Miền Hội Tụ Của Chuỗi Hàm Lũy Thừa Với Hệ Số Hữu Tỉ - 123doc

Công thức Taylor cho phép ta khai triển một hàm khả vi vô hạn lần thành một chuỗi hàm lũy thừa. Ngược lại chính là bài toán tính tổng của một chuỗi hàm lũy thừa. Trước khi tính tổng của một chuỗi hàm lũy thừa ta phải đi tìm miền hội tụ của nó vì trên miền hội tụ ấy tổng của chuỗi hàm mới tồn tại. Từ đó, dẫn đến bài toán đi tìm bán kính hội tụ của chuỗi hàm lũy thừa.

UED Journal of Social Sciences, Humanities & Education – ISSN 1859 - 4603 TẠP CHÍ KHOA HỌC XÃ HỘI, NHÂN VĂN VÀ GIÁO DỤC

a,b Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng

* Liên hệ tác giả

Nguyễn Thị Hà Phương

Email: [email protected]

Nhận bài:

19 – 07 – 2017

Chấp nhận đăng:

25 – 09 – 2017

http://jshe.ued.udn.vn/

MIỀN HỘI TỤ CỦA CHUỖI HÀM LŨY THỪA VỚI HỆ SỐ HỮU TỈ

Nguyễn Thị Hà Phươnga*, Phan Đức Tuấnb

Tóm tắt: Công thức Taylor cho phép ta khai triển một hàm khả vi vô hạn lần thành một chuỗi hàm lũy

thừa Ngược lại chính là bài toán tính tổng của một chuỗi hàm lũy thừa Trước khi tính tổng của một chuỗi hàm lũy thừa ta phải đi tìm miền hội tụ của nó vì trên miền hội tụ ấy tổng của chuỗi hàm mới tồn tại Từ đó, dẫn đến bài toán đi tìm bán kính hội tụ của chuỗi hàm lũy thừa

Ta biết, nếu u n:av n khi n dần đến vô cùng thì hai chuỗi hàm lũy thừa với hệ số là u v sẽ có n, n cùng bán kính hội tụ Điều này cho phép ta xác định các lớp chuỗi hàm lũy thừa có cùng bán kính hội tụ thông qua việc so sánh hệ số của chúng khi n dần đến vô cùng Trong [5], các tác giả đã chọn hàm lũy thừa ax làm đại lượng trung gian trong việc so sánh các đại lượng vô cùng bé khi x dần đến 0 Trong bài báo này chúng tôi chọn hệ số u n= 1n làm chuẩn để xác định lớp các chuỗi hàm lũy thừa có cùng bán kính hội tụ với chuỗi hàm lũy thừa nhận u làm hệ số Sau đó, chúng tôi chỉ ra trong lớp này chuỗi n

hàm lũy thừa với hệ số hữu tỉ có cùng miền hội tụ với chuỗi hàm lũy thừa nhận u làm hệ số n

Từ khóa:chuỗi hàm; chuỗi hàm lũy thừa; bán kính hội tụ; miền hội tụ; tiêu chuẩn so sánh; khai triển Taylor

1 Đặt vấn đề

Ta biết, nếu

lim n

n

n

u

thì bán kính hội tụ của hai chuỗi hàm lũy thừa

;

là bằng nhau (xem [3])

Một câu hỏi đặt ra là: nếu (1) được thỏa mãn thì

miền hội tụ của hai chuỗi hàm lũy thừa (2) có trùng

nhau không?

Để trả lời cho câu hỏi trên, ta xét hai chuỗi số

1

( 1)

;

n



=

−

 (3)

1

2 ( 1)

n

n

n n



=

+ −

 (4)

Ta có

2 ( 1)

( 1)

n n n

n

→

trong khi đó, chuỗi số (3) thì hội tụ còn chuỗi số (4) thì phân kì Điều này chứng tỏ, miền hội tụ của hai chuỗi hàm lũy thừa (2) là không trùng nhau

Trên cơ sở đó, chúng tôi khởi đầu bài báo này bằng việc tìm miền hội tụ  của chuỗi hàm lũy thừa

1

n

n

x

n



=

 (6)

và thu được kết quả là (xem [3]):

i.Nếu 1 thì  = −[ 1,1]

ii.Nếu 0  1 thì  = −[ 1,1)

iii.Nếu 0 thì  = −( 1,1)

Sau đó, chúng tôi đi tìm trong số các chuỗi hàm lũy thừa

1

n n n

u x



=

 (7)

thỏa mãn điều kiện

lim

1

n n

u

→ = ¡ (8)

chuỗi hàm nào có miền hội tụ trùng với chuỗi hàm lũy

thừa (6) Trong bài báo này chúng tôi chứng minh chuỗi

hàm lũy thừa với hệ số hữu tỉ (9) nếu thỏa mãn điều kiện

(8) sẽ có miền hội tụ trùng với chuỗi hàm lũy thừa (6)

2 Chuỗi hàm lũy thừa với hệ số hữu tỉ

Chúng tôi bắt đầu từ chuỗi hàm lũy thừa có dạng

0

1

1

n k

m

n n

x

−

=

trong đó, k m, ¥; p q i, j¡ (i=0, ;k j=0,m);

0 0, 0 0

0 m 1 m m 0,

q n +q n − + +q   n n0

Do sự hội tụ, phân kì của hai chuỗi số



 

là như nhau nên không mất tính tổng quát ta giả sử

0 0 1

p =q = Nghĩa là, chuỗi hàm lũy thừa (9) được viết

lại dưới dạng

1 1

1 1

( )

m m

Q n

−

=

Định nghĩa 2.1 Chuỗi hàm (10) được gọi là chuỗi

hàm lũy thừa với hệ số hữu tỉ và số = − được gọi là m k

độ lệch bậc của chuỗi hàm lũy thừa với hệ số hữu tỉ (10)

Định lí 2.2 Cho  là độ lệch bậc của chuỗi hàm

lũy thừa với hệ số hữu tỉ (10) Khi đó, miền hội tụ của

hai chuỗi hàm (10) và (6) là trùng nhau Nghĩa là:

i Nếu 1 thì miền hội tụ của chuỗi hàm (10) là

[ 1;1].−

ii Nếu 0  1 thì miền hội tụ của chuỗi hàm

(10) là [ 1;1).−

iii Nếu 0 thì miền hội tụ của chuỗi hàm (10)

là ( 1;1).−

Để chứng minh Định lí 2.2, ta đi chứng minh một

số bổ đề sau:

Bổ đề 2.3 Cho P x là đa thức bậc k có dạng k( )

1 1

P x =x +p x − + +p (11)

trong đó, k¥, p i¡ (i=1, ).k Khi đó

( )

k

+

Chứng minh Sử dụng quy tắc bỏ vô cùng lớn bậc

thấp, ta có

( )

k k

k

k

→+ →+ →+

Tương tự, ta cũng thu được đẳng thức thứ 2 của (12)

Bổ đề 2.4 Cho P x là đa thức có dạng (11) Khi k( )

đó, tồn tại số n  ¥ sao cho: 0

0

k

P x   x n

Chứng minh Nếu k =0 thì

0

P =x =   ¡x Nếu k 0thì từ

lim k( )

suy ra tồn tại n  ¥ sao cho 0 P x k( )0,  x n0.

Bổ đề 2.5 Cho P x k( ), Q ( )m x là các đa thức có dạng (11) Khi đó, nếu m  thì tồn tại k n  ¥0 sao cho hàm P x Q k( ) m( )x giảm với mọi xn0.

Chứng minh Đặt

1 1 1 1

f x

−

−

Ta có

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

P x Q x Q x P x A x

f x

Do P x k( ), Q ( )m x là các đa thức nên A x cũng là ( ) một đa thức có hạng tử bậc cao nhất là(k−m x) m k+ −1

Với m k  ¥, và m nên k m+ −  Theo Bổ đề k 1 0

2.4, thì tồn tại số n  ¥1 sao cho đa thức

ISSN 1859 - 4603 - Tạp chí Khoa học Xã hội, Nhân văn & Giáo dục, Tập 7, số 3 (2017), 33-38

1

1 (k m− )− A x( ) 0,  x n,suy ra, A x( )0,  x n1 Chọn

0 max 1, 1 ,

n = S+ n với S= x ¡ :Q x m( ) 0 =  Ta có

0

( ) 0,

f x   x n Do đó, hàm f giảm với mọi xn0.

Bổ đề 2.6 ([1]) Với mọi n0 ¢+, chuỗi số dương

0

1

n n n



=

hội tụ khi và chỉ khi 1

Chứng minh Định lí 2.2 Áp dụng Bổ đề 2.3, ta suy

ra bán kính hội tụ của chuỗi hàm lũy thừa (10) là R =1

Khi x= = ta xét sự hội tụ của chuỗi số R 1,

( )

( )

k

n m

P n

v

Q n

=

Theo Bổ đề 2.4 thì tồn tại n  ¥ sao cho chuỗi số 0

0

n

n n

v



=

 (15)

là chuỗi số dương Do đó, ta sẽ khảo sát sự hội tụ của

chuỗi số dương (15) bằng cách so sánh với chuỗi số

dương (13)

Khi x= − = − ta xét sự hội tụ của chuỗi số R 1,

( )

( )

n m

P n

v

Q n

Từ (15), ta suy ra chuỗi số

0

( 1)n n

n n

v



=

−

 (17)

là chuỗi đan dấu

i Nếu 1.Theo Bổ đề 2.3, ta có

( )

( )

1 /

m

k

Q n

Áp dụng tiêu chuẩn so sánh 2 (tiêu chuẩn xét sự hội

tụ của chuỗi số dương [4]) và Bổ đề 2.6, ta thu được

chuỗi số dương (15) hội tụ Suy ra, chuỗi số (14) cũng

hội tụ

Mặt khác, ta có

nên chuỗi số (17) hội tụ tuyệt đối Suy ra, chuỗi số (16) hội tụ

Như vậy, miền hội tụ của chuỗi hàm lũy thừa (10)

là [ 1;1].−

ii Nếu 0  1. Sử dụng tiêu chuẩn so sánh như

(i) ta thu được chuỗi số (14) phân kỳ

Ta xét sự hội tụ của chuỗi số (16) Từ Bổ đề 2.5, ta suy ra tồn tại n  ¥ sao cho dãy { }1 v n giảm khi n n1

Mặt khác, sử dụng quy tắc bỏ vô cùng lớn bậc thấp

ta có

( )

k k

v

Theo tiêu chuẩn Leibnitz, ta suy ra chuỗi đan dấu

2

( 1)n n, ( max{ , })

n n



=

 hội tụ Từ đó, suy ra chuỗi số (16) hội tụ Như vậy, miền hội tụ của chuỗi hàm lũy thừa (10) là [ 1;1).−

iii Nếu 0. Ta có

lim ( 1)

khi 0

n n



→

=





Do đó, ( 1) n v n→ 0 khi n → nên theo điều kiện cần ta suy ra các chuỗi số (14), (16) phân kỳ Vậy miền hội tụ của chuỗi hàm lũy thừa (10) là ( 1;1).−

Định lí 2.2 đã được chứng minh

Ví dụ 2.7 Tìm miền hội tụ của các chuỗi hàm lũy

thừa sau:

2 4 1

3

; 6

n n

x n



=

− +

2 1

4

n n

n x

n n



=

+ +

Chuỗi hàm (19) là chuỗi hàm với hệ số hữu tỉ có độ lệch bậc =2 nên theo Định lí 2.2, ta suy ra miền hội

là [ 1,1].− Tương tự chuỗi hàm (20) có độ lệch bậc

1

= nên suy ra miền hội tụ là [ 1,1).−

Nhận xét 2.8 Qua Ví dụ 2.7, ta nhận thấy rằng việc

tìm miền hội tụ của chuỗi hàm lũy thừa với hệ số hữu tỉ

chỉ là việc xác định độ lệch bậc

3 Quy về chuỗi hàm lũy thừa với hệ số hữu tỉ

a Biến đổi sơ cấp

Không có phương pháp chung để quy một chuỗi

hàm về chuỗi hàm lũy thừa với hệ số hữu tỉ Tuy nhiên,

trong một số trường hợp cụ thể ta có thể biến đổi sơ cấp

để quy về chuỗi hàm lũy thừa với hệ số hữu tỉ và nhờ đó

suy ra miền hội tụ một cách nhanh chóng Sau đây là

một số ví dụ minh họa:

Ví dụ 3.1 Tìm miền hội tụ của các chuỗi hàm sau:

2

1

3 ( 2)

;

n

n n

n

x



=

+

−

2

2 1

5 ( 1)

n n

n

x n



=

+

Chuỗi hàm (21) được viết lại dưới dạng

2

1

2 (3 )

n n

n

x



=

+

−

Đặt X =3 ,x khi đó chuỗi hàm (23) là chuỗi hàm

lũy thừa với hệ số hữu tỉ có độ lệch bậc =1 Áp dụng

Định lý 2.2, ta thu được miền hội tụ của chuỗi hàm (23)

theo X là [ 1,1).− Do đó, ta suy ra miền hội tụ của

chuỗi hàm (21) theo x là −1 3,1 3 )

Tương tự, chuỗi hàm (22) được viết lại dưới dạng

2

2 1

5 1

n

n

n



=

+ −  

 

Đặt X =x 5, ta thu được chuỗi hàm lũy thừa với hệ

số hữu tỉ có độ lệch bậc =0 Theo Định lí 2.2, ta suy

miền hội tụ của chuỗi hàm (24) theo X là ( 1,1).− Như

vậy, miền hội tụ của chuỗi hàm (22) theo x là ( 5, 5).−

Ví dụ 3.2 Tìm miền hội tụ của các chuỗi hàm sau:

1 2 3

1

( 1)

; ( 3)

n n n

n

=

−

+

2

1

n n

x



=

Chuỗi hàm (25) được viết lại dưới dạng

2 3 1

1 3

n

n

n x n



=

−

 

+  

Đặt X = −1 x, khi đó (27) là chuỗi hàm lũy thừa với

hệ số hữu tỉ có độ lệch bậc =1 nên suy ra miền hội tụ

của chuỗi hàm (27) theo X là [ 1,1).− Do đó, ta suy ra miền hội tụ của chuỗi hàm (25) theo x là (− −  + , 1) [1, )

Chuỗi hàm (26) được viết lại dưới dạng

( )

2

1

n n

x



=

Đặt X =x2  khi đó (28) là chuỗi hàm lũy thừa 0, với hệ số hữu tỉ có độ lệch bậc = −1 Kết hợp với điều kiện X 0 ta suy ra miền hội tụ của chuỗi hàm

(28) theo X là [0,1) Do đó, ta có miền hội tụ của

chuỗi hàm (26) theo x là ( 1,1).−

b Trường hợp riêng

Trong chứng minh Định lí 2.2, khi 0  nhờ  1,

Bổ đề 2.5 ta chỉ ra dãy { }v n là dãy giảm Đó là một trong hai điều kiện để suy ra chuỗi đan dấu (16) hội tụ

Trong trường hợp tổng quát nếu dãy { }u n thỏa mãn điều kiện (8) thì không suy ra dãy {|u n|} là dãygiảm

Thật vậy, ta xét chuỗi số sau

( 1) ( 1)

n n n

n u

n

Ta có

( 1)

1

n n

n n

+ −

Tuy nhiên, dãy {|u n|} không là dãy giảm Vì nếu ngược lại thì theo tiêu chuẩn Leibnitz chuỗi đan dấu (29) hội tụ, trong khi chuỗi (29) phân kì

Trong trường hợp riêng (0,1] thì mệnh đề sau cho ta kết quả tương tự Định lí 2.2

Mệnh đề 3.3 Giả sử dãy { u n} thỏa mãn điều kiện

(8) Khi đó

ISSN 1859 - 4603 - Tạp chí Khoa học Xã hội, Nhân văn & Giáo dục, Tập 7, số 3 (2017), 33-38

i Nếu 1 thì miền hội tụ của chuỗi hàm lũy

thừa (7) là [ 1,1].−

ii Nếu 0 thì miền hội tụ của chuỗi hàm lũy

thừa (7) là ( 1,1).−

Chứng minh Từ điều kiện (8), suy ra bán kính hội

tụ của chuỗi hàm lũy thừa (7) bằng với chuỗi hàm lũy

thừa (6) và bằng 1 Khi x=  =  ta xét sự hội tụ R 1,

các chuỗi số sau:

1

( 1)n n

n

u



=



i Nếu 1 thì kết hợp giữa (8) và tiêu chuẩn so

sánh 2 (tiêu chuẩn xét sự hội tụ của chuỗi số dương [4]),

ta suy ra chuỗi số dương

( 1)n n n,

hội tụ Do đó, các chuỗi số (30) là hội tụ tuyệt đối Vậy

miền hội tụ của chuỗi hàm lũy thừa (7) là [ 1,1].−

ii Nếu 0 thì từ (8), ta có u → n  0 khi n → 

Do đó, ( 1) n u n→ 0 khi n → nên theo điều kiện cần

suy ra các chuỗi số (30) phân kì Vậy miền hội tụ của

chuỗi hàm lũy thừa (7) là ( 1,1).−

Ví dụ 3.4 Tìm miền hội tụ của các chuỗi hàm sau:

2

1

;

n n

n

x

n n



=

+ +

1

ln

2

n n

x n



=

+

+

Ta có

n

n

→

+

= +

Theo Mệnh đề 3.3, ta suy ra miền hội tụ của chuỗi

hàm lũy thừa (31) là [ 1,1].−

Tương tự, từ

ln 1

2

n

→

+

Ta suy ra miền hội tụ của chuỗi hàm lũy thừa (32)

là ( 1,1).−

Nhận xét 3.5 Trong Ví dụ 3.4, nếu áp dụng quy tắc

bỏ vô cùng lớn bậc thấp thì ta có thể xem chuỗi hàm (31), (32) như là các chuỗi hàm lũy thừa với hệ số hữu tỉ

có độ lệch bậc tương ứng là =3 / 2, = −1 / 2

4 Kết luận

Bài báo đã phát triển ý tưởng chọn hàm lũy thừa để làm đại lượng trung gian trong việc so sánh các đại lượng vô cùng bé trong [5] bằng việc chọn chuỗi hàm lũy thừa (6) làm chuỗi hàm trung gian trong việc tìm miền hội tụ của chuỗi hàm Bài báo đã đưa ra một cách tiếp cận mới khi tìm miền hội tụ của chuỗi hàm lũy thừa

đó là so sánh với chuỗi hàm trung gian (6) Nhờ đó, mà miền hội tụ của chuỗi hàm lũy thừa với hệ số hữu tỉ được xác định thông qua việc tìm độ lệch bậc  Bên cạnh đó bài báo cũng đã đưa ra phương pháp quy một chuỗi hàm lũy thừa về chuỗi hàm lũy thừa với hệ số hữu tỉ Qua đó, tìm ra miền hội tụ của nó một cách nhanh chóng

Trong bài báo này chúng tôi chưa đưa ra kết quả cho các chuỗi hàm thỏa mãn điều kiện (8) với (0,1]

 Đây là một vấn đề mở mà chúng tôi sẽ tiếp tục nghiên cứu trong thời gian đến

Tài liệu tham khảo

[1] B D Demidovic (1975) Bài tập giải tích toán học

Tập 1, NXB Đại học và Trung học chuyên nghiệp

[2] Đ C Khanh (2000) Giải tích một biến NXB

ĐHQG TP Hồ Chí Minh

[3] N Đ Trí, T V Đĩnh và N H Quỳnh (2008) Bài

tập toán cao cấp Tập 2, NXB Giáo dục

[4] V Tuấn (2011), Giáo trình giải tích toán học Tập

2, NXB Giáo dục Việt Nam

[5] Phan Đức Tuấn và Nguyễn Thị Thu Thủy (2017) Ứng dụng vô cùng bé tương đương tính giới hạn hàm

số Tạp chí Khoa học và Giáo dục, Trường Đại học Sư

phạm - Đại học Đà Nẵng, 22(01), 26-30.

CONVERGENCE DOMAINS OF POWER SERIES WITH RATIONAL COEFFICIENTS

Abstract: The Taylor’s expansion enables us to expand an infinitely differentiable function into a power series The opposite problem is the summation of a power series Before calculating the sum of a power series, we need to find its domain of convergence because only on that domain does the sum of the series exist This leads to the problem of finding the radius of convergence of the power series

We know that if u n: av n when n tends to infinity, two power series with coefficients u v will have the same radius of n n, convergence This allows us to identify which types of power series have the same radius of convergence by comparing their coefficients as n tends to infinity In [5], the authors chose the power function ax as an intermediary in comparing the extremely

small quantities when x tends to result in zero In this article, we choose the coefficient u n= 1n as a standard to determine the types of power series that have the same radius of convergence with the series with factor u Then we go on to indicate that in this n

class, the power series with rational coefficients have the same domain of convergence with the power series with factor u n

Key words: series; power series; radius of convergence; domain of convergence; comparison tests; Taylor’s expansion