Bài 1: Khái Niệm Và Giới Hạn Hữu Hạn Của Hàm Số - Hoc247

YOMEDIA NONE Trang chủ Toán cao cấp Chương 3: Giới hạn của hàm số một biến Bài 1: Khái niệm và giới hạn hữu hạn của hàm số ADMICRO Lý thuyết 8 FAQ

Mời các bạn cùng tham khảo nội dung bài giảng Bài 1: Khái niệm và giới hạn hữu hạn của hàm số sau đây để tìm hiểu về vài khái nệm và một số giới hạn hữu hạn của hàm số...

ATNETWORK YOMEDIA

1. Vài khái niệm

2. Giới hạn hữu hạn của hàm số

2.1 Định nghĩa

2.2 Định nghĩa

2.3 Mệnh đề

2.4 Định nghĩa

2.5 Mệnh đề

2.6 Mệnh đề

2.7 Mệnh đề

2.8 Mệnh đề

2.9 Mệnh đề

2.10 Mệnh đề

2.11 Mệnh đề

2.12 Định nghĩa

2.13 Hệ quả

Tóm tắt lý thuyết

1. Vài khái niệm.

Ánh xạ \(f:D \subset R \to R\) được gọi là một hàm số thực.

D: miền xác định của f.

f(D): miền giá trị của f

Cho hai hàm số f và g có miền xác định lần lượt là D1 và D2. Ta nói : f = g nếu

\(\left\{ \begin{array}{l} {D_1} = {D_2}\\ f(x) = g(x),\forall x \in {D_1} \end{array} \right. \)

Hàm số f có miền xác định là D1 và g có miền xác định là D2.

i) Hàm (1 + g) và fg được định nghĩa:

\(\begin{array}{l} (f + g)(x) = f(x) + g(x)\\ (fg)(x) = f(x)g(x) \end{array} \)

có miền xác định là \({D_1} \cap {D_2}\)

ii) Hàm \(\frac{f}{g}(x) = \frac{{f(x)}}{{g(x)}}\) có miền xác định \({D_1} \cap {D_2}\backslash {D_3}\)

với \({D_3} = \left\{ {x \notin {D_2}/g(x) = 0} \right\}\)

iii) Hàm \(\sqrt f :\sqrt f (x) = \sqrt {f(x)}\)

có miền xác định là \({{\rm{D}}_{{\rm{1 }}}}{\rm{\backslash A}}\) với \(A = \left\{ {x \in D{}_1:f\left( x \right) < 0} \right\}\)

Vài hàm lượng giác ngược:

y = arcsinx có miền xác định là [-1,1] và miền giá trị \(\left[ { - \frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}} \right]\)

y = arccosx có miền xác định là [-1,1] và miền giá trị là \(\left[ {0,\pi } \right]\)

y = arctgx có miền xác định là \(\left( { - \infty , + \infty } \right) = R\) và miền giá \(\left( { - \frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}} \right)\)

y = arccotgx có miền xác định là \(\left( { - \infty , + \infty } \right) = R\) và miền giá trị là \(\left[ {0,\pi } \right]\)

2. Giới hạn hữu hạn của hàm số:

Nhắc lại: Cho \(\varepsilon > 0\).

\(\left( {{x_0} - \varepsilon ,{x_0} + \varepsilon } \right) = \left\{ {x/{x_0} - \varepsilon < x < {x_0} + \varepsilon } \right\} = \left\{ {x/\left| {x - {x_0}} \right| < \varepsilon } \right\}\)

được gọi là khoảng mở tâm x0 bán kính \(\varepsilon\) hay còn gọi là lân cận tâm x0 bán kính \(\varepsilon\).

2.1 Định nghĩa

Cho I là khoảng mở chứa x0. Hàm số f xác định trên I (hoặc xác định trên \(I\backslash \left\{ {{x_0}} \right\}\)). Ta nói L là giới hạn của f tại x0 nệu điều kiện sau thỏa:

“\(\forall \varepsilon > 0\) cho trước, luôn tồn tại \(\alpha > 0\) sao cho \(x \in I\) và \(0 < \left| {x - {x_0}} \right| < \alpha \Rightarrow \left| {f(x) - L} \right| < \varepsilon \)”

Khi đó ta ký hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = L\) (ta còn nói là f có giới hạn là L khi \(x \to {x_0}\))

Nhận xét:

i) Định nghĩa này tương tự như định nghĩa sự hội tụ của dãy. Thay N bằng \(\alpha \), thay n > N bằng \(x \in I \cap ({x_0} - \varepsilon ,{x_0} + \varepsilon )\backslash \left\{ {{x_0}} \right\}\)

ii) Ta cũng có thể định nghĩa: f có giới hạn là L khi \(x \to {x_0}\) nếu với mọi khoảng mở W tâm L bán kính \(\varepsilon\), luôn tồn tại một khoảng mở V tâm x0 bán kính \(\alpha\), sao cho \(x \in I \cap V\backslash \left\{ {{x_0}} \right\} \Rightarrow f(x) \in W\)

iii) Trong định nghĩa trên \(x \to {x_0}\) nhưng \(x \ne {x_0}\)

2.2 Định nghĩa

Cho I là khoảng mở chứa x0. Hàm số f xác định trên I (hoặc xác định trên I \{x0}).

i) Ta nói L là giới hạn bên trái tại x0 nếu:

“ \(\forall \varepsilon > 0,\exists \alpha > 0\) sao cho \(x \in I\) và \(0 < {x_0} - x < \alpha \Rightarrow \left| {f(x) - L} \right| < \varepsilon \)

ta ký hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_{_0}^ - } f(x) = L\)

ii) Ta nói L là giới hạn bên phải tại x0 nếu:

“\(\forall \varepsilon > 0,\exists \alpha > 0\)sao cho \(x \in I\) và \(0 < {x_0} - x < \alpha \Rightarrow \left| {f(x) - L} \right| < \varepsilon \)

ta ký hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_{_0}^ + } f(x) = L\)

Nhận xét:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = L \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x{ \to _{{x^ - }}}} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x{ \to _{{x^ + }}}} f(x) = L\)

(hay nói khác đi: f có giới hạn là L tại x0 ⇔ f có giới hạn trái và phải tại x0 và hai giới hạn này cùng bằng L)

(vì \(0 < \left| {x - {x_0}} \right| < \alpha \Leftrightarrow 0 < x - {x_0} < \alpha \,hay\,0 < {x_0} - x < \alpha\))

Ví dụ 1: Cho hàm số

\(f(x) = \left\{ \begin{array}{l} 2x + 5\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,neu\,\,\,\,x \ne 2\\ 6\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,neu\,\,\,\,x = 2 \end{array} \right. \)

Chứng minh rằng \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) = 9\)

Giải:

Ta có

\(\begin{array}{l} \left| {f\left( x \right) - 9} \right| = \left| {2x + 5 - 9} \right| = \left| {2x - 4} \right| = 2\left| {x - 2} \right| < \varepsilon \\ \Leftrightarrow \left| {x - 2} \right| < \frac{\varepsilon }{2} \end{array} \)

Vậy \(\forall \varepsilon > 0,\exists \alpha = \frac{\varepsilon }{2}\) sao cho \(\left| {x - 2} \right| < \alpha = \frac{\varepsilon }{2}\)

\(\Rightarrow \left| {f(x) - 9} \right| < \varepsilon \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) = 9\)

Ví dụ 2: Cho \(g(x) = \left\{ \begin{array}{l} {x^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,neu\,\,\,x \ne 4\\ 6\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,neu\,\,\,x = 4 \end{array} \right.\). Chứng minh rằng \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} g(x) = 16\)

Giải: Ta có

\(\left| {{x^2} - 16} \right| = \left| {\left( {x - 4} \right)\left( {x + 4} \right)} \right| = \left| {x + 4} \right|\left| {x - 4} \right|\)

Coi khoảng mở I tâm 4 bán kính 1 (I = (3, 5))

Ta có \(\left| {g\left( x \right) - 16} \right| = \left| {x + 4} \right|\left| {x - 4} \right| < 9\left| {x - 4} \right|\left( * \right)\,\,\forall x \in I\)và \(x \ne 4\)

Do đó: \(\forall \varepsilon > 0,\exists \alpha = \min \left\{ {\frac{\varepsilon }{9},1} \right\}\)sao cho \(0 < \left| {x - 4} \right| < \alpha\)

\( \Rightarrow \left| {f(x) - 16} \right| < \varepsilon\)

Nhận xét: Giả sử \(\frac{\varepsilon }{9} > 1\). Nếu chỉ chọn \(\alpha = \frac{\varepsilon }{9} > 1\) thì bất phương trình (*) không còn đúng (vì có thể \(0 < \left| {x - 4} \right| < \alpha\) nhưng \(x \notin I\))

2.3 Mệnh đề

Cho I là khoảng mở chứa x0. Hàm số f xác định trên I (hoặc xác định trên I \{x0}). Hai mệnh đề sau là tường đương:

i) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = L\)

ii) Với mọi dãy {xn} chứa trong I hội tụ về x0 và \({x_n} \ne {x_0},\forall n\) thì ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f\left( {{x_n}} \right) = L\)

Chứng minh:

(i) ⇒ (ii) Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0} f\left( {{x}} \right) = L\)nên “\(\forall \varepsilon > 0,\exists \alpha > 0\) sao cho \(x \in I\) và \(0 < \left| {x - {x_0}} \right| < \alpha \Rightarrow \left| {f(x) - L} \right| < \varepsilon\)” (1)

Dãy {xn} trong I hội tụ về x0 và \({x_n} \ne {x_0},\forall n\) thì với \(\alpha\) ở trên, tồn tại N sao cho \(0 < \left| {{x_n} - {x_0}} \right| < \alpha\) với mọi n > N (2)

Kết hợp (1) và (2) ta có:

“\(\forall \varepsilon > 0,\exists N\) sao cho \(\left| {f({x_n}) - L} \right| < \varepsilon ,\forall n > N\)”

Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } f({x_n}) = L\)

(ii) ⇒ (i) Giả sử \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) \ne L\)

⇒ “\(\exists \varepsilon > 0\) sao cho \(\forall \alpha > 0\) thỏa \(0 < \left| {x - {x_0}} \right| < \alpha\) thì \(\left| {f(x) - L} \right| \ge \varepsilon\)

\(\forall n \in {N^*}\), chọn \(\alpha = \frac{1}{n}\) thì tồn tại xn sao cho

\(0 < \left| {{x_n} - {x_0}} \right| < \alpha = \frac{1}{n}\)và \(\left| {f({x_n}) - L} \right| \ge \varepsilon\)

⇒ tồn tại dãy {xn} chứa trong I hội tụ về x0 và \({x_n} \ne {x_0},\forall n\) nhưng \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } f({x_n}) \ne L\)

Ví dụ 1: Cho \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l} \sin \frac{1}{x}\,\,neu\,x \ne 0\,\,\\ 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,neu\,\,x = 0 \end{array} \right. \)

Chứng minh rằng f không có giới hạn tại 0 (hay \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f(x)\) không tồn tại)

Chứng minh: Xét dãy \({x_n} = \frac{1}{{(2n + 1)\frac{\pi }{2}}} \to 0\). Nhưng dãy \(f\left( {{x_n}} \right) = \sin \frac{1}{{{x_n}}} = \sin (2n + 1)\frac{\pi }{2} = {( - 1)^n}\)không hội tụ.

Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x)\) không tồn tại.

Ví dụ 2: Xét hàm số f(x) = x2. Chứng minh rằng \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f(x) = 9\)

Giải:

Với mọi dãy {xn} → 3.

Ta có: \(f({x_n}) = x_n^2 = {x_n}.{x_n} \to 3.3 = 9 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = 9\)

2.4 Định nghĩa

i) Cho f xác định trên \(I = \left( {a, + \infty } \right) = \left\{ {x \in R/x > a} \right\}\). Ta nói f có giới hạn là L ở \( + \infty\), nếu: “\(\forall \varepsilon > 0,\exists B > 0\) sao cho \(x \in I\) và \(x > B \Rightarrow \left| {f(x) - L} \right| < \varepsilon\)”

Ký hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = L\)

ii) f xác định trên \(I = \left( { - \infty ,{\rm{ }}a} \right) = \left\{ {x \in R/x < a} \right\}\)

Ta nói f có giới hạn là L ở \(- \infty\) nếu: “\(\forall \varepsilon > 0,\exists B > 0\) sao cho \(x \in I\) và \(x >- B \Rightarrow \left| {f(x) - L} \right| < \varepsilon\)” .

Ký hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = L\)

Nhận xét: Định nghĩa trên hoàn toàn tương tự với định nghĩa giới hạn của dãy số.

2.5 Mệnh đề

Cho hàm số f xác định trên \(I = \left( {a, + \infty } \right)\). Khi đó, hai tính chất sau tương đương :

i) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = L\)

ii) \(\forall \) dãy \(\left\{ {{x_n}} \right\} \to + \infty \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } f(x) = L\)

Ghi chú: Ta có phát biểu tương tự cho trường hợp \(\mathop {\lim }\limits_{n \to - \infty } f(x) = L\)

2.6 Mệnh đề

Cho I là khoảng mở chứa x0. Hàm số f xác định trên I (hoặc xác định trên I \ {x0} ). Giới hạn của f tại x0 (nếu có) là duy nhất

Chứng minh :

Giả sử \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} = {L_1}\,va\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = {L_2}\)

Giả sử \({L_1} < {L_2} \Rightarrow {L_2} - {L_1} > 0\)

Coi \(\varepsilon = \frac{{{L_2} - {L_1}}}{2} > 0\), ta có: vì f có giới hạn là L1 và L2 tại x0 nên \(\exists {\alpha _1} > 0\) và \({\alpha _2} > 0\) sao cho:

\(x \in I\,va\,0 < \left| {x - {x_0}} \right| < {\alpha _1}\)

\(\Rightarrow - \frac{{{L_2} - {L_1}}}{2} < f(x) - {L_1} < \frac{{{L_2} - {L_1}}}{2}\)

\(\Rightarrow f(x) < \frac{{{L_1} + {L_2}}}{2}\,\,\,\,\,(1)\)

\(x \in I\) và \(0 < \left| {x - {x_0}} \right| < {\alpha _2}\)

\(\Rightarrow - \frac{{{L_2} - {L_1}}}{2} < f(x) - {L_2} < \frac{{{L_2} - {L_1}}}{2}\)

\(\Rightarrow f(x) > \frac{{{L_1} + {L_2}}}{2}\,\,\,\,\,(2)\)

Chọn \(\alpha = \min \left\{ {{\alpha _1},{\alpha _2}} \right\}\)

Ta có: khi \(x \in I\) và \(0 < \left| {x - {x_0}} \right| < \alpha\). Ta có (1) và (2) đồng thời xảy ra, suy ra vô lý.

Tương tự khi L1 > L2

Vậy L1 = L2

2.7 Mệnh đề

Cho I là khoảng mở chứa x0. Hàm số f xác định trên I (hoặc xác định trên I \ {x0} ).

i) Nếu giới hạn của f tại x0 tồn tại hữu hạn thì tồn tại k > 0 và một khoảng mở J chứa x0 sao cho \(\left| {f(x)} \right| \le k,\forall x \in J\backslash \left\{ {{x_0}} \right\}\)

ii) Giả sử \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = L \ne 0\)thì tồn tại k1 > 0 và một khoảng mở J1 sao cho \(\left| {f(x)} \right| > {k_1},\forall x \in {J_1}\backslash \{ {x_0}\}\)

Chứng minh:

Giả sử \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = A\)

Coi \(\varepsilon = 1,\exists \alpha > 0\) sao cho \(x \in I\) và \(0 < \left| {x - {x_0}} \right| < \alpha\)

\(\Rightarrow \left| {f(x) - A} \right| < \varepsilon = 1\)

\( \Rightarrow \left| {f\left( x \right){\rm{ }}} \right| = {\rm{ }}\left| {A{\rm{ }} + {\rm{ }}f\left( x \right){\rm{ }} - {\rm{ }}A} \right|{\rm{ }} < {\rm{ }}\left| A \right|{\rm{ }} + {\rm{ }}\left| {f\left( x \right){\rm{ }} - {\rm{ }}A} \right|\)

\(< \left| A \right| + 1,\forall x \in I\) và \(0 < \left| {x - {x_0}} \right| < \alpha\)

Vậy \(\exists k = \left| A \right| + 1\,\,va\,\,J = I \cap ({x_0} - \alpha ,{x_0} + \alpha )\) sao cho \(\left| {f(x)} \right| \le k,\forall x \in J\backslash \left\{ {{x_0}} \right\}\)

Tất cả các mệnh đề sau được suy từ các tính chất của giới hạn của dãy số, mệnh đề 3 và mệnh đề 5 của chương này.

2.8 Mệnh đề

Cho I là khoảng mở chứa x0. Hàm số f xác định trên I (hoặc xác định trên I \ {x0} ).

Nếu \(\left\{ \begin{array}{l} f(x) \ge 0\,\,\,\forall x \in I\backslash \left\{ {{x_0}} \right\}\\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = L \end{array} \right. \) thì \(L \ge 0\)

Mệnh đề trên vẫn đúng khi thay x → x0 bằng \(x \to x_0^ + ;x \to x_0^ - \,hay\,x \to \pm \infty\)

Ghi chú: tương tự như dãy số, nếu thay giả thiết bởi giả thiết \(f\left( x \right){\rm{ }} > {\rm{ }}0,{\rm{ }}\forall x \in I{\rm{ \backslash }}\left\{ {{x_0}} \right\}\)ta cũng chỉ kết luận \(L \ge 0\)

2.9 Mệnh đề:

(Các phép toán trên giới hạn hàm số)

Cho I là khoảng mở chứa x0. Hàm số f xác định trên I (hoặc xác định trên I \{x0} ).

Giả sử \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = L,\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \,g(x) = M\)

Khi đó:

\(\begin{array}{l} i)\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f(x) + g(x)} \right] = L + M\\ ii)\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {kf(x)} \right] = kL\\ iii)\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f(x)g(x)} \right] = LM\\ iv)\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x)}}{{g(x)}} = \frac{L}{M}\,\,(dk\,M \ne 0)\\ v)\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \sqrt {f(x)} = \sqrt L \, \end{array} \)

2.10 Mệnh đề

Cho I là khoảng mở chứa x0. Hàm số f, g xác định trên I (hoặc xác định trên I \ {x0} ) và \(f(x) \ge g(x),\forall x \in I\backslash \{ {x_0}\}\)

Nếu \(\left\{ \begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = L\\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g(x) = M \end{array} \right.\,\,\,thi\,L \ge M \)

2.11 Mệnh đề (định lý kẹp)

Cho I là khoảng mở chứa x0. Hàm số f, g, h xác định trên I (hoặc xác định trên I \ {x0} ) và \(f\left( x \right){\rm{ }} \le {\rm{ }}g\left( x \right){\rm{ }} \le {\rm{ }}h\left( x \right),{\rm{ }}\forall x{\rm{ }} \in I\backslash {\rm{ }}\left\{ {{x_0}} \right\}\).

Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} h(x) = L\,\,\,thi\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g(x) = \,L\)

Ví dụ: Tìm \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {x^2}\sin \frac{1}{2}\)

Ta có: \(0 \le \left| {{x^2}\sin \frac{1}{x}} \right| \le {x^2},\forall x \ne 0\)

Mà \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {x^2} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} 0 = 0\,nen\,\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left| {{x^2}\sin \frac{1}{x}} \right| = 0\)

Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {x^2}\sin \frac{1}{x} = 0\)

2.12 Định nghĩa

Cho hàm số I xác định trên D. Ta nói

• f bị chận trên trên D nếu \(\exists M{\rm{ }}:{\rm{ }}f\left( x \right){\rm{ }} \le M,{\rm{ }}\forall x{\rm{ }} \in {\rm{ }}D\)
• f bị chận dưới trên D nếu \(\exists M{\rm{ }}:{\rm{ }}f\left( x \right){\rm{ }} \ge M,{\rm{ }}\forall x{\rm{ }} \in {\rm{ }}D\)
• f bị chận trên D ⇔ f bị chận trên, bị chận dưới trên D \( \Leftrightarrow \exists M{\rm{ }}:{\rm{ }}\left| {f\left( x \right)} \right|{\rm{ }} \le {\rm{k}},{\rm{ }}\forall x{\rm{ }} \in {\rm{ }}D\)

Từ mệnh đề 7, ta thấy nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x)\) tồn tại hữu hạn thì có một khoảng mở J chứa x0 để f bị chặn trên J\{x0} (f có giới hạn hữu hạn tại x0 ⇒ f bị chặn trên khoảng mở chứa x0 (có thể ngoại trừ x0))

2.13 Hệ quả

Cho I là khoảng mở chứa x0. Hàm số f xác định trên I (hoặc xác định trên I\{x0} ).

Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = 0\,\,va\,\,\left| {g(x)} \right| \le M,\forall x \in I\backslash \left\{ {{x_0}} \right\}\,\,thi\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x)g(x) = 0\)

NONE

Bài học cùng chương

Bài 2: Giới hạn vô cực của hàm số và giới hạn thông thường, các đại lượng tương đương ADSENSE ADMICRO Bộ đề thi nổi bật UREKA AANETWORK

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH ĐẠI HỌC

Môn học

Triết học

Lịch Sử Đảng

Tư Tưởng Hồ Chí Minh

Kinh Tế Vi Mô

Kinh Tế Vĩ Mô

Toán Cao Cấp

LT Xác suất & Thống kê

Đại Số Tuyến Tính

Tâm Lý Học Đại Cương

Tin Học Đại Cương

Kế Toán Đại Cương

Pháp Luật Đại Cương

Marketing Căn Bản

Lý Thuyết Tài Chính Tiền Tệ

Xã Hội Học Đại Cương

Logic Học

Lịch Sử Văn Minh Thế Giới

Cơ Sở Văn Hóa VN

Trắc nghiệm

Trắc nghiệm Triết học

Trắc nghiệm Lịch Sử Đảng

Trắc nghiệm Tư Tưởng Hồ Chí Minh

Trắc nghiệm Kinh Tế Vi Mô

Trắc nghiệm Kinh Tế Vĩ Mô

Bài tập Toán Cao Cấp

Bài tập LT Xác suất & Thống kê

Bài tập Đại Số Tuyến Tính

Trắc nghiệm Tâm Lý Học Đại Cương

Trắc nghiệm Tin Học Đại Cương

Trắc nghiệm Kế Toán Đại Cương

Trắc nghiệm Pháp Luật Đại Cương

Trắc nghiệm Marketing Căn Bản

Trắc nghiệm Lý Thuyết Tài Chính Tiền Tệ

Trắc nghiệm Xã Hội Học Đại Cương

Trắc nghiệm Logic Học

Trắc nghiệm Lịch Sử Văn Minh Thế Giới

Trắc nghiệm Cơ Sở Văn Hóa VN

Tài liệu - Giáo trình

Lý luận chính trị

Khoa học tự nhiên

Khoa học xã hội

Kinh tế - Tài chính

Kỹ thuật - Công nghệ

Cộng nghệ thông tin

Tiếng Anh - Ngoại ngữ

Luận văn - Báo cáo

Kiến trúc - Xây dựng

Kỹ năng mềm

Y tế - Sức khoẻ

Biểu mẫu - Văn bản

YOMEDIA YOMEDIA ×

Thông báo

Bạn vui lòng đăng nhập trước khi sử dụng chức năng này.

Bỏ qua Đăng nhập ×

Thông báo

Bạn vui lòng đăng nhập trước khi sử dụng chức năng này.

Đồng ý ATNETWORK ON QC Bỏ qua >>