Giới Hạn Của Hàm Số Là Gì? Lý Thuyết, Bài Tập Và Cách Giải

Định nghĩa giới hạn của hàm số là gì?

Lý thuyết giới hạn hàm số lớp 11

Dưới đây là lý thuyết về giới hạn hàm số 11 giúp các em có thể nắm bắt kiến thức:

Giới hạn hữu hạn là gì?

• Giới hạn đặc biệt

\(\lim_{x\rightarrow x_{0}}\, x = x_{0}\)

\(\lim_{x\rightarrow x_{0}}\, c = c\) (c: hằng số)

• Định lý

Giả sử:

\(\lim_{x\rightarrow x_{0}}\, f(x) = L,\, \lim_{x\rightarrow x_{0}} g(x) = M\) . Khi đó:

• \(\lim_{x\rightarrow x_{0}}\,\left | f(x) + g(x) \right | = L + M\)
• \(\lim_{x\rightarrow x_{0}}\,\left | f(x) – g(x) \right | = L - M\)
• \(\lim_{x\rightarrow x_{0}}\,\left | f(x).g(x) \right | = L.M\)
• \(\lim_{x\rightarrow x_{0}}\,\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L}{M},\, M\neq 0\)

Nếu \(f(x)\geq 0\) và \(\lim_{x\rightarrow x_{0}} f(x) = L\) thì \(L\geq 0\) và \(\lim_{x\rightarrow x_{0}}\sqrt{f(x)} = \sqrt{L}\)

Giới hạn một bên là gì?

• Số L là:

• • Giới hạn bên phải của hàm số \(y=f(x)\) kí hiệu là \(\lim_{x\rightarrow _{x_{0}}^{+}} f(x) = L\)
  • Giới hạn bên trái của hàm số \(y=f(x)\) kí hiệu là \(\lim_{x\rightarrow _{x_{0}}^{-}} f(x) = L\)

• Định lý: \(\lim_{x\rightarrow _{x_{0}}} f(x) = L \Leftrightarrow \lim_{x\rightarrow _{x_{0}}^{+}} f(x) = L = \lim_{x\rightarrow _{x_{0}}^{-}} f(x) = L\)

Giới hạn hữu hạn của hàm số vô cực

Hàm số \(y=f(x)\) có giới hạn là số L khi \(x\rightarrow +\infty\) (hoặc \(x\rightarrow -\infty\)) kí hiệu là: \(\lim_{x\rightarrow +\infty} f(x) = L\) (hoặc \(\lim_{x\rightarrow -\infty} f(x) = L\)

Với c,k là hằng số và k nguyên dương, ta luôn có:

\(\lim_{x\rightarrow \pm \infty} c = c\); \(\lim_{x\rightarrow \pm \infty} \frac{c}{x^{k}} = 0\)

Giới hạn vô cực của hàm số là gì?

• Giới hạn vô cực

Giới hạn của hàm số tại vô cực là gì?

Hàm số \(y=f(x) \) có giới hạn là \(±∞\) khi \(x→±∞\) kí hiệu là \(\lim_{x\rightarrow \pm \infty } f(x) = x = \pm \infty\)

\(\lim_{x\rightarrow +\infty } f(x) = +\infty \Leftrightarrow \lim_{x\rightarrow +\infty }\left | -f(x) \right | = -\infty\)

• Một số giới hạn đặc biệt:
  • \(\lim_{x\rightarrow +\infty } x^{k} = +\infty\) với k nguyên dương.
  • \(\lim_{x\rightarrow -\infty } x^{k} = +\infty\) nếu k chẵn và \(\lim_{x\rightarrow -\infty } x^{k} = -\infty\) nếu k lẻ.
  • \(\lim_{x\rightarrow \pm \infty } c = c\)
  • \(\lim_{x\rightarrow \pm \infty } \frac{c}{x^{k}} = 0\)
  • \(\lim_{x\rightarrow 0^{-} } \frac{1}{x} = -\infty\)
  • \(\lim_{x\rightarrow 0^{+} } \frac{1}{x} = +\infty\)
  • \(\lim_{x\rightarrow 0^{-} } \frac{1}{\left |x \right |} = \lim_{x\rightarrow 0^{+}} = +\infty\)

• Định lý

Ta có định lý:

Các công thức về giới hạn: \(\lim_{x\rightarrow \infty }(1+\frac{a}{x})^{x} = e^{a},\, (a\neq 0)\)

Khi a = 1 ta có:

\(\lim_{x\rightarrow \infty }(1+\frac{1}{x})^{x} = e (e = 2,71828)\)

\(\lim_{x\rightarrow 0 }\, \frac{sinx}{x} = 1\)

\(\lim_{x\rightarrow 0 }\, \frac{tanx}{x} = 1\)

\(\lim_{x\rightarrow 0 }\, \frac{arcsinx}{x} = 1\)

\(\lim_{x\rightarrow 0 }\, \frac{arctan}{x} = 1\)

Giới hạn hàm số giải tích lớp 11

Giới hạn hàm số nâng cao

Ví dụ: Ta có bài toán sau:

Cho \(a_{1}, a_{2},…, a_{n}\) và \(b_{1}, b_{2},…, b_{m}\) là các số cho trước. Tìm giới hạn sau

\(L = \lim_{x\rightarrow +\infty }(\sqrt[n]{(x+a_{1})(x+a_{2})…(x+a_{n})} – \sqrt[m]{(x+b_{1})(x+b_{2})…(x+b_{m})})\)

Cách giải:

Bằng phương pháp thêm bớt hạng tử ta có:

\(L = \lim_{x\rightarrow +\infty }[(\sqrt[n]{(x+a_{1})(x+a_{2})…(x+a_{n})} – x) – (\sqrt[m]{(x+b_{1})(x+b_{2})…(x+b_{m})} – x)]\)

Từ đó suy ra: \(L = \frac{1}{n}\sum ^{n}_{i=1}a_{i} – \frac{1}{m}\sum ^{m}_{i=1}b_{i}\)

Tìm giới hạn hàm số bằng máy tính

Ví dụ: Tìm giới hạn của hàm số sau: \(\frac{-x^{2}-x+6}{x^{2}+3x}\)

Cách giải:

Các dạng toán về giới hạn hàm số

Dạng 1: Tìm giới hạn xác định bằng cách sử dụng trực tiếp các định nghĩa, định lý

Phương pháp giải:

• Chọn hai dãy số khác nhau (\(a_n\)) và (\(b_n\)) thỏa mãn \(a_n\) và \(b_n\) thuộc tập xác định của hàm số \(y = f(x)\) và khác (\(x_0\)); \(a_{n}\rightarrow x_{0},\, b_{n}\rightarrow x_{0}\)
• Chứng minh \(lim f(a_{n}) \neq lim f(b_{n})\) hoặc chứng minh một trong hai giới hạn này không tồn tại.
• Từ đó suy ra \(\lim_{x\rightarrow x_{0}} f(x)\) không tông tại. TH \(x\rightarrow _{0}^{\pm }\) hoặc \(x→±∞\) chứng minh tương tự

Ví dụ 1: Cho hàm số \(f(x) = \frac{x^{2}+1}{2\sqrt{x}}\); \(\lim_{x\rightarrow 3} f(x)\) bằng bao nhiêu?

Cách giải:

Hàm số đã cho xác định trên \((0;+∞)\)

Giả sử (\(x_n\)) là một dãy số bất kỳ, thỏa mãn \(x_{n} > 0, x_{n} \neq 3\) và \(x_n→3\) khi \(n→+∞\). Ta có:

\(lim f(x_{n}) = lim\frac{x_{n}^{2}+1}{2\sqrt{x_{n}}} = \frac{3^{2}+1}{2\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{3}\) (áp dụng quy tắc về giới hạn hữu hạn của dãy số).

Do đó \(\lim_{x\rightarrow 3} f(x) = \frac{5\sqrt{3}}{3}\)

Dạng 2: Tìm giới hạn vô định dạng \(\frac{0}{0}\)

Tính \(\lim_{x\rightarrow x_{0}} \frac{f(x)}{g(x)}\) khi \(\lim_{x\rightarrow x_{0}} f(x) = \lim_{x\rightarrow x_{0}} g(x) = 0\) trong đó f(x) và g(x) là đa thức hoặc căn thức.

Phương pháp giải:

• Phân tích tử và mẫu thành tích các nhân tử giản ước
• Nếu f(x) và g(x) có chứa căn thức thì có thể nhân tử và mẫu với biểu thức liên hợp trước khi phân tích chúng thành tích để giản ước

Ví dụ 2: Tìm giới hạn của \(\lim_{x\rightarrow x_{1}} \frac{x^{m}-x^{n}}{x-1}\, (m,n \in N^{*})\)

Cách giải:

Dạng 3: Tìm \(\lim_{x\rightarrow \pm \infty } \frac{f(x)}{g(x)}\)trong đó \(f(x),g(x)\rightarrow \infty\)

Ví dụ 3: Tìm giới hạn \(\lim_{x\rightarrow -\infty } \frac{\sqrt{4x^{2}-3x_4} + 3x}{\sqrt{x^{2}+x+1} – x}\)

Cách giải

\(\lim_{x\rightarrow -\infty } \frac{\sqrt{4x^{2}-3x_4} + 3x}{\sqrt{x^{2}+x+1} – x} = \lim_{x\rightarrow -\infty }\frac{-\sqrt{4-\frac{3}{x}+\frac{4}{x^{2}}}+3}{-\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}}-1}\)

\(=\frac{-2+3}{-1-1} = -\frac{1}{2}\)

Dạng 4: Dạng vô định \(\infty -\infty\)và \(0.\infty\)

Ví dụ 4: Tìm giới hạn của \(\lim_{x\rightarrow +\infty }(\sqrt{x^{2} – x +1} – x)\)

Cách giải:

Dạng 5: Dạng vô định các hàm lượng giác

Ví dụ 5: Tìm giới hạn của \(\lim_{x\rightarrow 0 }\frac{\sqrt{cosx} – \sqrt[3]{cosx}}{sin^{2}x}\)

Cách giải:

Giới hạn hàm số dạng vô định là gì?

Bài tập giới hạn hàm số toán cao cấp

DINHNGHIA.VN đã tổng hợp kiến thức lý thuyết, bài tập cũng như cách giải các dạng toán giới hạn hàm số. Hy vọng với những chia sẻ trên đây, bạn đã tìm thấy những kiến thức hữu ích cho mình trong việc tìm hiểu và nghiên cứu về chủ đề giới hạn của hàm số. Đừng quên tham khảo bài giảng bên dưới nhé! Chúc bạn luôn học tốt!

Xem thêm >>> Lim là gì? Phương pháp tính và bài tập về giới hạn lim