Bài 2: Ánh Xạ - HOC247

YOMEDIA NONE Trang chủ Toán cao cấp Chương 0: Tập hợp - Ánh xạ Bài 2: Ánh xạ ADMICRO Lý thuyết 0 FAQ

Nội dung bài giảng Bài 2: Ánh xạ sau đây sẽ giúp các bạn tìm hiểu về định nghĩa, nghịch ảnh, toàn ánh, đơn ánh, song ánh, ảnh xạ ngược, ảnh xạ hợp. Mời các bạn cùng tham khảo!

ATNETWORK YOMEDIA

1. Định nghĩa

2. Nghịch ảnh: (ảnh ngược, tiền ảnh)

3. Toàn ánh

4. Đơn ánh

5. Song ánh

6. Ảnh xạ ngược

7. Ảnh xạ hợp: (Ánh xạ tích)

8. Định nghĩa

Tóm tắt lý thuyết

1. Định nghĩa

Cho hai tập hợp \(X,Y \ne \emptyset\), một phép liên kết f tương ứng mỗi phần tử x \(\in\) X với duy nhất phần tử y \(\in\) Y được gọi là một ánh xạ từ X vào Y.

Ký hiệu: f : X → Y

\(x\, \mapsto y = f(x)\)

Khi đó X gọi là tập hợp nguồn (miền xác định) và Y gọi là tập hợp đích (miền ảnh).

Nhận xét : f : X → Y là một ánh xạ nếu mọi phần tử của X đều có ảnh duy nhất (\(\in\) Y)

Ánh xạ f : X → R với \(X \subset R\) được gọi là một hàm số thực với biến số thực số thực.

2. Nghịch ảnh: (ảnh ngược, tiền ảnh)

Cho ánh xạ f : X → Y

\(A \subset X\), ảnh của tập A là \(f(A) = \left\{ {f(x) \in Y\left| {x \in A} \right.} \right\}\)

Ảnh ngược của \(B \subset Y\) là \({f^{ - 1}}(B) = \left\{ {x \in X\left| {f(x)} \right. \in B} \right\}\)

Đặc biệt khi \(B = \left\{ y \right\} \subset Y\) ta viết \({f^{ - 1}}(\{ y\} ) = {f^{ - 1}}(y) = \left\{ {x \in X\left| {f(x) = y} \right.} \right\}\)

\(x \in {f^{ - 1}}(y)\) được gọi là ảnh ngược của y

Ví dụ: Cho f : R → R, f(x) = x2 và B = {-5, 2, 4, 9, 0}

Thì

\(\begin{array}{l} {f^{ - 1}}\left( B \right) = {\rm{ }}\left\{ { \pm \sqrt 2 , \pm 2, \pm 3,0} \right\}\\ {f^{ - 1}}\left( {169} \right) = \left\{ { \pm 13} \right\};{f^{ - 1}}\left( { - 3} \right) = {\rm{ }}\emptyset \\ {f^{ - 1}}\left( 2 \right) = \left\{ { \pm \sqrt 2 } \right\};{f^{ - 1}}\left( { - 5} \right) = \emptyset \end{array}\)

3. Toàn ánh:

Cho ánh xạ f : X→ Y, ta nói f là toàn ánh khi và chỉ khi f(X) = Y.

Ta có:

\(f(X) = Y \Leftrightarrow \forall y \in Y,\exists \in X:f(x) = y\)

\(\Leftrightarrow \forall y \in Y\), phương trình y = f(x) có ít nhất một nghiệm.

\( \Leftrightarrow \forall y \in Y,{f^{ - 1}}(y) \ne \emptyset\)

Ví dụ:

i) f : R → R, f(x) =x2 không là toàn ánh vì \({f^{ - 1}}( - 2) = \emptyset\) (phương trình x2 = 2 : vô nghiệm)

ii) f : R → R+, f(x) = x2 là toàn ánh vì \(\forall y \in {R^ + }\), phương trình f(x) = y ⇔ Z2 = y luôn có nghiệm \(x = \pm \sqrt y\)

Nhận xét: Giả sử f : X → Y là toàn ánh và X, Y là tập hợp hữu hạn thì card X > card Y.

4. Đơn ánh

Cho ánh xạ f: X → Y.

f là đơn ánh \(\forall {x_1},{x_2} \in X\,va\,{x_1} \ne {x_2} \Rightarrow f({x_1}) \ne f({x_2})\)

Ta có: f là đơn ánh

“\( \Leftrightarrow \forall {x_1},{x_2} \in X\) và f(x1) = f(x2) ⇒ x1 = x2”

\(\Leftrightarrow \forall y \in Y\), phương trình y = f(x) có nhiều nhất là một nghiệm”

\(\Leftrightarrow \forall y \in Y,{f^{ - 1}}(y) = \emptyset\) hay \({f^{ - 1}}(y)\) có đúng một phần tử”

Ví dụ:

f : R → R , f(x) = x2 không là đơn ánh vì f(-2) = f(2) = 4

f : R+ → R hay R- → R, f(x) = x2 là đơn ánh

f : R → R, \(f(x) = \frac{{3x - 5}}{7}\) là đơn ánh vì

\(\begin{array}{l} \forall {x_1}{x_2} \in R\,\,va\,\,f({x_1}) = f({x_2})\\ \Leftrightarrow \frac{{3{x_1} - 5}}{7} = \frac{{3{x_2} - 5}}{7} \Leftrightarrow {x_1} = {x_2} \end{array}\)

5. Song ánh:

Cho ánh xạ f: X → Y.

f là song ánh ⇔ f là đơn ánh và f là toàn ánh.

Ta có: f là song ánh

\(\Leftrightarrow \forall y \in Y\), phương trình f(x) = y có duy nhất nghiệm

\(\Leftrightarrow \forall y \in Y,{f^{ - 1}}(y)\) có duy nhất một phần tử.

Ví dụ:

\(f:R \to R;\,f(x) = \frac{{3x - 5}}{7}\) là song ánh vì \(\forall y \in R\), phương trình \(y = \frac{{3x - 5}}{7}\) có nghiệm duy nhất \(x = \frac{{7x + 5}}{3}\)

6. Ảnh xạ ngược:

Nếu f : X → Y là song ánh \(x \mapsto f(x)\) thì ánh xạ sau được gọi là ánh xạ ngược của f :

\(\begin{array}{l} {f^{ - 1}}:Y \to X\\ y = f(x) \mapsto x = {f^{ - 1}}(y) \end{array}\)

Ví dụ:

\(\begin{array}{l} f:{R^ + } \to {R^ + },f(x) = {x^2}\\ (y = {x^2} \Leftrightarrow x = \sqrt y ,x,y \ge 0)\\ {f^{ - 1}}(y) = \sqrt y (x,y \ge 0)\,\,hay\,{f^{ - 1}}(x) = \sqrt x \, \end{array} \)

Ví dụ:

\(\begin{array}{l} f:{R^ - } \to {R^ + },f(x) = {x^2}\\ {f^{ - 1}}(y) = - \sqrt y \,\,hay\,{f^{ - 1}}(x) = - \sqrt x \, \end{array}\)

Ví dụ:

\(\begin{array}{l} f:R \to {R^ + }\backslash \{ 0\} ;f(x) = {3^x}\\ {f^{ - 1}}:{R^ + }\backslash \{ 0\} \to R\,\,hay\,{f^{ - 1}}(x) = {\log _3}x \end{array} \)

7. Ảnh xạ hợp: (Ánh xạ tích)

Cho hai ánh xạ f : X → Y và g: Y → Z.

Ánh xạ h : X → Z được định nghĩa h(x) = g[f(x)], \(\forall x \in X\)

Ký hiệu: h = gof được gọi là ánh xạ hợp (ánh xạ tích) của f và g.

Ví dụ:

\(\begin{array}{l} f:R \to [5; + \infty ),f(x) = {x^2} + 5\\ g:\,[5; + \infty ) \to {R^ - },\,g(x) = - \sqrt {x + 2} \end{array}\)

Thì \({g_o}f(x) = g({x^2} + 5) = - \sqrt {({x^2} + 5) + 2} = - \sqrt {{x^2} + 7}\)

Ví dụ: \(f,g:R \to R;f(x) = 3{x^2} - x;\,\,g(x) = \frac{{2x + 5}}{4}\)

Thì

\({g_o}f(x) = g(3{x^2} - x) = \frac{{2(3{x^2} - x) + 5}}{4} = \frac{{6{x^2} - 2x + 5}}{4}\)

\({f_o}g(x) = f\left( {\frac{{2x + 5}}{4}} \right) = 3{\left( {\frac{{2x + 5}}{4}} \right)^2} - \frac{{2x + 5}}{4} = \frac{{12{x^2} + 52x + 55}}{{16}}\)

Nhận xét:

• Thông thường, \({g_o}f \ne {f_o}g\)
• \({\left( {{g_o}f} \right)^{ - 1}} = {f^{ - 1}}_o{g^{ - 1}}\) (giả sử f, g là song ánh)
• \({f^{ - 1}}_o{f^{ - 1}}(y) = y,\forall y \in Y\) (f:X → Y là song ánh)
• \({f^{ - 1}}_o{f^{ - 1}}(x) = x,\forall x \in X\) (f:X → Y là song ánh)
• Giả sử \({f_o}({g_o}h)\) tồn tại, ta có: \({({f_o}g)_o}h = {f_o}({g_o}h)\)

8. Định nghĩa

• Một tập A được nói là hữu hạn và có n phần tử nếu tồn tại một song ánh giữa A và tập con {1, 2, 3,..., n} của N . Khi đó, ta viết: CardA = n hay |A| = n.
• Nếu tập A không hữu hạn, ta nói A vô hạn.
• Hai tập A và B được nói là đồng lực lượng nếu tồn tại một song ánh từ A vào B.
• Một tập A được nói là đếm được nếu tồn tại một song ánh giữa A và tập con N của N . Khi đó, nếu N = N thì ta nói A là tập vô hạn đếm được. Nói cách khác, ta nói A là tập vô hạn đếm được nếu tồn tại một song ánh giữa A và tập N .

NONE

Bài học cùng chương

Bài 1: Tập hợp ADSENSE ADMICRO Bộ đề thi nổi bật UREKA AANETWORK

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH ĐẠI HỌC

Môn học

Triết học

Lịch Sử Đảng

Tư Tưởng Hồ Chí Minh

Kinh Tế Vi Mô

Kinh Tế Vĩ Mô

Toán Cao Cấp

LT Xác suất & Thống kê

Đại Số Tuyến Tính

Tâm Lý Học Đại Cương

Tin Học Đại Cương

Kế Toán Đại Cương

Pháp Luật Đại Cương

Marketing Căn Bản

Lý Thuyết Tài Chính Tiền Tệ

Xã Hội Học Đại Cương

Logic Học

Lịch Sử Văn Minh Thế Giới

Cơ Sở Văn Hóa VN

Trắc nghiệm

Trắc nghiệm Triết học

Trắc nghiệm Lịch Sử Đảng

Trắc nghiệm Tư Tưởng Hồ Chí Minh

Trắc nghiệm Kinh Tế Vi Mô

Trắc nghiệm Kinh Tế Vĩ Mô

Bài tập Toán Cao Cấp

Bài tập LT Xác suất & Thống kê

Bài tập Đại Số Tuyến Tính

Trắc nghiệm Tâm Lý Học Đại Cương

Trắc nghiệm Tin Học Đại Cương

Trắc nghiệm Kế Toán Đại Cương

Trắc nghiệm Pháp Luật Đại Cương

Trắc nghiệm Marketing Căn Bản

Trắc nghiệm Lý Thuyết Tài Chính Tiền Tệ

Trắc nghiệm Xã Hội Học Đại Cương

Trắc nghiệm Logic Học

Trắc nghiệm Lịch Sử Văn Minh Thế Giới

Trắc nghiệm Cơ Sở Văn Hóa VN

Tài liệu - Giáo trình

Lý luận chính trị

Khoa học tự nhiên

Khoa học xã hội

Kinh tế - Tài chính

Kỹ thuật - Công nghệ

Cộng nghệ thông tin

Tiếng Anh - Ngoại ngữ

Luận văn - Báo cáo

Kiến trúc - Xây dựng

Kỹ năng mềm

Y tế - Sức khoẻ

Biểu mẫu - Văn bản

YOMEDIA YOMEDIA ×

Thông báo

Bạn vui lòng đăng nhập trước khi sử dụng chức năng này.

Bỏ qua Đăng nhập ×

Thông báo

Bạn vui lòng đăng nhập trước khi sử dụng chức năng này.

Đồng ý ATNETWORK ON QC Bỏ qua >>