Bài 1: Sự đồng Biến, Nghịch Biến Của Hàm Số

Xem toàn bộ tài liệu Lớp 12: tại đây

Xem thêm các sách tham khảo liên quan:

• Sách giáo khoa đại số và giải tích 12
• Sách giáo khoa hình học 12
• Sách giáo khoa giải tích 12 nâng cao
• Sách giáo khoa hình học 12 nâng cao
• Giải Toán Lớp 12
• Sách Giáo Viên Giải Tích Lớp 12
• Sách Giáo Viên Hình Học Lớp 12
• Sách Giáo Viên Giải Tích Lớp 12 Nâng Cao
• Sách Giáo Viên Hình Học Lớp 12 Nâng Cao
• Giải Toán Lớp 12 Nâng Cao
• Sách Bài Tập Giải Tích Lớp 12
• Sách Bài Tập Giải Tích Lớp 12 Nâng Cao
• Sách Bài Tập Hình Học Lớp 12 Nâng Cao
• Sách Bài Tập Hình Học Lớp 12

Sách Giải Sách Bài Tập Toán 12 Bài 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số giúp bạn giải các bài tập trong sách bài tập toán, học tốt toán 12 sẽ giúp bạn rèn luyện khả năng suy luận hợp lý và hợp logic, hình thành khả năng vận dụng kết thức toán học vào đời sống và vào các môn học khác:

Bài 1.1 trang 7 Sách bài tập Giải tích 12: Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số:

a) y = 3x2 − 8x3

b) y = 16x + 2x2 − 16x3/3 − x4

c) y = x3 − 6x2 + 9x

d) y = x4 + 8x2 + 5

Lời giải:

a) TXĐ: R

y′ = 6x − 24x2 = 6x(1 − 4x)

y’ = 0 ⇔

y’ > 0 trên khoảng (0; 1/4) , suy ra y đồng biến trên khoảng (0; 1/4)

y’ < 0 trên các khoảng (-∞; 0 ); (14; +∞), suy ra y nghịch biến trên các khoảng (-∞;0 ); (14;+∞)

b) TXĐ: R

y′ = 16 + 4x − 16x2 − 4x3 = −4(x + 4)(x2 − 1)

y’ = 0 ⇔

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số y đã cho đồng biến trên các khoảng (-∞; -4) và (-1; 1), nghịch biến trên các khoảng (-4; -1) và (1; +∞)

c) TXĐ: R

y′ = 3×2 − 12x + 9

y’ = 0

y’ > 0 trên các khoảng (-∞; 1), (3; +∞) nên y đồng biến trên các khoảng (-∞; 1), (3; +∞)

y'< 0 trên khoảng (1; 3) nên y nghịch biến trên khoảng (1; 3)

d) TXĐ: R

y′ = 4x3 + 16 = 4x(x2 + 4)

y’ = 0 ⇔

y’ > 0 trên khoảng (0; +∞) ⇒ y đồng biến trên khoảng (0; +∞)

y’ < 0 trên khoảng (-∞; 0) ⇒ y nghịch biến trên khoảng (-∞; 0)

Bài 1.2 trang 7 Sách bài tập Giải tích 12: Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của các hàm số:

Lời giải:

a) TXĐ: R \ {-7}

y’ < 0 trên các khoảng (-∞; -7), (-7; +∞) nên hàm số nghịch biến trên các khoảng đó

b) TXĐ: R \ {5}

y’ < 0 trên khoảng (5; +∞) nên y nghịch biến trên khoảng (5; +∞)

y’ > 0 trên khoảng (-∞; 5) nên y đồng biến trên khoảng (-∞; 5)

c) TXĐ: R \ {-3; 3}

y’ < 0 trên các khoảng (-∞; – 3), (-3; 3), (3; +∞) nên hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng đó.

d) TXĐ: R \ {0}

y’ = 0 ⇔

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng (-∞; -2), (2; +∞) và nghịch biến trên các khoảng (-2; 0), (0; 2)

e) TXĐ: R \ {-1}

y’ = 0 ⇔

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng (−∞; −1 − √6), (−1 + √6; +∞) và nghịch biến trên các khoảng (−1 − √6; −1),(−1; −1 + √6)

g) TXĐ: R \ {2}

(do x2 − 4x + 7x2 − 4x + 7 có Δ’ = – 3 < 0)

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng (−∞;2),(2;+∞)

Bài 1.3 trang 8 Sách bài tập Giải tích 12: Xét tính đơn điệu của các hàm số sau:

a)

b)

Lời giải:

a) TXĐ: [0; +∞)

y’ = 0 ⇔ x = 100

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (0; 100) và nghịch biến trên khoảng (100; +∞)

b) TXĐ: (-∞; √6) ∪ (√6; +∞)

y’ = 0 ⇔ x = 3 hoặc x = -3

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞; -3), (3; +∞), nghịch biến trên các khoảng (-3; −√6 − 6 ), (√6; 3).

Bài 1.4 trang 8 Sách bài tập Giải tích 12: Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số:

a) y = x − sinx, x ∈ [0; 2π].

c) y = sin(1/x), (x > 0)

Lời giải:

a) y = x – sinx, x ∈ [0; 2π].

y′ = 1 – cosx ≥ 0 với mọi x ∈ [0; 2π]

Dấu “=” xảy ra chỉ tại x = 0 và x = 2π.

Vậy hàm số đồng biến trên đoạn [0; 2π].

c) Xét hàm số y = sin(1/x) với x > 0.

Giải bất phương trình sau trên khoảng (0; +∞):

Do đó, hàm số đồng biến trên các khoảng

Và nghịch biến trên các khoảng

với k = 0, 1, 2 …

Bài 1.5 trang 8 Sách bài tập Giải tích 12: Xác định tham số m để hàm số sau:

a) đồng biến trên từng khoảng xác định;

b) y = −x3 + mx2 − 3x + 4 nghịch biến trên.

Lời giải:

a) Tập xác định: D = R \ {m}

Hàm số đồng biến trên từng khoảng (−∞; m), (m; +∞) khi và chỉ khi:

⇔ − m2 + 4 > 0

⇔ m2 < 4 ⇔ −2 < m < 2

c) Tập xác định: D = R

Hàm số nghịch biến trên R khi và chỉ khi:

y′ = −3x2 + 2mx – 3 ≤ 0

⇔ y′ = m2 – 9 ≤ 0

⇔ m2 ≤ 9 ⇔ −3 ≤ m ≤ 3

Bài 1.6 trang 8 Sách bài tập Giải tích 12: Chứng minh các phương trình sau có nghiệm duy nhất

3(cosx − 1) + 2sinx + 6x = 0

Lời giải:

Đặt y = 3(cos x – 1) + 2sinx + 6

Hàm số xác định, liên tục và có đạo hàm tại mọi x ∈ R

Ta có: y(π) = 0 và y’ = -3sin x + 2cos x + 6 > 0, x ∈ R.

Hàm số đồng biến trên R và có một nghiệm x = π

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất.

Bài 1.7 trang 8 Sách bài tập Giải tích 12: Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) tanx > sinx, 0 < x < π/2

b)

với 0 < x < +∞

Lời giải:

a) Xét hàm số f(x) = tanx − sinx trên nửa khoảng [0; π/2);

x ∈ [0;1/2)

Dấu “=” xảy ra khi x = 0.

Suy ra f(x) đồng biến trên nửa khoảng [0; π/2)

Mặt khác, ta có f(0) = 0, nên f(x) = tanx – sinx > 0 hay tanx > sinx với mọi x ∈ [0; 1/2)

b) Xét hàm số h(x) trên [0; +∞)

Dấu “=” xẩy ra chỉ tại x = 0 nên h(x) đồng biến trên nửa khoảng [0; +∞).

Vì h(x) = 0 nên

Hay

Xét hàm số trên f(x) trên [0; +∞);

Vì g(0) = 0 và g(x) đồng biến trên nửa khoảng [0; +∞) nên g(x) ≥ 0, tức là f′(x) ≥ 0 trên khoảng đó và vì dấu “=” xảy ra chỉ tại x = 0 nên f(x) đồng biến trên nửa khoảng .

Mặt khác, ta có f(0) = 0 nên

Với mọi 0 < x < +∞.

Bài 1.8 trang 8 Sách bài tập Giải tích 12: Xác định giá trị của b để hàm số f(x) = sinx – bx + c nghịch biến trên toàn trục số.

Lời giải:

f(x) = sinx – bx + c nghịch biến trên R nếu ta có:

f′(x) = cosx – b ≤ 0, ∀ x ∈ R.

Vì |cosx| ≤ 1| nên f′(x) ≤ 0, ∀ x ∈ R ⇔ b ≥ 1.

Bài tập trắc nghiệm trang 8, 9 Sách bài tập Giải tích 12:

Bài 1.9: Khẳng định nào sau đây đúng?

A. y = sin3x là hàm số chẵn

B. Hàm số xác định trên R

C. Hàm số y = x3 + 4x – 5 đồng biến trên R

D. Hàm số y = sinx + 3x – 1 nghịch biến trên R

Bài 1.10: Hàm số nghịch biến trên khoảng:

A. (-∞; 0)              B. (-5; 0)

C. (0; 5)              D. (5; +∞)

Bài 1.11: Hàm số đồng biến trên khoảng:

A. (4; +∞)              B. (-4; 4)

C. (-∞; -4)              D. R

Bài 1.12: Phương trình nào sau đây có nghiệm duy nhất trên R?

A. 3sin2x – cos2x + 5 = 0              B. x2 + 5x + 6 = 0

C. x5 + x3 – 7 = 0              D. 3tanx – 4 = 0

Bài 1.13: Phương trình nào sau đây có nghiệm duy nhất trên R?

A. x2 – 7x + 12 = 0              B. x3 + 5x + 6 = 0

C. x4 – 3x2 + 1 = 0              D. 2sinx.cos2x – 2sinx – cos2x + 1 = 0

Bài 1.14: Phương trình nào sau đây có nghiệm duy nhất trên R?

A. (x – 5)(x2 – x – 12) = 0              B. -x3 + x2 – 3x + 2 = 0

C. sin2x – 5sinx + 4 = 0              D. sinx – cosx + 1 = 0

Bài 1.15: Tìm giá trị của tham số m để các hàm số y = x3 – 2mx2 + 12x – 7 đồng biến trên R.

A. m = 4              B. m ∈ (0; ∞)

C. m ∈ (-∞; 0)              D. -3 ≤ m ≤ 3

Bài 1.16: Tìm giá trị của tham số m để hàm số y nghịch biến trên từng khoảng xác định

A. m < 1 hoặc m > 4              B. 0 < m < 1

C. m > 4              D. 1 ≤ m ≤ 4

Lời giải:

Đáp án và hướng dẫn giải

Bài	1.9	1.10	1.11	1.12	1.13	1.14	1.15	1.16
Đáp án	C	C	B	C	B	B	D	A

Bài 1.9: Đáp án: C.

Vì y’ = 3x2 + 4 > 0, ∀x ∈ R.

Bài 1.10: Đáp án: C.

Gợi ý: Loại A, D vì tập xác định của hàm số là 25 – x2 ≥ 0 ⇔ -5 ≤ x ≤ 5.

Loại B, vì

x	-5	0
y	0	5

Bài 1.11: Đáp án: B.

Vì

trên tập xác định (-4;4)

Bài 1.12: Đáp án: C

Vì f'(x) = (x5 + x3 – 7)’ = 5x4 + 3x2 ≥ 0, ∀x ∈ R (dấu “=” xảy ra ⇔ x = 0). Suy ra f(x) đồng biến trên R. Mặt khác f(0) = -7, f(2) = 32 + 8 – 7 = 33 > 0. Hàm f(x) liên tục trên đoạn [0;2] nên tồn tại x0 ∈ (0;2) để f(x0) = 0. Suy ra f(x) = 0 có nghiệm duy nhất trên R.

⇔ 3sin2x + sin2x + 4 = 4(sin2x + 1) = 0, vô nghiệm

Các phương trình x2 – 5x + 6 = 0 và 3tanx – 4 = 0 có nhiều hơn một nghiệm. Từ đó suy ra phương trình x5 + x3 – 7 = 0 có nghiệm duy nhất trên R.

Bài 1.13: Đáp án:B.

Với f(x) = x3 + 5x + 6 thì vì f'(x) = 3x2 + 5 > 0, ∀x ∈ R nên hàm số f(x) luôn đồng biến trên R. Mặt khác f(-1) = 0. Vậy phương trình f(x) = 0 có nghiệm duy nhất trên R.

Bài 1.14: Đáp án: B.

Các phương trình còn lại có nhiều hơn một nghiệm:

(x – 5)(x2 – x – 12) = 0 có các nghiệm x = 5, 4, -3.

sin2x – 5sinx + 4 = 0 ⇔ sinx = 1, có vô số nghiệm

sinx – cosx + 1 = 0 có các nghiệm x = 0, x = 3π/2.

Bài 1.15: Đáp án: D.

Hàm số đồng biến trên tập xác định R khi và chỉ khi

y’ = 3x2 – 4mx + 12 ≥ 0, ∀x ⇔ Δ’ = 4m2 – 36 ≤ 0 ⇔ -3 ≤ m ≤ 3.

Bài 1.16: Đáp án: A.

Hàm số nghịch biến trên từng khoảng (-∞; -m), (-m; +∞) khi và chỉ khi

⇔ -m2 + 5m – 4 < 0

⇔

 

Bài giải này có hữu ích với bạn không?

Bấm vào một ngôi sao để đánh giá!

Action: Post ID: Post Nonce: ☆ ☆ ☆ ☆ ☆ Processing your rating... Đánh giá trung bình {{avgRating}} / 5. Số lượt đánh giá: {{voteCount}} {{successMsg}} {{#errorMsg}} {{.}} {{/errorMsg}} There was an error rating this post!

Đánh giá trung bình 4 / 5. Số lượt đánh giá: 950

Chưa có ai đánh giá! Hãy là người đầu tiên đánh giá bài này.