Bài 2. Giới Hạn Của Hàm Số - Củng Cố Kiến Thức

I. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm

1. Định nghĩa

Cho khoảng K chứa điểm ${x_o}$ và hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định trên K hoặc $K\backslash \left\{ {{x_o}} \right\}$.

Ta nói hàm số $y = f\left( x \right)$ có giới hạn là số L khi x dần tới ${x_o}$ nếu với dãy số $\left( {{x_n}} \right)$ bất kì, ${x_n} \to {x_0}$, ta có $f\left( {{x_n}} \right) \to L$.

Kí hiệu: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_o}} f\left( x \right) = L$ hay $f\left( x \right) = L$ khi $x \to {x_o}$.

2. Định lí về giới hạn hữu hạn

* Định lí 1

a) Giả sử $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_o}} f\left( x \right) = L$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_o}} g\left( x \right) = M$. Khi đó:

$\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_o}} \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right] = L + M\\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_o}} \left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right] = L - M\\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_o}} \left[ {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right] = L.M\\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_o}} \left[ {\frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}} \right] = \frac{L}{M}\left( {M \ne 0} \right) \end{array}$.

b) Nếu ${f\left( x \right) \ge 0}$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_o}} f\left( x \right) = L$, thì:

$L \ge 0$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_o}} \sqrt {f\left( x \right)} = \sqrt L $

(Dấu của $f\left( x \right)$ được xét trên khoảng đang tìm giới hạn, với $x \ne {x_o}$).

3, Giới hạn một bên

* Định nghĩa

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định trên khoảng $\left( {{x_o};b} \right)$.

Số L được gọi là giới hạn bên phải của hàm số $y = f\left( x \right)$ khi $x \to {x_o}$ nếu với dãy số $\left( {{x_n}} \right)$ bất kì, ${x_0} < {x_n} < b$ và ${x_n} \to {x_0}$, ta có $f\left( {{x_n}} \right) \to L$.

Kí hiệu: $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = L$.

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định trên khoảng $\left( {a;{x_o}} \right)$.

Số L được gọi là giới hạn bên trái của hàm số $y = f\left( x \right)$ $x \to {x_o}$ nếu với dãy số $\left( {{x_n}} \right)$ bất kì, $a < {x_n} < {x_0}$ ${x_n} \to {x_0}$, ta có $f\left( {{x_n}} \right) \to L$..

Kí hiệu: $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = L$.

* Định lí 2

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L$ khi và chỉ khi $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = L$.

II. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực

* Định nghĩa

a) Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định trên khoảng $\left( {a; + \infty } \right)$.

Ta nói hàm số $y = f\left( x \right)$ có giới hạn là L khi $x \to + \infty $ nếu với dãy số $\left( {{x_n}} \right)$ bất kì, ${x_n} > a$ và ${x_n} \to + \infty $, ta có $f\left( {{x_n}} \right) \to L$.

Kí hiệu: $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = L$ hay $f\left( x \right) \to L$ khi $x \to + \infty $.

b) Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định trên khoảng $\left( { - \infty ;a} \right)$.

Ta nói hàm số $y = f\left( x \right)$ có giới hạn là L khi $x \to - \infty $ nếu với dãy số $\left( {{x_n}} \right)$ bất kì, ${x_n} < a$ và ${x_n} \to - \infty $, ta có $f\left( {{x_n}} \right) \to L$.

Kí hiệu: $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = L$ hay $f\left( x \right) \to L$ khi $x \to - \infty $.

III. Giới hạn vô cực của hàm số

1. Giới hạn vô cực

* Định nghĩa

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định trên khoảng $\left( {a; + \infty } \right)$.

Ta nói hàm số $y = f\left( x \right)$ có giới hạn là $ - \infty $ khi $x \to + \infty $ nếu với dãy số $\left( {{x_n}} \right)$ bất kì, ${x_n} > a$ và ${x_n} \to + \infty $, ta có $f\left( {{x_n}} \right) \to - \infty $.

Kí hiệu: $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = - \infty $ hay $f\left( x \right) \to - \infty $ khi $x \to + \infty $.

2. Một vài giới hạn đặc biệt

a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x^k} = + \infty $ với k nguyên dương.

b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^k} = - \infty $ nếu k là số lẻ.

c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^k} = + \infty $ nếu k là số chẵn.

3. Một vài quy tắc về giới hạn vô cực

a) Quy tắc tìm giới hạn của tích $f\left( x \right).g\left( x \right)$

b) Quy tắc tìm giới hạn của thương $\frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}$