B. Miền Hội Tụ Của Chuỗi Hàm - Tài Liệu Text - 123doc

1. Trang chủ >
2. Giáo Dục - Đào Tạo >
3. Cao đẳng - Đại học >

B. Miền hội tụ của chuỗi hàm

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (4.26 MB, 227 trang )

Chương 5: Lý thuyết chuỗixn∑ n!n =1∞Ví dụ 2:Giải:Tập xác định : RLấy x ∈ X và xét chuỗi số∞∑xn. Dùng tiêu chuẩn Cauchy ta có lim nn!chuỗi hàm hội tụ tuyệt đối trên R . Đương nhiên miền hội tụ X = R .n =1∞Ví dụ 3:n →∞xn!= 0 , Vậycos nx2+ x2∑nn =1Giải:Tập xác định: Rcos nx1≤ 222n +xnLấy x ∈ R ta cóVậy chuỗi hàm hội tụ tuyệt đối trên R .∞Ví dụ 4:⎛nx∑⎜1 + n x⎜n =1⎝2 2−(n − 1) x ⎞⎟1 + (n − 1) 2 x 2 ⎟⎠Giải:Tập xác định : RTổng riêng thứ n :S n ( x) =Suy ra lim S n ( x) = limn→∞n →∞nx1 + n2 x2nx= 0 , ∀x . Vậy miền hội tụ là R .1 + n2 x25.2.2*. Sự hội tụ đều của chuỗi hàmA. Định nghĩa1. Dãy hàm ( f n (x ) ) được gọi là hội tụ đều về hàm f (x ) trên tập X nếu như∀ε > 0 , ∃n0 (ε ) , ∀n > n0 ⇒ f n ( x) − f ( x) < ε , ∀x ∈ X2. Chuỗi hàm (5.9) được gọi là hội tụ đều về hàm S (x ) trên X nếu dãy tổng riêng của nóhội tụ đều về S (x ) trên X .Nghĩa là: ∀ε > 0 , ∃n0 (ε ) , ∀n > n0 ⇒ Sn ( x) − S ( x) < ε , ∀x ∈ X(5.10)Vậy nếu chuỗi hội tụ đều về S (x ) thì phần dư Rn ( x) = S ( x) − S n ( x) sẽ hội tụ đều về 0,tức là:188Chương 5: Lý thuyết chuỗi∀ε > 0 , ∃n0 (ε ) , ∀n > n0 ⇒ Rn ( x) < ε , ∀x ∈ X(5.11)Trong trường hợp chuỗi hội tụ đều về hàm S (x ) trên (a,b) thường kí hiệu∞∑fn =1n( x ) ⇒ S ( x ) , x ∈ ( a, b)⎡∞Ví dụ 1: Chứng minh chuỗi hàmx∑ ⎢1 + n xn =12 2⎣−⎤x2 2⎥1 + (n − 1) x ⎦hội tụ đều trên [0,1]Giải:S n ( x) =x, lim S n ( x) = 0 , x ∈ [0,1]n →∞1 + n2 x2Rn ( x) =2nxx11.=≤ n0 sẽ có Rn ( x) < ε , ∀x ∈ [0,1]⎣ 2ε ⎦∞Ví dụ 2: Chứng tỏ rằng chuỗi hàm⎡nx∑ ⎢1 + n xn =1⎣2 2−(n − 1) x ⎤⎥1 + (n − 1) 2 x 2 ⎦không hội tụ đều trên [0,1]Giải:Từ ví dụ 4 ta có phần dư thứ n của chuỗi là Rn ( x) =Như vậy ∃ε =nx, x ∈ [0,1]1 + n2 x2111, ∀n , ∃xn = ∈ [0,1] ⇒ Rn ( xn ) = = ε2n2Chứng tỏ chuỗi không hội tụ đều trên [0,1] .Ví dụ 3: Chứng minh rằng các chuỗi hàm sau đây hội tụ đều trên tập R .(−1) n −1∑ x2 + nn =1∞a.(−1) n −1 x 2∑ (1 + x 2 )nn =1∞b.Giải:Với x cố định trên R ta nhận được các chuỗi số đan dấu. Theo định lí Leibnitz cácchuỗi này hội tụ .189Chương 5: Lý thuyết chuỗia. ∀x ∈ R , Theo định lí Leibnitz thì phần dư của chuỗi.Rn ( x) ≤Rn (x)thoả mãn111 0 , ∃n0 (ε ) ∈ N , ∀n > n0 ⇒ S n ( x) − S ( x) n0đềuε2trênXvềS (x ) ,tứclà, ∀x ∈ Xvµ ∀p ∈ N sẽ cóS n + p ( x) − S n ( x) = S n + p ( x) − S ( x) + S ( x) − S n ( x)≤ S n + p ( x) − S ( x) + S n ( x) − S ( x) 0 , ∃n0 , ∀n > n0 , ∀p ⇒ an + p − an < εTrong trường hợp này gọi ( an ) là dãy Cauchy.Từ điều kiện (5.12) rõ ràng với x ∈ X nhận được (S n (x) ) là dãy Cauchy. Vậy tồn tại hàmS (x ) xác định trên X để lim S n ( x) = S ( x) .n→∞Từ (5.12) suy ra lim S n + p ( x ) − S n ( x ) < ε , ∀x ∈ Xp→∞hay là S ( x) − Sn ( x) < ε , ∀x ∈ XVậy190S n ( x ) ⇒ S ( x ) trª n XChương 5: Lý thuyết chuỗi2. Tiêu chuẩn Weierstrass.Định lí: Giả sử các số hạng của chuỗi hàm thoả mãn bất đẳng thứcf n ( x) ≤ an , ∀x ∈ X(5.13)∞và chuỗi số∑ an hội tụ . Khi đó chuỗi hàmn =1∞∑fn =1n( x ) hội tụ tuyệt đối và đều trên tập XChứng minh: Trước hết chứng minh sự hội tụ tuyệt đối trên X .f n ( x0 ) ≤ an . Theo định lí so sánh mục B, 5.1.2 thì chuỗi sốLấy x0 tuỳ ý trên X có∞∑n =1∞∑ff n ( x0 ) hội tụ tức làn =1n( x0 ) hội tụ tuyệt đối. Vì x0 tuỳ ý trên X chứng tỏ chuỗi hội tụtuyệt đối trên X .Xét sự hội tụ đều trên X .∞nn =1Vìk =1∑ an hội tụ , nghĩa là dãy tổng riêng S n = ∑ ak hội tụ. Theo nguyên lí hội tụ sẽ có :∀ε > 0 , ∃n0 , ∀n > n0 , ∀p ∈ N ⇒Ta có:S n + p ( x) − S n ( x) ≤n+ p∑k = n +1f k ( x) ≤n+ p∑ak = n +1kn+ p∑ak = n +1k