Bài 2: Mối Quan Hệ Giữa Các Biến Cố

Khi giải các bài toán của lý thuyết xác suất ta thường phải diễn tả một biến cố phức hợp theo các biến cố đơn giản hơn. Để làm được điều đó ta cần nghiên cứu mối quan hệ giữa các biến cố thể hiện qua các định nghĩa dưới đây:

Định nghĩa 1: Biến cố A được gọi là kéo theo biến cố B, ký hiệu là \(A \subset B\), nếu A xảy ra thì B cũng xảy ra.

Thí dụ: Tung một con súc sắc, gọi A là biến cố súc sắc ra mặt 2. B là biến cố súc sắc ra mặt chẵn, thì \(A \subset B\).

Định nghĩa 2: Hai biến cố A và B được gọi là hai biến cố tương đương, ký hiệu là A = B, nếu \(A \subset B\) và \(B \subset A\).

Xác suất của các biến cố tương đương thì bằng nhau. Tức là: nếu A = B thì:

P(A) = P(B)

P(A) là xác suất của biến cố A

Thí dụ: Tung một con súc sắc, biến cố “súc sắc ra mặt chẩn” và biến cố “súc sắc ra mặt 2 hoặc mặt 4 hoặc mặt 6” là hai biến cố tương đương.

Định nghĩa 3: Tổng của hai biến cố A và B là một biến cố, ký hiệu là \(A \cup B\) hoặc A + B, biến cố này xảy ra khi và chỉ khi có ít nhất một ưong hai biến cố A, B xảy ra.

Tổng quát: Tổng của n biến cố A1, A2, . . . , An là một biến cố, biến cố này xảy ra khi và chỉ khi có ít nhất một trong n biến cố A1, A2,.... An xảy ra.

Để ký hiệu tổng của n biến cố ta có thể sử dụng các ký hiệu sau:

\({A_1} \cup {A_2} \cup .... \cup {A_n},\,\,hay\,\,\bigcup\limits_{i = 1}^n {{A_i}} \)

\({A_1} + {A_2} + .... + {A_n},\,\,hay\,\,\sum\limits_{i = 1}^n {{A_i}} \)

Thí dụ: Xét phép thử quan sát hai xạ thủ cùng bắn vào một bia (mỗi xạ thủ bắn một viên đạn). Gọi A là biến cố “xạ thủ thứ nhất bắn trúng bia”, B là biến cố “xạ thủ thứ hai bắn trúng bia”, C là biến cố “bia trúng đạn”. Rõ ràng C xảy ra khi có ít nhất một trong hai biến cố A, B xảy ra. Vậy:

\(C = A \cup B\)

Định nghĩa 4: Tích của hai biến cố A và B là một biến cố, ký hiệu là \(A \cap B\) hoặc AB, biến cố này xảy ra khi và chỉ khi cả A và B đều xảy ra.

Tổng quát: Tích của n biến cố A1, A2, .. . An là một biến cố, biến cố này xảy ra khi và chỉ khi cả n biến A1, A2,.. . An đều xảy ra.

Để ký hiệu tích của n biến cố ta có thể dùng các ký hiệu sau:

\({A_1} \cap {A_2} \cap .... \cap {A_n},\,hay\,\,\bigcap\limits_{i = 1}^n {{A_i}} \)

\({A_1}{A_2}.....{A_n}\,hay\,\,\prod\limits_{i = 1}^n {{A_i}} \)

Thí dụ: Xét phép thử quan sát hai xạ thủ cùng bắn vào một bia (mỗi xạ thủ bắn một viên đạn), Gọi A là biến cố “xạ thủ thứ nhất bắn trật”, B là biến cố “xạ thủ thứ hai bắn trật” và C là biến cố “bia không trúng đạn”. Ta thấy C là tích của A và B. Tức C = A.B

Định nghĩa 5: Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nhau nếu chúng không thể đồng thời xảy ra ưong một phép thử. Tức AB = \(\emptyset \)

Tổng quát: Các biến cố A1, A2, . . . , An được gọi là xung khắc từng đôi nếu bất kỳ hai trong n biến cố này xung khắc với nhau.

Thí dụ: Khi kiểm tra 5 sản phẩm, biến cố “có 1 phế phẩm” và biến cố “có 2 phế phẩm” là các biến cố xung khắc.

Định nghĩa 6: Biến cố đối lập với biến cố A, ký hiệu là \(\overline A \) , nếu A, \(\overline A \) xung khắc và \(A \cup \overline A = \Omega \)

Ta có thể định nghĩa biến cố đối lập cách khác như sau:

Biến cố “không xảy ra biến cố A” được gọi là biến cố đối lập với biến cố A, ký hiệu là \(\overline A \)

Thí dụ: Kiểm tra 3 sản phẩm chọn ngẫu nhiên từ một kiện hàng. Biến cố “có ít nhất một sản phẩm tốt trong 3 sản phẩm kiểm tra” và biến cố “không có sản phẩm tốt nào trong 3 sản phẩm kiểm tra” là hai biến cố đối lập nhau.

Biểu đồ Venn

Các tính chất:

Xét phép thử \(\tau \) có không gian mẫu \(\Omega \); A, B, C là các biến cố:

• \(A \cup B = B \cup A\)
• \(A \cap B = B \cap A\)
• \(A \cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup C = A \cup B \cup C\)
• \(A \cap (B \cap C) = (A \cap B) \cap C = A \cap B \cap C\)
• \(A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)\)
• \(A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)\)
• \(\overline {A \cup B} = \overline A \cap \overline B \)
• \(\overline {A \cap B} = \overline A \cup \overline B \)