BÀI 2: LIÊN HỆ GIỮA CUNG VÀ DÂY

Bài 10 – Trang 71 – SGK)

 a) Vẽ đường tròn tâm O bán kinh R = 2 cm. Nêu cách vẽ cung AB có số đo bằng \[{{60}^{0}}\]Hỏi dây AB dài bao nhiêu xentimet?

b) Làm thế nào để chia được đường tròn thành sáu cung bằng nhau như trên hình 12.

Hướng dẫn giải:

a) Vẽ đường tròn (O; R). Vẽ góc ở tâm có số đo  \[{{60}^{0}}\]. Góc này chắn AB có số đo  \[{{60}^{0}}\] (hình a).

Tam giác AOB cân có \[\hat{O}={{60}^{0}}\]nên tam giác đều, suy ra AB = R. 

b) Theo câu a, ta có góc ở tâm bằng  sđ AB = \[{{60}^{0}}\].Số đo góc ở tâm vẽ được theo cách này là \[{{360}^{0}}:{{60}^{0}}=6\] . Suy ra được 6 cung tròn bằng nhau trên đường tròn.

Từ đó suy ra cách vẽ như sau:

Vẽ 6 dây cung bằng nhau và bằng bán kính R:

\[\widehat{{{A}_{1}}{{A}_{2}}}=\widehat{{{A}_{2}}{{A}_{3}}}=\text{ }\widehat{{{A}_{3}}{{A}_{4}}}=\widehat{{{A}_{4}}{{A}_{5}}}=\widehat{{{A}_{5}}{{A}_{6}}}=\widehat{{{A}_{6}}{{A}_{1}}}=R\]

Từ đó suy ra \(6\) cung bằng nhau. (hình b)

Bài 11 ( Trang 72 – SGK)

Cho hai đường tròn bằng nhau (O) và (O') cắt nhau tại hai điểm A và B. Kẻ các đường kính AOC, AO'D. Gọi E là giao điểm thứ hai của AC với đường tròn (O').

a) So sánh các cung nhỏ BC,  BD.

b) Chứng minh rằng B là điểm chính giữa của cung EBD ( tức điểm B chia cung EBD thành hai cung bằng nhau: BE =  BD.

Hướng dẫn giải:

a) Nối C đến D.

Ta có 2 đường tròn bằng nhau => AC = AD

=> ∆ ACD cân tại A

Lại có \[\widehat{ABC}={{90}^{0}}\]; do có OB = OC = OA = R ( tính chất trung tuyến ứng với cạnh huyền )

Tương tự có \[\widehat{ABD}={{90}^{0}}\]

\[\Rightarrow \widehat{ABC}+\widehat{ABD}={{180}^{0}}\]

\[\Rightarrow \] C; B; D thẳng hàng và \[AB\bot CD\]

\[\Rightarrow \] BC = BD

\[\Rightarrow \] cung BC = cung BD.

b) Nối E đến D; từ B hạ \[BH\bot ED\].Ta có góc \[\widehat{DEA}={{90}^{0}}\] ( chứng minh tương tự theo (a) )

=> BH // EC

Mà theo (a) ta có BE = BD

=> BH là đường trung bình tam giác CDE

=> HE = HD mà \[BH\bot ED\] => B là điểm chính giữa  cung EBD.

Bài 12 ( trang 72- SGK)

Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia AB lấy một điểm D sao cho AD = AC. Vẽ đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác DBC. Từ O lần lượt hạ các đường vuông góc OH, OK với B) và BD (\[H\in BC,K\in BD\])

a) Chứng minh rằng OH > OK.

b) So sánh hai cung nhỏ BD và BC.

Hướng dẫn giải:

a) Trong ∆ABC, có BC < BA + AC.

Mà AC = AD suy ra BC < BD.

Theo định lí về dây cung và khoảng cách từ dây đến tâm, ta có OH > OK.

b) Ta có BC < BD (cmt)

nên suy ra cung BC nhỏ hơn cung BD ( liên hệ cung và dây)

Bài 13 ( Trang 72 – SGK)

Chứng minh rằng trong một đường tròn, hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau.

Hướng dẫn giải:

Giả sử AB và CD là các dây song song của đường tròn (O).

Kẻ  \[OI\bot AB\] (\[I\in AB\]) và \[OK\bot CD(K\in CD)\]

Do AB //CD nên I, O, K thẳng hàng.

Do các tam giác OAB, OCD là các tam giác cân đỉnh O nên các đường cao kẻ từ đỉnh đồng thời là phân giác.

Vì vậy ta có: \[\widehat{{{O}_{1}}}=\widehat{{{O}_{2}}}=\widehat{{{O}_{3}}}=\widehat{{{O}_{4}}}\]

Giả sử AB nằm ngoài  \[\widehat{COD}\], ta có: \[\widehat{AOC}={{180}^{0}}-\widehat{{{O}_{1}}}-\widehat{{{O}_{3}}}={{180}^{0}}-\widehat{{{O}_{2}}}-\widehat{{{O}_{4}}}=\widehat{BOD}\]

Suy ra: cung AC = cung BD

Nghĩa là hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau. Các trường hợp khác ta chứng minh tương tự.

Bài 14 ( Trang 72 – SGK)

 Chứng minh rằng đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì đi qua trung điểm của dây căng cung ấy. Mệnh đề đảo có đúng không? Hãy nêu thêm điều kiện để mệnh đề đảo đúng.

b) Chứng minh rằng đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuông góc với dây căng cung ấy và ngược lại

Hướng dẫn giải:

a. Vì I là điểm chính giữa của cung AB, suy ra cung IA = cung IB ⇒ IA = IB

Ta có: OA = OB = bán kính. Suy ra đường kính IK là đường trung trực của dây AB. Vậy HA = HB (đpcm)

Mệnh đề đảo: Đường kính đi qua trung điểm của một dây thì đi qua điểm chính giữa của cung căng dây đó.

Chứng minh: Vì ∆ AOB cân tại O và HA = HB nên OH là đường phân giác của góc \[\widehat{AOB}\]

Suy ra \[\widehat{{{O}_{1}}}=\widehat{{{O}_{2}}}\]

Từ đó suy ra cung IA = cung IB

uy nhiên điều này không thể xảy ra khi dây AB đi qua tâm O của đường tròn. Vậy phải thêm điều kiện để mệnh đề đảo đúng là:

Đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì đi qua điểm chính giữa của cung căng dây đó.

b. Ta có: cung IA =  cung IB (gt) ⇒ IA = IB

Điều này chứng tỏ rằng điểm  I nằm trên đường trung trực của AB (1)

Ta có  OA = OB = bán kính

Điều này chứng tỏ rằng điểm O nằm trên đường trung trực của AB (2)

Từ (1) và (2) chứng tỏ rằng OI hay IK là đường trung trực của dây AB. Suy ra \[IK\bot AB\]

* Điều ngược lại: Đường kính vuông góc ở dây khi qua tâm thì đi qua hai điểm chính giữa của cung căng dây đó.

Kẻ đường kính KOI vuông góc với AB

Ta có OA = OB ⇒ ∆OAB cân tại O.

Mà \[OH\bot AB\] nê OH là đường phân giác của góc AOB, suy ra \[\widehat{{{O}_{1}}}=\widehat{{{O}_{2}}}\]

Ta có : ∆OAI = ∆OBI (c.g.c). Do đó AI = IB. Suy ra cung AI = Cung IB

Vậy I là điểm chính giữa của cung AB.