Bài 1: Hệ Tọa độ Trong Không Gian - Hoc24

I. TOẠ CỦA ĐIỂM VÀ CỦA VECTƠ

1. Hệ toạ độ

Trong không gian, các trục \(x'Ox,y'Oy,z'Oz\) vuông góc với nhau từng đôi một. Gọi \(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\) lần lượt là các vectơ đơn vị trên các trục \(x'Ox,y'Oy,z'Oz\).

Hệ ba trục như vậy được gọi là hệ trục toạ độ Đề-các vuông góc \(Oxyz\) trong không gian, hay được gọi đơn giản là hệ toạ độ \(Oxyz\).

Điểm \(O\) được gọi là gốc toạ độ.

Các mặt phẳng \(\left(Oxy\right),\left(Oyz\right),\left(Ozx\right)\) đôi một vuông góc với nhau được gọi là các mặt phẳng toạ độ.

Vì \(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\) là ba vectơ đơn vị đôi một vuông góc với nhau nên

\(\overrightarrow{i}^2=\overrightarrow{j}^2=\overrightarrow{k}^2=1\)

và \(\overrightarrow{i}.\overrightarrow{j}=\overrightarrow{j}.\overrightarrow{k}=\overrightarrow{k}.\overrightarrow{i}=0\)

2. Toạ độ của một điểm

Toạ độ của điểm \(M\) đối với hệ trục toạ độ \(Oxyz\) là bộ ba số \(\left(x;y;z\right)\) duy nhất sao cho \(\overrightarrow{OM}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}\)

Ta viết: \(M\left(x;y;z\right)\) hoặc \(M=\left(x;y;z\right)\).

3. Toạ độ của vectơ

Trong không gian \(Oxyz\) cho vectơ \(\overrightarrow{a}\). Khi đó luôn tồn tại duy nhất bộ ba số \(\left(a_1;a_2;a_3\right)\) sao cho \(\overrightarrow{a}=a_1\overrightarrow{i}+a_2\overrightarrow{j}+a_3\overrightarrow{k}\).

Ta gọi bộ ba số \(\left(a_1;a_2;a_3\right)\) là toạ độ vectơ \(\overrightarrow{a}\) đối với hệ toạ độ \(Oxyz\) cho trước và viết \(\overrightarrow{a}=\left(a_1;a_2;a_3\right)\) hoặc \(\overrightarrow{a}\left(a_1;a_2;a_3\right)\).

Nhận xét: Trong hệ toạ độ \(Oxyz\), toạ độ điểm \(M\) chính là toạ độ vectơ \(\overrightarrow{OM}\).

Ta có \(M=\left(x;y;z\right)\Leftrightarrow\overrightarrow{OM}=\left(x;y;z\right)\).

II. BIỂU THỨC TOẠ ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ

Định lí:

Trong không gian \(Oxyz\) cho hai vectơ \(\overrightarrow{a}=\left(a_1;a_2;a_3\right)\) và \(\overrightarrow{b}=\left(b_1;b_2;b_3\right)\). Ta có:

\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\left(a_1+b_1;a_2+b_2;a_3+b_3\right)\) ;

\(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\left(a_1-b_1;a_2-b_2;a_3-b_3\right)\) ;

\(k\overrightarrow{a}=k\left(a_1;a_2;a_3\right)=\left(ka_1;ka_2;ka_3\right)\) với \(k\) là một số thực.

Hệ quả:

a) Cho hai vectơ \(\overrightarrow{a}=\left(a_1;a_2;a_3\right)\) và \(\overrightarrow{b}=\left(b_1;b_2;b_3\right)\).

Ta có: \(\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a_1=b_1\\a_2=b_2\\a_3=b_3\end{matrix}\right.\).

b) Vectơ \(\overrightarrow{0}\) có toạ độ là \(\left(0;0;0\right)\).

c) Với \(\overrightarrow{b}\ne\overrightarrow{0}\) thì hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) cùng phương khi và chỉ khi có một số thực \(k\) sao cho \(a_1=kb_1,a_2=kb_2,a_3=kb_3\).

d) Trong không gian nếu cho hai điểm \(A\left(x_A;y_A;z_A\right)\) và \(B\left(x_B;y_B;z_B\right)\) thì:

\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\left(x_B-x_A;y_B-y_A;z_B-z_A\right)\)

Toạ độ trung điểm \(M\) của đoạn thẳng \(AB\) là \(M\left(\dfrac{x_A+x_B}{2};\dfrac{y_A+y_B}{2};\dfrac{z_A+z_B}{2}\right)\).

Ví dụ 1: Cho ba vectơ \(\overrightarrow{a}=\left(2;-5;3\right),\overrightarrow{b}=\left(0;2;-1\right),\overrightarrow{c}=\left(1;7;2\right)\). Tính toạ độ của vectơ \(\overrightarrow{d}=4\overrightarrow{a}-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{c}\).

Giải:

Ta có: \(\overrightarrow{d}=4\overrightarrow{a}-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{c}\)

\(=4\left(2;-5;3\right)-\dfrac{1}{3}\left(0;2;-1\right)+3\left(1;7;2\right)\)

\(=\left(8;-20;12\right)-\left(0;\dfrac{2}{3};-\dfrac{1}{3}\right)+\left(3;21;6\right)\)

\(=\left(11;\dfrac{1}{3};\dfrac{55}{3}\right)\)

Vậy \(\overrightarrow{d}=\left(11;\dfrac{1}{3};\dfrac{55}{3}\right)\).

III. TÍCH VÔ HƯỚNG1. Biểu thức toạ độ của tích vô hướng

Trong không gian \(Oxyz\), tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow{a}=\left(a_1;a_2;a_3\right)\) và \(\overrightarrow{b}=\left(b_1;b_2;b_3\right)\) được xác định bởi công thức:

\(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3\)

2. Ứng dụng

a) Độ dài của vectơ

Cho vectơ \(\overrightarrow{a}=\left(a_1;a_2;a_3\right)\). Độ dài của vectơ \(\overrightarrow{a}\) là \(\left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\).

b) Khoảng cách giữa hai điểm

Trong không gian cho hai điểm \(A\left(x_A;y_A;z_A\right)\) và \(B\left(x_B;y_B;z_B\right)\). Khoảng cách giữa hai điểm này chính là độ dài vectơ \(\overrightarrow{AB}\), ta có:

\(AB=\left|\overrightarrow{AB}\right|=\sqrt{\left(x_B-x_A\right)^2+\left(y_B-y_A\right)^2+\left(z_B-z_A\right)^2}\)

c) Góc giữa hai vectơ

Nếu \(\varphi\) là góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow{a}=\left(a_1;a_2;a_3\right)\) và \(\overrightarrow{b}=\left(b_1;b_2;b_3\right)\) với \(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\ne\overrightarrow{0}\) thì \(\cos\varphi=\dfrac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|}\). Do đó: \(\cos\varphi=\cos\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=\dfrac{a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3}{\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_2^3}.\sqrt{b_1^2+b_2^2+b_3^2}}\).

Từ đó suy ra \(\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{b}\Leftrightarrow a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3=0\).

Ví dụ 2: Tính \(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}\) với \(\overrightarrow{a}=\left(3;0;6\right)\) và \(\overrightarrow{b}=\left(2;-4;0\right)\).

Giải:

Với \(\overrightarrow{a}=\left(3;0;6\right)\) và \(\overrightarrow{b}=\left(2;-4;0\right)\) ta có:

\(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=3.6+0.\left(-4\right)+6.0=18\).

IV. PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU

Định lí:

Trong không gian \(Oxyz\), mặt cầu \(\left(S\right)\) tâm \(I\left(a;b;c\right)\) bán kính \(r\) có phương trình là:

\(\left(x-a\right)^2+\left(y-b\right)^2+\left(z-c\right)^2=r^2\).

Nhận xét: Phương trình mặt cầu có thể được viết dưới dạng

\(x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0\) với \(d=a^2+b^2+c^2-r^2\).

Ví dụ 3: Xác định tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình

\(x^2+y^2+z^2+4x-2y+6z+5=0\).

Giải:

Phương trình mặt cầu đã cho tương ứng với phương trình \(\left(x+2\right)^2+\left(y-1\right)^2+\left(z+3\right)^2=3^2\)

Vậy mặt cầu đã cho có tâm \(I\left(-2;1;-3\right)\) và có bán kính \(r=3\).