200

c) 20022 – 22 = (2002 + 2)(2002 – 2) = 2004 .2000 = 4008000

Bài 47 trang 22 skg toán 8 tập 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a) x2 –xy + x – y

b) xz + yz – 5(x + y)

c) 3x2 – 3xy – 5x + 5y

* Lời giải bài 47 trang 22 skg toán 8 tập 1:

a) x2 – xy + x – y

+) Cách 1: Nhóm hai hạng tử thứ 1 và thứ 2, hạng tử thứ 3 và thứ 4

x2 – xy + x – y = (x2 – xy) + (x – y) = x(x – y) + (x – y)= (x – y)(x + 1)

+) Cách 2: Nhóm hạng tử thứ 1 và thứ 3 ; hạng tử thứ 2 và thứ 4

x2 – xy + x – y = (x2 + x) – (xy + y)= x.(x + 1) – y.(x + 1) = (x + 1)(x – y)

b) xz + yz – 5(x + y) = (xz + yz) – 5(x + y) = z(x + y) – 5(x + y) = (x + y)(z – 5)

c) 3x2 – 3xy – 5x + 5y

+) Cách 1: Nhóm hai hạng tử đầu tiên với nhau và hai hạng tử cuối với nhau:

3x2 – 3xy – 5x + 5y = (3x2 – 3xy) – (5x – 5y) = 3x(x – y) – 5(x – y) = (x – y)(3x – 5)

+) Cách 2: Nhóm hạng tử thứ 1 với hạng tử thứ 3; hạng tử thứ 2 với hạng tử thứ 4:

3x2 – 3xy – 5x + 5y = (3x2 – 5x) – (3xy – 5y) = x(3x – 5) – y(3x – 5)= (3x – 5)(x – y).

Bài 48 trang 22 skg toán 8 tập 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a) x2 + 4x –y2 + 4

b) 3x2 + 6xy + 3y2 – 3z2

c) x2 – 2xy + y2 – z2 + 2zt – t2

* Lời giải Bài 48 trang 22 skg toán 8 tập 1:

a) x2 + 4x – y2 + 4 [ta thấy x2 + 4x + 4 có dạng hằng đẳng thức]

= (x2 + 4x + 4) – y2 [xuất hiện hằng đẳng thức (A+B)2]

= (x + 2)2 – y2 [xuất hiện hằng đẳng thức A2-B2]

= (x + 2 – y)(x + 2 + y)

b) 3x2 + 6xy + 3y2 – 3z2

= 3.(x2 + 2xy + y2 – z2) [ta thấy x2 + 2xy + y2 có dạng hằng đẳng thức]

= 3[(x2 + 2xy + y2) – z2] [xuất hiện hằng đẳng thức (A+B)2]

= 3[(x + y)2 – z2] [xuất hiện hằng đẳng thức A2-B2]

= 3(x + y – z)(x + y + z)

c) x2 – 2xy + y2 – z2 + 2zt – t2 [ta thấy x2 – 2xy + y2 và z2 – 2zt + t2 có dạng hằng đẳng thức)

= (x2 – 2xy + y2) – (z2 – 2zt + t2) [xuất hiện hằng đẳng thức (A+B)2]

= (x – y)2 – (z – t)2 [xuất hiện hằng đẳng thức A2-B2]

= [(x – y) – (z – t)][(x – y) + (z – t)]

= (x – y – z + t)(x – y + z –t)

Bài 50 trang 23 sgk toán 8 tập 1: Tìm x, biết:

a) x(x – 2) + x – 2 = 0

b) 5x(x – 3) – x + 3 = 0

* Lời giải bài 50 trang 23 sgk toán 8 tập 1:

a) x(x – 2) + x – 2 = 0

⇔ (x – 2)(x + 1) = 0

\(\Leftrightarrow\left[\begin{array} { l } { x - 2 = 0 } \\ { x + 1 = 0 } \end{array} \Leftrightarrow \left[\begin{array}{c} x=2 \\ x=-1 \end{array}\right.\right.\)

- Kết luận: vậy x = – 1 hoặc x = 2.

b) 5x(x – 3) – x + 3 = 0

⇔ 5x(x – 3) – (x – 3) = 0

⇔ (x – 3)(5x – 1) = 0

\(\Leftrightarrow\left[\begin{array} { c } { x - 3 = 0 } \\ { 5 x - 1 = 0 } \end{array} \Leftrightarrow \left[\begin{array} { c } { x = 3 } \\ { 5 x = 1 } \end{array} \Leftrightarrow \left[\begin{array}{c} x=3 \\ x=\frac{1}{5} \end{array}\right.\right.\right.\)

- Kết luận: vậy x = 3 hoặc x = 1/5.

Bài 51 trang 24 sgk toán 8 tập 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) x3 – 2x2 + x.

b) 2x2 + 4x + 2 – 2y2

c) 2xy – x2 – y2 + 16

* Lời giải bài 51 trang 24 sgk toán 8 tập 1:

a) x3 – 2x2 + x

= x.x2 – x.2x + x.1 [nhân tử chung là x]

= x(x2 – 2x + 1) [xuất hiện hằng đẳng thức (A-B)2]

= x(x – 1)2

b) 2x2 + 4x + 2 – 2y2 [nhân tử chung là 2]

= 2.(x2 + 2x + 1 – y2) [ta thấy x2 + 2x + 1 có dạng hằng đẳng thức]

= 2[(x2 + 2x + 1) – y2]

= 2[(x + 1)2 – y2] [xuất hiện hằng đẳng thức A2-B2]

= 2(x + 1 – y)(x + 1 + y)

c) 2xy – x2 – y2 + 16 [ta thấy x2 ; y2 ; 2xy có liên hệ tới hằng đẳng thức]

= 16 – (x2 – 2xy + y2) [xuất hiện hằng đẳng thức (A-B)2]

= 42 – (x – y)2 [xuất hiện hằng đẳng thức A2-B2]

= [4 – (x – y)][4 + (x + y)]

= (4 – x + y)(4 + x – y).

Bài 52 trang 24 sgk toán 8 tập 1: Chứng minh rằng (5n + 2)2 – 4 chia hết cho 5 với mọi số nguyên n.

* Lời giải bài 52 trang 24 sgk toán 8 tập 1:

- Ta có: (5n + 2)2 – 4 = (5n + 2)2 – 22 = (5n + 2 – 2)(5n + 2 + 2)= 5n(5n + 4)

- Vì 5 ⋮ 5 nên 5n(5n + 4) ⋮ 5 ∀n ∈ Ζ.

⇒ Vậy (5n + 2)2 – 4 luôn chia hết cho 5 với n ∈ Ζ

Bài 53 trang 24 sgk toán 8 tập 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) x2 – 3x + 2

b) x2 + x – 6

c) x2 + 5x + 6

(Gợi ý : Ta không thể áp dụng ngay các phương pháp đã học để phân tích nhưng nếu tách hạng tử - 3x = - x – 2x thì ta có x2 – 3x + 2 = x2 – x – 2x + 2 và từ đó dễ dàng phân tích tiếp.

Cũng có thể tách 2 = - 4 + 6, khi đó ta có x2 – 3x + 2 = x2 – 4 – 3x + 6, từ đó dễ dàng phân tích tiếp)

* Lời giải bài 53 trang 24 sgk toán 8 tập 1:

a) x2 – 3x + 2

= x2 – x – 2x + 2 [tách –3x = – x – 2x]

= (x2 – x) – (2x – 2)

= x(x – 1) – 2(x – 1) [có x – 1 là nhân tử chung]

= (x – 1)(x – 2)

Hoặc: x2 – 3x + 2

= x2 – 3x – 4 + 6 [tách 2 = – 4 + 6]

= x2 – 4 – 3x + 6

= (x2 – 22) – 3(x – 2)

= (x – 2)(x + 2) – 3.(x – 2) [xuất hiện nhân tử chung x – 2]

= (x – 2)(x + 2 – 3) = (x – 2)(x – 1)

b) x2 + x – 6

= x2 + 3x – 2x – 6 [tách x = 3x – 2x]

= x(x + 3) – 2(x + 3) [có x + 3 là nhân tử chung]

= (x + 3)(x – 2)

c) x2 + 5x + 6 (Tách 5x = 2x + 3x)

= x2 + 2x + 3x + 6

= x(x + 2) + 3(x + 2) [có x + 2 là nhân tử chung]

= (x + 2)(x + 3)

IV. Bài tập về phân tích đa thức thành nhân tử

Bài 1: Đa thức 4x( 2y - z ) + 7y( z - 2y ) được phân tích thành nhân tử là ?

A. ( 2y + z )( 4x + 7y )

B. ( 2y - z )( 4x - 7y )

C. ( 2y + z )( 4x - 7y )

D. ( 2y - z )( 4x + 7y )

Lời giải:

Ta có 4x( 2y - z ) + 7y( z - 2y ) = 4x( 2y - z ) - 7y( 2y - z ) = ( 2y - z )( 4x - 7y ).

Chọn đáp án B.

Bài 2: Đa thức x3( x2 - 1 ) - ( x2 - 1 ) được phân tích thành nhân tử là ?

A. ( x - 1 )2( x + 1 )( x2 + x + 1 )

B. ( x3 - 1 )( x2 - 1 )

C. ( x - 1 )( x + 1 )( x2 + x + 1 )

D. ( x - 1 )2( x + 1 )( x2 + x + 1 )

Lời giải:

Ta có x3( x2 - 1 ) - ( x2 - 1 ) = ( x2 - 1 )( x3 - 1 ) = ( x - 1 )( x + 1 )( x - 1 )( x2 + x + 1 )

= ( x - 1 )2( x + 1 )( x2 + x + 1 )

Chọn đáp án D.

Bài 3: Tính giá trị của biểu thức A = x2 - y2 + 2y - 1 với x=3 và y=1.

A. A = - 9. B. A = 0.

C. A = 9. D. A = - 1.

Lời giải:

Ta có A = x2 - y2 + 2y - 1 = x2 - ( y2 - 2y + 1 )

= x2 - ( y - 1 )2 = ( x - y + 1 )( x + y - 1 ) (hằng đẳng thức a2 - b2 = ( a - b )( a + b ) ).

Khi đó với x = 3 và y = 1, ta có A = ( 3 - 1 + 1 )( 3 + 1 - 1 ) = 3.3 = 9.

Chọn đáp án C.

Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử: x3 + x2 + y3 + xy

A. (x + y).(x2 - xy + y2 + x)

B. (x - y).(x2 + xy + y2 - x)

C. (x + y).(x2 + xy + y2 - x)

D. (x - y).(x2 + xy - y2 + x)

Lời giải:

Ta có: x3 + x2 + y3 + xy = (x3 + y3) + (x2 + xy)

= (x + y). (x2 – xy + y2) + x.(x + y)

= (x + y). (x2 - xy + y2 + x)

Chọn đáp án A

Bài 5: Phân tích đa thức thành nhân tử: x3 – 9x + 2x2y + xy2

A. x. (x - y + 3).(x + y - 3)

B. x. (x + y + 3).(x + y - 3)

C. x. (x - y + 3).(x - y - 1)

D. x. (x + y + 1).(x - y - 3)

Lời giải:

Ta có: x3 – 9x + 2x2y + xy2

= x.(x2 – 9 + 2xy + y2)

= x.[(x2 + 2xy + y2) – 9]

= x.[(x + y)2 – 32]

= x.(x + y + 3).(x + y - 3)

Chọn đáp án B

Học sinh tự luyện tập

Bài tập 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

1) x2 - y2 - 2x + 2y

2) 2x + 2y - x2 - xy

3) x2 - 25 + y2 + 2xy

4) x2 - 2x - 4y2 - 4y

5) x2y - x3 - 9y + 9x

6) x2(x -1) + 16(1- x)

Bài tập 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

1) 4x2 – 25 + (2x + 7)(5 – 2x)

2) x3 + x2y – 4x – 4y

3) 3(x+ 4) – x2 – 4x

4) x3 – 3x2 + 1 – 3x

5) 5x2 – 5y2 – 10x + 10y

6) 3x2 – 6xy + 3y2 – 12z2

7) x2 – xy + x – y

8) x2 – 2x – 15

Bài tập 3: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

1) 2x2 + 3x – 5

2) x2 + 4x – y2 + 4

3) 2x2 – 18

4) x3 – x2 – x + 1

5) x2 – 7xy + 10y2

6) x4 + 6x2y + 9y2 - 1

7) x3 – 2x2 + x – xy2

8) ax – bx – a2 + 2ab – b2

Bài tập 4: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

1) x4y4 + 4 2) x7 + x2 + 1

3) x4y4 + 64 4) x8 + x + 1

5) x8 + x7 + 1 6) 32x4 + 1

7) x8 + 3x4 + 1 8) x4 + 4y4

9) x10 + x5 + 1

Bài tập 5: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

1) x2 + 2xy – 8y2 + 2xz + 14yz – 3z2

2) 3x2 – 22xy – 4x + 8y + 7y2 + 1

3) 12x2 + 5x – 12y2 + 12y – 10xy – 3

4) 2x2 – 7xy + 3y2 + 5xz – 5yz + 2z2

5) x2 + 3xy + 2y2 + 3xz + 5yz + 2z2

6) x2 – 8xy + 15y2 + 2x – 4y – 3

7) x4 – 13x2 + 36

8) x4 + 3x2 – 2x + 3

9) x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + 1

Bài tập 6: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

1) (a – b)3 + (b – c)3 + (c – a)3

2) (a – x)y3 – (a – y)x3 – (x – y)a3

3) x(y2 – z2) + y(z2 – x2) + z(x2 – y2)

4) (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3

5) 3x5 – 10x4 – 8x3 – 3x2 + 10x + 8

6) 5x4 + 24x3 – 15x2 – 118x + 24

7) 15x3 + 29x2 – 8x – 12

8) x4 – 6x3 + 7x2 + 6x – 8

9) x3 + 9x2 + 26x + 24

Bài tập 7: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

1) (x2 + x)2 + 4x2 + 4x – 12

2) (x2 + 4x + 8)2 + 3x(x2 + 4x + 8) + 2x2

3) (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 12

4) (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) – 24

5) (x2 + 2x)2 + 9x2 + 18x + 20

6) x2 – 4xy + 4y2 – 2x + 4y – 35

7) (x + 2)(x + 4)(x + 6)(x + 8) + 16

8) (x2 + x)2 + 4(x2 + x) – 12

9) 4(x2 + 15x + 50) - (x2 + 18x + 74) – 3x2

Xem thêm:

• Bài tập Phân tích đa thức thành nhân tử nâng cao
• Giải Toán 8 bài 9: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp
• Giải bài tập SGK trang 19 Toán lớp 8 tập 1: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung
• Giải bài tập trang 22, 23 SGK Toán lớp 8 tập 1: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử

Ngoài 8 cách phân tích đa thức thành nhân tử cực hay, mời các bạn tham khảo thêm các tài liệu Toán 8 và các đề thi học kì 1 lớp 8, đề thi học kì 2 lớp 8 mà chúng tôi đã sưu tầm và chọn lọc.