Bài 2: CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC & PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

• Home
• Forums New posts Search forums
• Lớp 12 Vật Lí 12
• What's new Featured content New posts New profile posts Latest activity
• Members Current visitors New profile posts Search profile posts

Đăng nhập Có gì mới? Tìm kiếm

Tìm kiếm

Everywhere Threads This forum This thread Chỉ tìm trong tiêu đề Note By: Search Tìm nâng cao…

• New posts
• Search forums

Menu Đăng nhập Install the app Install How to install the app on iOS

Follow along with the video below to see how to install our site as a web app on your home screen.

Note: This feature may not be available in some browsers.

• Home
• Forums
• Toán Học
• Đại Số
• Chủ đề 4. SỐ PHỨC
• Bài 1. Các dạng toán liên quan đến số phức

You are using an out of date browser. It may not display this or other websites correctly.You should upgrade or use an alternative browser. Bài 2: CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC & PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

• Thread starter Thread starter Doremon
• Ngày gửi Ngày gửi 6/12/14

Doremon

Moderator

Thành viên BQT I. LÝ THUYẾT 1. Căn bậc hai của số phức: Cho số phức w, mỗi số phức z = a + bi thoả ${z^2}$= w được gọi là căn bậc hai của w.

• w là số thực: w = $a \in R$
• a = 0: Căn bậc hai của 0 là 0
• a > 0: Có hai căn bậc hai đối nhau là $\sqrt a $ và - $\sqrt a $
• a < 0: Có hai căn bậc hai đối nhau là $\sqrt {\left| a \right|} .i$ và – $\sqrt {\left| a \right|} .i$
• w là số phức: w = a + bi (a, b $ \in R$, b ¹ 0) và z = x + y.i là 1 căn bậc hai của w khi ${z^2} = w \Leftrightarrow {(x + yi)^2} = a + bi \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - {y^2} = a\\2xy = b\end{array} \right.$
• Mỗi số phức đều có hai căn bậc hai đối nhau.
• VD: Tính căn bậc hai của w = –3 + 4i.

ĐS: có 2 căn bậc hai của w là ${z_1}$= 1 + 2i, ${z_2}$= –1 – 2i. 2. Phương trình bậc hai: a) Phương trình bậc hai với hệ số a, b, c là số thực: $a{x^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0),\,\,\,\,\,\,\,\,\Delta = {b^2} - 4ac$.

• D ³ 0: Phương trình có 2 nghiệm thực ${x_{1,2}} = \frac{{ - b \pm \sqrt \Delta }}{{2a}}$
• D < 0: Phương trình có 2 nghiệm phức ${x_{1,2}} = \frac{{ - b \pm \sqrt {|\Delta |} .i}}{{2a}}$

VD: Giải phương trình ${x^3} + 8 = 0$ ĐS: Phương trình có 3 nghiệm ${x_1} = 1 + \sqrt 3 .i,\,\,\,\,{x_2} = 1 - \sqrt 3 .i,\,\,\,{x_3} = - 2$ b) Phương trình bậc hai với hệ số phức: $A{x^2} + Bx + C = 0\,\,(A \ne 0),\,\,\,\,\,\,\,\,\Delta = {B^2} - 4AC,\,\,\Delta = a + bi$

• Δ= 0: Phương trình có nghiệm kép $x = \frac{{ - B}}{{2A}}$
• Δ¹ 0: Phương trình có 2 nghiệm ${x_{1,2}} = \frac{{ - B \pm \delta }}{{2A}}$ với $\delta $ là 1 căn bậc hai của D.

VD: Giải phương trình: a) ${\rm{2}}{z^2} - iz + 1 = 0$; b) ${z^2} + (3 - 2i)z + 5 - 5i = 0$; Giải​a) ${\rm{2}}{z^2} - iz + 1 = 0$ có D = –1 – 8 = – 9 = ${(3i)^2}$. Phương trình có 2 nghiệm phức ${z_1} = \frac{{i + 3i}}{4} = i;\,{z_2} = \frac{{i - 3i}}{4} = - \frac{1}{2}i$ b) ${z^2} + (3 - 2i)z + 5 - 5i = 0$ có D = ${(3 - 2i)^2} - 4(5 - 5i) = 9 - 12i + 4{i^2} - 20 + 20i = - 15 + 8i$= ${(1 + 4i)^2}$ Phương trình có 2 nghiệm phức ${z_1} = \frac{{ - 3 + 2i + 1 + 4i}}{2} = - 1 + 3i$; ${z_2} = \frac{{ - 3 + 2i - 1 - 4i}}{2} = - 2 – i$ B. BÀI TẬP ÁP DỤNG 1) Giải các phương trình sau trên tập phức: a) $ - 3{z^2} + 2z - 1 = 0$ b) $7{z^2} + 3z + 2 = 0$; c) $5{z^2} - 7z + 11 = 0$ Hướng dẫn​a) $\frac{{1 \pm i\sqrt 2 }}{3}$ b) $\frac{{ - 3 \pm i\sqrt {47} }}{{14}}$ c) $\frac{{7 \pm i\sqrt {171} }}{{10}}$ 2) Giải các phương trình sau trên tập phức: a) ${z^4} + {z^2} - 6 = 0$ b) b) ${z^4} + 7{z^2} + 10 = 0$ Hướng dẫn​a) $ \pm \sqrt 2 ;\, \pm i\sqrt 3 $ b) $ \pm i\sqrt 2 ;\,\, \pm i\sqrt 5 $ 3) Cho a, b, c Î R, a ¹ 0, ${z_1},\,{z_2}$ là hai nghiệm phương trình $a{z^2} + bz + c = 0$. Hãy tính ${z_1} + {z_2}$ và ${z_1}{z_2}$ theo các hệ số a, b, c. Hướng dẫn​${z_1} + {z_2} = - \frac{b}{a};\,{z_1}{z_2} = \frac{c}{a}$ 4) Cho z = a + bi là một số phức. Hãy tìm một phương trình bậc hai với hệ số thực nhận z, $\bar z$ làm nghiệm. Hướng dẫn​Phương trình ẩn x nhận z, $\bar z$ làm nghiệm nên có (x – z)(x –$\bar z$) = 0 ↔ ${x^2} - (z + \bar z)x + z\bar z = 0$. Với z + $\bar z$= 2a, z$\bar z$= ${a^2} + {b^2}$. Vậy phương trình đó là ${x^2} - 2ax + {a^2} + {b^2} = 0$ 5) Chứng minh rằng nếu z là một căn bậc hai của w thì $\left| z \right| = \sqrt {\left| w \right|} $ Hướng dẫn​z = a + bi là một căn bậc hai của w →${z^2} = w \Leftrightarrow \left| {{z^2}} \right| = \left| w \right| \Leftrightarrow {\left| z \right|^2} = \left| w \right| \Leftrightarrow \left| z \right| = \sqrt {\left| w \right|} $ VD: $3 - 4i = {\left( {2 - i} \right)^2}$ tức z = 2 - i là một căn bậc hai của w = 3 – 4i thì $\left| z \right| = \sqrt {\left| w \right|} $ 6) Tìm nghiệm phức của các phương trình sau: a) ${z^2} = z + 1$ b) ${z^2} + 2z + 5 = 0$ c) ${z^2} + (1 - 3i)z - 2(1 + i) = 0$ Hướng dẫn:​a) ${z^2} - 2.z.\frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{5}{4} \Leftrightarrow {\left( {z - \frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{5}{4} \Leftrightarrow z = \frac{1}{2} \pm \frac{{\sqrt 5 }}{2}$ b) ${z^2} + 2z + 5 = 0 \Leftrightarrow {\left( {z + 1} \right)^2} = - 4 \Leftrightarrow {\left( {z + 1} \right)^2} = {\left( {2i} \right)^2} \Leftrightarrow z + 1 = \pm 2i \Leftrightarrow z = - 1 \pm 2i$ c) $\Delta = {\left( {1 - 3i} \right)^2} + 8\left( {1 + i} \right) = 2i = {\left( {1 + i} \right)^2}$ Phương trình có hai nghiệm phức là ${z_1} = 2i;\,\,\,{z_2} = - 1 + i$. 7) a) Hỏi công thức Viét về phương trình bậc hai với hệ số thực có đúng cho phương trình bậc hai với hệ số phức không? Vì sao? b) Tìm hai số phức, biết tổng của chúng bằng 4 – i và tích của chúng bằng 5(1 – i). c) Có phải mọi phương trình bậc hai (B, C là hai số phức) nhận hai nghiệm là hai số phức liên hợp không thực phải có các hệ số B, C là hai số thực? Vì sao? Điều ngược lại có đúng không? Hướng dẫn​a) Hai nghiệm của phương trình bậc hai hệ số phức là ${z_{1,2}} = \frac{{ - B \pm \delta }}{{2A}}\,\,\left( {{\delta ^2} = \Delta = {B^2} - 4AC} \right)$ nên ${z_1} + {z_2} = - \frac{B}{A};\,\,\,{z_1}{z_2} = \frac{C}{A}$. b) Hai số cần tìm là nghiệm phương trình ${z^2} - \left( {4 - i} \right)z + 5\left( {1 - i} \right) = 0$ Có $\Delta = - 5 + 12i = {\left( {2 - 3i} \right)^2}$ nên hai số cần tìm là ${z_1} = 3 + i;\,\,{z_2} = 1 - 2i$. c) Phương trình ${z^2} + Bz + C = 0$ có hai nghiệm là $z = a + bi;\,\,\,\bar z = a - bi$ thì $B = - \left( {z + \bar z} \right) = - 2a$ là số thực và $C = z.\bar z = {a^2} + {b^2}$ là số thực. Điều ngược lại không đúng. 8) a) Giải phương trình sau: $\left( {{z^2} + i} \right)\left( {{z^2} - 2iz - 1} \right) = 0$ b) Tìm số phức B để phương trình ${z^2} + Bz + 3i = 0$ có tổng bình phương hai nghiệm bằng 8. Hướng dẫn​a) $\left( {{z^2} + i} \right){\left( {z - i} \right)^2} = 0$ có 3 nghiệm là $\frac{{\sqrt 2 }}{2} - \frac{{\sqrt 2 }}{2}i;\,\,\,\, - \frac{{\sqrt 2 }}{2} + \frac{{\sqrt 2 }}{2}i;\,\,\,\,\,\,i$. b) Ta có ${z_1} + {z_2} = - B;\,\,\,{z_1}.{z_2} = 3i$ nên $\begin{array}{l} z_1^2 + z_2^2 = 8 \Leftrightarrow {\left( {{z_1} + {z_2}} \right)^2} - 2{z_1}{z_2} = 8 \Leftrightarrow {B^2} - 6i = 8\\ \Leftrightarrow {B^2} = {\left( {3 + i} \right)^2} \Leftrightarrow B = \pm \left( {3 + i} \right) \end{array}$ 9) Tìm nghiệm của phương trình $z + \frac{1}{z} = k$ trong các trường hợp sau: a) k = 1; b) k = √2; c) k = 2i. Hướng dẫn​$z + \frac{1}{z} = k \Leftrightarrow {z^2} - kz + 1 = 0$ có 2 nghiệm ${z_{1,2}} = \frac{{k \pm \delta }}{2}\,\,\,\left( {{\delta ^2} = \Delta = {k^2} - 4} \right)$ a) k = 1 thì ${z_{1,2}} = \frac{1}{2} \pm \frac{{\sqrt 3 }}{2}i\,\,$ b) k = √2 thì ${z_{1,2}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \pm \frac{{\sqrt 2 }}{2}i\,\,$ c) $k = 2i \Rightarrow {z_{1,2}} = \left( {1 \pm \sqrt 2 } \right)i\,\,$ 10) Giải phương trình và biểu diễn tập nghiệm trên mặt phẳng phức mỗi phương trình sau: a) ${z^3} + 1 = 0$; b) ${z^4} - 1 = 0$; c) ${z^4} + 4 = 0$; d) $8{z^4} + 8{z^3} = z + 1$ Hướng dẫn​a) ${z^3} + 1 = 0 \Leftrightarrow \left( {z + 1} \right)\left( {{z^2} - z + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow z = - 1,\,\,\,z = \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i,\,\,z = \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i$. b) ${z^4} - 1 = 0 \Leftrightarrow {z^4} = 1 \Leftrightarrow {z^2} = \pm 1 \Leftrightarrow z = \pm 1\,,\,\,z = \pm i$ c) ${z^4} + 4 = 0 \Leftrightarrow {z^4} = - 4 \Leftrightarrow {z^2} = \pm 2i \Leftrightarrow z = \pm \left( {1 - i} \right),\,\,z = \pm \left( {1 + i} \right)$ d) $\left( {z + 1} \right)\left( {8{z^3} - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {z + 1} \right)\left( {2z - 1} \right)\left( {4{z^2} + 2z + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow z = - 1,\,z = \frac{1}{2},\,z = - \frac{1}{4} \pm \frac{{\sqrt 3 }}{4}i$ You must log in or register to reply here. Share: Bluesky LinkedIn Reddit Pinterest Tumblr WhatsApp Email Share Link

Trending content

• Thread 'Dạng toán 1. Xác định miền nghiệm của bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.'
  • Tăng Giáp
  • 8/12/18
  Trả lời: 0
• Thread 'Cách giải phương trình bậc 3 tổng quát'
  • Tăng Giáp
  • 7/12/18
  Trả lời: 1
• Thread 'Công thức giải nhanh vật lý phần dao động cơ'
  • Tăng Giáp
  • 10/4/15
  Trả lời: 6
• Thread 'Công thức giải nhanh cấp số cộng và cấp số nhân'
  • Tăng Giáp
  • 5/10/17
  Trả lời: 18
• H Thread 'Cực đại và cực tiểu của hàm số'
  • Huy Hoàng
  • 22/2/16
  Trả lời: 179
• Thread 'Các bước khảo sát hàm bậc nhất trên bậc nhất'
  • Doremon
  • 3/12/14
  Trả lời: 6
• Thread 'Bài tập trắc nghiệm hình chóp'
  • Minh Toán
  • 10/11/17
  Trả lời: 148
• Thread 'Trường THPT Chuyên Sư Phạm Hà Nội lần 2'
  • Tăng Giáp
  • 2/3/17
  Trả lời: 0
• V Thread 'Bài 2. CHUYỂN ĐỘNG THẲNG ĐỀU'
  • Vật Lí
  • 19/9/16
  Trả lời: 98
• Thread 'Giải phương trình logarit'
  • Doremon
  • 2/12/14
  Trả lời: 96

Latest posts

• Sóng dừng
  • Latest: Tăng Giáp
  • 2/12/25
  Sóng cơ
• Giao Thoa Sóng Cơ
  • Latest: Tăng Giáp
  • 2/12/25
  Sóng cơ
• Sóng điện từ
  • Latest: Tăng Giáp
  • 2/12/25
  Bài 22: Sóng điện từ
• Sóng ngang. Sóng dọc. Sự truyền năng lượng của sóng cơ
  • Latest: Tăng Giáp
  • 2/12/25
  Sóng cơ
• Mô tả sóng
  • Latest: Tăng Giáp
  • 2/12/25
  Sóng cơ
• Dao động tắt dần - dao động cưỡng bức
  • Latest: Tăng Giáp
  • 2/12/25
  Dao động cơ
• Động năng. Thế năng. Sự chuyển hoá năng lượng trong dao động điều hoà
  • Latest: Tăng Giáp
  • 2/12/25
  Dao động cơ
• Bài 5. Điện thế
  • Latest: Tăng Giáp
  • 25/11/25
  Chương 1. Điện tích - Điện trường
• Bài 6. Tụ Điện
  • Latest: Tăng Giáp
  • 25/11/25
  Chương 1. Điện tích - Điện trường
• Cách giải phương trình bậc 3 tổng quát
  • Latest: Tăng Giáp
  • 22/11/25
  Bài 01. Phương trình

Members online

No members online now. Total: 17 (members: 0, guests: 17)

Share this page

Bluesky LinkedIn Reddit Pinterest Tumblr WhatsApp Email Share Link

• Home
• Forums
• Toán Học
• Đại Số
• Chủ đề 4. SỐ PHỨC
• Bài 1. Các dạng toán liên quan đến số phức

Back Top