Bài 27 Trang 20 Sgk Toán 9 Tập 2, Bằng Cách đặt ẩn Phụ (theo ...

27. Bằng cách đặt ẩn phụ (theo hướng dẫn), đưa các hệ phương trình sau về  dạng hệ hai phương trình bậc nhật hai ẩn rồi giải:

a) \(\left\{\begin{matrix} \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 1& & \\ \frac{3}{x} + \frac{4}{y} = 5& & \end{matrix}\right.\).  Hướng dẫn. Đặt u = \(\frac{1}{x}\), v = \(\frac{1}{y}\);

b) \(\left\{\begin{matrix} \frac{1}{x - 2} + \frac{1}{y -1} = 2 & & \\ \frac{2}{x - 2} - \frac{3}{y - 1} = 1 & & \end{matrix}\right.\) Hướng dẫn. Đặt u = \(\frac{1}{x - 2}\), v = \(\frac{1}{y - 1}\).

a) Điền kiện \(x ≠ 0, y ≠ 0\).

Đặt \(u = \frac{1}{x}\), \(v = \frac{1}{y}\) ta được hệ phương trình ẩn u, v: \(\left\{\begin{matrix} u - v = 1 & & \\ 3u + 4v = 5& & \end{matrix}\right.\)

(1) ⇔ \(u = 1 + v\) (3)

Thế (3) vào (2): \(3(1 + v) +4v = 5\)

\(⇔ 3 + 3v + 4v = 5 ⇔ 7v =2 ⇔ v = \frac{2}{7}\)

Từ đó \(u = 1 + v = 1 + \frac{2}{7}\) = \(\frac{9}{7}\).

Advertisements (Quảng cáo)

Suy ra hệ đã cho tương đương với: \(\left\{\begin{matrix} \frac{1}{x} = \frac{9}{7}& & \\ \frac{1}{y} = \frac{2}{7}& & \end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} x = \frac{7}{9}& & \\ y = \frac{7}{2}& & \end{matrix}\right.\)

b) Điều kiện \(x - 2 ≠ 0, y - 1 ≠ 0\) hay \( x ≠ 2, y ≠ 1\).

Đặt \(u = \frac{1}{x -2}\), \(v = \frac{1}{y -1}\) ta được hệ đã cho tương đương với:

\(\left\{\begin{matrix} u + v = 2 & & \\ 2u - 3v = 1 & & \end{matrix}\right.\)

(1) \(⇔ v = 2 - u\) (3)

Thế (3) vào (2): \(2u - 3(2 - u) = 1\)

⇔ \(2u - 6 + 3u = 1 ⇔ 5u = 7 ⇔ u = \frac{7}{5}\)

Từ đó \(v = 2 - \frac{7}{5}\) = \(\frac{3}{5}\).

Suy ra hệ đã cho tương đương với:

\(\left\{\begin{matrix} \frac{1}{x -2} = \frac{7}{5}& & \\ \frac{1}{y -1} = \frac{3}{5}& & \end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} x -2 = \frac{5}{7}& & \\ y - 1 = \frac{5}{3}& & \end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} x = \frac{5}{7}+ 2& & \\ y = \frac{5}{3}+1& & \end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} x = \frac{19}{7}& & \\ y = \frac{8}{3}& & \end{matrix}\right.\)