Bài 2. Dãy Số - Củng Cố Kiến Thức

I. Định nghĩa

1. Định nghĩa dãy số

Mỗi hàm số u xác định trên tập số nguyên dương N* được được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số). Kí hiệu:

$\begin{array}{l} u:{N^*} \to R\\ n \mapsto u\left( n \right) \end{array}$

2. Định nghĩa dãy số hữu hạn

Mỗi hàm số u xác định trên tập $M = \left\{ {11,2,3,...,m} \right\}$ với $m \in {N^*}$ được gọi là một dãy số hữu hạn.

II. Cách cho một dãy số

1. Dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát

Khi đó ${u_n} = f\left( n \right)$, trong đó $f$ là một hàm số xác định trên N*.

Đây là cách khá thông dụng (giống như hàm số) và nếu biết giá trị của n (hay cũng chính là số thứ tự của số hạng) thì ta có thể tính ngay được ${u_n}$.

2. Dãy số cho bằng phương pháp mô tả

Người ta cho một mệnh đề mô tả cách xác định các số hạng liên tiếp của dãy số. Tuy nhiên, không thể tìm ngay được ${u_n}$ với n tùy ý.

3. Dãy số cho bằng công thức truy hồi

* Cho số hạng thứ nhất ${{u_1}}$ (hoặc một vài số hạng đầu).

* Với $n \ge 2$, cho một công thức tính ${u_n}$ nếu biết ${u_{n - 1}}$ (hoặc một vài số hạng đứng ngay trước nó). Các công thức có thể là:

$\left\{ \begin{array}{l} {u_1} = a\\ {u_n} = {f_{\left( {{u_{n + 1}}} \right)}},n \ge 2 \end{array} \right.$

Hoặc:

$\left\{ \begin{array}{l} {u_1} = a,{u_2} = b\\ {u_n} = {f_{\left( {{u_{n - 1}},{u_{n - 2}}} \right)}},n \ge 3 \end{array} \right.$

III. Biểu diễn hình học của dãy số

Vì dãy số là một hàm số trên N* nên ta có thể biểu diễn dãy số bằng đồ thị. Khi đó trong mặt phẳng tọa độ, dãy số được biểu diễn bằng các điểm có tọa độ $$.

IV. Dãy số tăng, dãy số giảm và dãy số bị chặn

1. Dãy số tăng, dãy số giảm

* Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ được gọi là tăng nếu ${{u_{n + 1}} > {u_n}}$ với mọi $n \in {N^*}$.

* Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ được gọi là giảm nếu ${{u_{n + 1}} < {u_n}}$ với mọi $n \in {N^*}$.

Phương pháp khảo sát tính đơn điệu

Phương pháp 1: Xét hiệu ${{u_{n + 1}} - {u_n}}$

- Nếu H > 0 với mọi $n \in {N^*}$ thì dãy số tăng;

- Nếu H < 0 với mọi $n \in {N^*}$ thì dãy số giảm;

Phương pháp 2:

Nếu ${u_n} > 0$ thì lập tỉ số $P = \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}$, rồi so sánh với 1.

- Nếu P > 1 với mọi $n \in {N^*}$ thì dãy số tăng;

- Nếu P < 1 với mọi $n \in {N^*}$ thì dãy số giảm;

2. Dãy số bị chặn

- Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho:

${u_n} \le M,\forall n \in {N^*}$

- Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại số m sao cho:

${u_n} \ge m,\forall n \in {N^*}$

- Dãy số được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại số m, M sao cho:

$m \le {u_n} \le M,\forall n \in {N^*}$