Đặt ẩn Phụ Quy Về Hệ Phương Trình | Tăng Giáp

• Home
• Forums New posts Search forums
• Lớp 12 Vật Lí 12
• What's new Featured content New posts New profile posts Latest activity
• Members Current visitors New profile posts Search profile posts

Đăng nhập Có gì mới? Tìm kiếm

Tìm kiếm

Everywhere Threads This forum This thread Chỉ tìm trong tiêu đề Note By: Search Tìm nâng cao…

• New posts
• Search forums

Menu Đăng nhập Install the app Install How to install the app on iOS

Follow along with the video below to see how to install our site as a web app on your home screen.

Note: This feature may not be available in some browsers.

• Home
• Forums
• Lớp 10
• Toán lớp 10
• Chủ đề 3: PT, BPT và hệ phương trình đại số
• Bài 03. Phương trình vô tỉ

You are using an out of date browser. It may not display this or other websites correctly.You should upgrade or use an alternative browser. Đặt ẩn phụ quy về hệ phương trình

• Thread starter Thread starter Doremon
• Ngày gửi Ngày gửi 3/2/15

Doremon

Moderator

Thành viên BQT Dạng 1: đặt 2 ẩn phụ $\sqrt[n]{{a - f(x)}} + \sqrt[n]{{b + f(x)}} = c \to \left\{ \begin{array}{l}u = \sqrt[n]{{a - f(x)}}\\v = \sqrt[n]{{b + f(x)}}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {u^n} + {v^n} = a + b\\u + v = c\end{array} \right.$ Ví dụ 1. Giải phương trình: $\sqrt[3]{{1 - x}} + \sqrt[3]{{1 + x}} = 2 \to \left\{ \begin{array}{l}u = \sqrt[3]{{1 - x}}\\v = \sqrt[3]{{1 + x}}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}u + v = 2\\{u^3} + {v^3} = 2\end{array} \right.$ Ví dụ 2. Giải phươngtrình: $\sqrt[3]{{2 - x}} = 1 - \sqrt {x - 1} \to \left\{ \begin{array}{l}u = \sqrt[3]{{2 - x}}\\v = \sqrt {x - 1} \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u^3} + {v^2} = 1\\u + v = 1\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}u = 0\\u = 1\\u = - 2\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\x = 1\\x = 10\end{array} \right.$ Dạng 2: một ẩn phụ chuyển phương trình thành một hệ : $\sqrt {ax + b} = c{(dx + e)^2} + nx + m$ Ví dụ 3. Giải phương trình: $\begin{array}{l} \sqrt {3x + 1} = - 4{x^2} + 13x - 5 \Rightarrow \sqrt {3x + 1} = - {( - 2x + 3)^2} + x + 4\,\,dat\,\, - 2y + 3 = \sqrt {3x + 1} \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2y + 3 = - {( - 2x + 3)^2} + x + 4\\ {( - 2y + 3)^2} = 3x + 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {( - 2y + 3)^2} = x + 2y + 1\\ {( - 2y + 3)^2} = 3x + 1 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} x = y\\ 2y = 5 - 2x \end{array} \right.\\ 1)x = y \Rightarrow 4{x^2} - 15x + 8 = 0 \Rightarrow x = \frac{{15 - \sqrt {97} }}{8}\\ 2)2y = 5 - 2x \Rightarrow 4{x^2} - 11x + 3 = 0 \Rightarrow x = \frac{{11 - \sqrt {73} }}{8} \end{array}$ Ví dụ 4. Giải phương trình: ${x^2} - \sqrt {x - 5} = 5\left( 1 \right)$ Giải​ Điều kiện : x + 5 ≥ 0 ↔ x ≥ - 5. Đặt $\sqrt {x + 5} = y$ với y ≥ 0 . Từ đó phương trình (1) trở thành hệ phương trình : $\left\{ \begin{array}{l} {x^2} - y = 5(2)\\ {y^2} - x = 5(3) \end{array} \right.$ Trừ vế với vế của (2) và (3) ta được : x$^2$ - y$^2$ + x – y = 0 ↔ (x – y)(x + y + 1) = 0 . Xảy ra 2 trường hợp : a) x – y = 0 hay x = y ≥ 0, thay vào (2) được phương trình: x$^2$ - x – 5 = 0 giải ra được: ${x_1} = \frac{1}{2}\left( {1 + \sqrt {21} } \right)$ b) x + y + 1 = 0 hay y = - x – 1 ≥ 0, thay vào (2) có: x$^2$ + x – 4 = 0 giải ra được: ${x_2} = - \frac{1}{2}\left( {1 + \sqrt {17} } \right)$ Kết luận : Với 2 nghiệm x$_1$, x$_2$ thỏa mãn điều kiện đề bài nên PT (1) có 2 nghiệm x$_1$, x$_2$ như trên . Dạng 3: Đưa về hệ tạm Nếu phương trình vô tỉ có dạng $\sqrt A + \sqrt B = C$, mà : A – B = αC ở dây C có thể là hàng số ,có thể là biểu thức của . Ta có thể giải như sau : $\frac{{A - B}}{{\sqrt A - \sqrt B }} = C \Rightarrow \sqrt A - \sqrt B = \alpha $, khi đó ta có hệ: $\left\{ \begin{array}{l} \sqrt A + \sqrt B = C\\ \sqrt A - \sqrt B = \alpha \end{array} \right. \Rightarrow 2\sqrt A = C + \alpha $ Ví dụ 5. Giải phương trình sau : $\sqrt {2{x^2} + x + 9} + \sqrt {2{x^2} - x + 1} = x + 4$ Giải​Ta thấy : $\left( {2{x^2} + x + 9} \right) - \left( {2{x^2} - x + 1} \right) = 2\left( {x + 4} \right)$ x = - 4 không phải là nghiệm Xét x ≠ - 4 Trục căn thức ta có : $\frac{{2x + 8}}{{\sqrt {2{x^2} + x + 9} - \sqrt {2{x^2} - x + 1} }} = x + 4 \Rightarrow \sqrt {2{x^2} + x + 9} - \sqrt {2{x^2} - x + 1} = 2$ Vậy ta có hệ: $\left\{ \begin{array}{l} \sqrt {2{x^2} + x + 9} - \sqrt {2{x^2} - x + 1} = 2\\ \sqrt {2{x^2} + x + 9} + \sqrt {2{x^2} - x + 1} = x + 4 \end{array} \right. \Rightarrow 2\sqrt {2{x^2} + x + 9} = x + 6 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = \frac{8}{7} \end{array} \right.$ Thử lại thỏa; vậy phương trình có 2 nghiệm : x = 0 v x = 8/7 Ví dụ 6. Giải phương trình : $\sqrt {2{x^2} + x + 1} + \sqrt {{x^2} - x + 1} = 3x$ Giải​Ta thấy : $\left( {2{x^2} + x + 1} \right) - \left( {{x^2} - x + 1} \right) = {x^2} + 2x$, như vậy không thỏa mãn điều kiện trên. Ta có thể chia cả hai vế cho x và đặt t = 1/x thì bài toán trở nên đơn giản hơn Bài tập đề nghị Giải các phương trình sau: 1. $\sqrt {1 + \sqrt {1 - {x^2}} } = x(1 + 2\sqrt {1 - {x^2}} )$ 2. $\sqrt[3]{{x - 2}} + \sqrt {x + 1} = 3$ 4. $\sqrt {2 - \sqrt 2 (1 + x)} + \sqrt[4]{{2x}} = 1$ 5. ${x^2} + 4x = \sqrt {x + 6} $ 6. $\sqrt[3]{{2 - x}} + \sqrt {x - 1} = 1.$ 7. $x = \sqrt {x - \frac{1}{x} + } \sqrt {1 - \frac{1}{x}} $ 5. Đặt ẩn phụ đưa về phương trình thuần nhất bậc 2 đối với 2 biến : Chúng ta đã biết cách giải phương trình: ${u^2} + \alpha uv + \beta {v^2} = 0$ (1) bằng cách Xét v ≠ 0 phương trình trở thành: ${\left( {\frac{u}{v}} \right)^2} + \alpha \left( {\frac{u}{v}} \right) + \beta = 0$. Xét v = 0 thử trực tiếp Các trường hợp sau cũng đưa về được (1) $\begin{array}{l} a.A\left( x \right) + bB\left( x \right) = c\sqrt {A\left( x \right).B\left( x \right)} \\ \alpha u + \beta v = \sqrt {m{u^2} + n{v^2}} \end{array}$ Chúng ta hãy thay các biểu thức A(x) , B(x) bởi các biểu thức vô tỉ thì sẽ nhận được phương trình vô tỉ theo dạng này . a. Phương trình dạng : $a.A\left( x \right) + bB\left( x \right) = c\sqrt {A\left( x \right).B\left( x \right)} $ Như vậy phương trình $Q\left( x \right) = \alpha \sqrt {P\left( x \right)} $ có thể giải bằng phương pháp trên nếu $\left\{ \begin{array}{l} P\left( x \right) = A\left( x \right).B\left( x \right)\\ Q\left( x \right) = aA\left( x \right) + bB\left( x \right) \end{array} \right.$ Ví dụ 1. Giải phương trình : $2\left( {{x^2} + 2} \right) = 5\sqrt {{x^3} + 1} $ Giải​Đặt $u = \sqrt {x + 1} ,v = \sqrt {{x^2} - x + 1} $ Phương trình trở thành : $2\left( {{u^2} + {v^2}} \right) = 5uv \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} u = 2v\\ u = \frac{1}{2}v \end{array} \right.$ Tìm được: $x = \frac{{5 \pm \sqrt {37} }}{2}$ Ví dụ 2. giải phương trình sau : $2{x^2} + 5x - 1 = 7\sqrt {{x^3} - 1} $ Giải​Đk: x ≥ 1 Nhận xt : Ta viết $\alpha \left( {x - 1} \right) + \beta \left( {{x^2} + x + 1} \right) = 7\sqrt {\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)} $ Đồng nhất thức ta được: $3\left( {x - 1} \right) + 2\left( {{x^2} + x + 1} \right) = 7\sqrt {\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)} $ Đặt $u = x - 1 \ge 0{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} ,v = {x^2} + x + 1 > 0$, ta được: $3u + 2v = 7\sqrt {uv} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} v = 9u\\ v = \frac{1}{4}u \end{array} \right.$ Ta được : $x = 4 \pm \sqrt 6 $ Ví dụ 4. Giải phương trình : ${x^3} - 3{x^2} + 2\sqrt {{{\left( {x + 2} \right)}^3}} - 6x = 0$ Giải​Nhận xét : Đặt $y = \sqrt {x + 2} $ ta hãy biến pt trên về phương trình thuần nhất bậc 3 đối với x và y : ${x^3} - 3{x^2} + 2{y^3} - 6x = 0 \Leftrightarrow {x^3} - 3x{y^2} + 2{y^3} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = y\\ x = - 2y \end{array} \right.$ Pt có nghiệm : $x = 2,{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} x = 2 - 2\sqrt 3 $ b.Phương trình dạng : $\alpha u + \beta v = \sqrt {m{u^2} + n{v^2}} $ Phương trình cho ở dạng này thường khó “phát hiện “ hơn dạng trên , nhưg nếu ta bình phương hai vế thì đưa về được dạng trên. Ví dụ 5. giải phương trình : ${x^2} + 3\sqrt {{x^2} - 1} = \sqrt {{x^4} - {x^2} + 1} $ Giải​Ta đặt : $\left\{ \begin{array}{l} u = {x^2}\\ v = \sqrt {{x^2} - 1} \end{array} \right.$ khi đó phương trình trở thành : $u + 3v = \sqrt {{u^2} - {v^2}} $ Ví dụ 6.Giải phương trình sau : $\sqrt {{x^2} + 2x} + \sqrt {2x - 1} = \sqrt {3{x^2} + 4x + 1} $ Giải​Điều kiện x ≥ 1/2. Bình phương 2 vế ta có : $\sqrt {\left( {{x^2} + 2x} \right)\left( {2x - 1} \right)} = {x^2} + 1 \Leftrightarrow \sqrt {\left( {{x^2} + 2x} \right)\left( {2x - 1} \right)} = \left( {{x^2} + 2x} \right) - \left( {2x - 1} \right)$ Ta có thể đặt : $\left\{ \begin{array}{l} u = {x^2} + 2x\\ v = 2x - 1 \end{array} \right.$ khi đó ta có hệ : $uv = {u^2} - {v^2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} u = \frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}v\\ u = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}v \end{array} \right.$ Do $u,v \ge 0.\,\,u = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}v \Leftrightarrow {x^2} + 2x = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}\left( {2x - 1} \right)$ Ví dụ 7. giải phương trình : $\sqrt {5{x^2} - 14x + 9} - \sqrt {{x^2} - x - 20} = 5\sqrt {x + 1} $ Giải​Đk x ≥ 5. Chuyển vế bình phương ta được: $2{x^2} - 5x + 2 = 5\sqrt {\left( {{x^2} - x - 20} \right)\left( {x + 1} \right)} $ Nhận xét : không tồn tại số α, β để : $2{x^2} - 5x + 2 = \alpha \left( {{x^2} - x - 20} \right) + \beta \left( {x + 1} \right)$ vậy ta không thể đặt $\left\{ \begin{array}{l} u = {x^2} - x - 20\\ v = x + 1 \end{array} \right.$. Nhưng may mắn ta có : $\left( {{x^2} - x - 20} \right)\left( {x + 1} \right) = \left( {x + 4} \right)\left( {x - 5} \right)\left( {x + 1} \right) = \left( {x + 4} \right)\left( {{x^2} - 4x - 5} \right)$ Ta viết lại phương trình: $2\left( {{x^2} - 4x - 5} \right) + 3\left( {x + 4} \right) = 5\sqrt {({x^2} - 4x - 5)(x + 4)} $. Đến đây bài toán được giải quyết . You must log in or register to reply here. Share: Bluesky LinkedIn Reddit Pinterest Tumblr WhatsApp Email Share Link

Trending content

• Thread 'Dạng toán 1. Xác định miền nghiệm của bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.'
  • Tăng Giáp
  • 8/12/18
  Trả lời: 0
• H Thread 'Cực đại và cực tiểu của hàm số'
  • Huy Hoàng
  • 22/2/16
  Trả lời: 179
• Thread 'Bài tập trắc nghiệm hình chóp'
  • Minh Toán
  • 10/11/17
  Trả lời: 148
• V Thread 'Bài 3. Chuyển động thẳng biến đổi đều'
  • Vật Lí
  • 19/9/16
  Trả lời: 172
• Thread 'SỰ ĐỒNG BIẾN ,NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ'
  • Doremon
  • 4/12/14
  Trả lời: 165
• H Thread 'Chuyên đề mặt nón tròn xoay'
  • Huy Hoàng
  • 22/1/15
  Trả lời: 102
• H Thread 'Ứng dụng tích phân tính diện tích và thể tích'
  • Huy Hoàng
  • 20/2/16
  Trả lời: 170
• Thread 'Mặt cầu, mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện'
  • Doremon
  • 24/1/15
  Trả lời: 95
• Thread 'Một số phương pháp tìm nguyên hàm (buổi 1)'
  • Doremon
  • 13/12/14
  Trả lời: 84
• V Thread 'Bài 2. CHUYỂN ĐỘNG THẲNG ĐỀU'
  • Vật Lí
  • 19/9/16
  Trả lời: 98

Latest posts

• Sóng dừng
  • Latest: Tăng Giáp
  • 2/12/25
  Sóng cơ
• Giao Thoa Sóng Cơ
  • Latest: Tăng Giáp
  • 2/12/25
  Sóng cơ
• Sóng điện từ
  • Latest: Tăng Giáp
  • 2/12/25
  Bài 22: Sóng điện từ
• Sóng ngang. Sóng dọc. Sự truyền năng lượng của sóng cơ
  • Latest: Tăng Giáp
  • 2/12/25
  Sóng cơ
• Mô tả sóng
  • Latest: Tăng Giáp
  • 2/12/25
  Sóng cơ
• Dao động tắt dần - dao động cưỡng bức
  • Latest: Tăng Giáp
  • 2/12/25
  Dao động cơ
• Động năng. Thế năng. Sự chuyển hoá năng lượng trong dao động điều hoà
  • Latest: Tăng Giáp
  • 2/12/25
  Dao động cơ
• Bài 5. Điện thế
  • Latest: Tăng Giáp
  • 25/11/25
  Chương 1. Điện tích - Điện trường
• Bài 6. Tụ Điện
  • Latest: Tăng Giáp
  • 25/11/25
  Chương 1. Điện tích - Điện trường
• Cách giải phương trình bậc 3 tổng quát
  • Latest: Tăng Giáp
  • 22/11/25
  Bài 01. Phương trình

Members online

No members online now. Total: 16 (members: 0, guests: 16)

Share this page

Bluesky LinkedIn Reddit Pinterest Tumblr WhatsApp Email Share Link

• Home
• Forums
• Lớp 10
• Toán lớp 10
• Chủ đề 3: PT, BPT và hệ phương trình đại số
• Bài 03. Phương trình vô tỉ

Back Top