Bài 3, 4, 5: Những Hằng đẳng Thức đáng Nhớ

Xem toàn bộ tài liệu Lớp 8: tại đây

Xem thêm các sách tham khảo liên quan:

• Giải Toán Lớp 8
• Đề Kiểm Tra Toán Lớp 8
• Sách Giáo Khoa Toán lớp 8 tập 1
• Sách Giáo Khoa Toán lớp 8 tập 2
• Sách Giáo Viên Toán Lớp 8 Tập 1
• Sách Bài Tập Toán Lớp 8 Tập 2

Sách Giải Sách Bài Tập Toán 8 Bài 3, 4, 5: Những hằng đẳng thức đáng nhớ giúp bạn giải các bài tập trong sách bài tập toán, học tốt toán 8 sẽ giúp bạn rèn luyện khả năng suy luận hợp lý và hợp logic, hình thành khả năng vận dụng kết thức toán học vào đời sống và vào các môn học khác:

Bài 11 trang 7 SBT Toán 8 Tập 1: Tính:

a. (x + 2y)2

b. (x – 3y)(x + 3y)

c. (5 – x)2

Lời giải:

a. (x + 2y)2 = x2 + 4xy + 4y2

b. (x – 3y)(x + 3y) = x2 – (3y)2 = x2 – 9y2

c. (5 – x)2 = 52 – 10x + x2 = 25 – 10x + x2

Bài 12 trang 7 SBT Toán 8 Tập 1: Tính:

a. (x – 1)2

b. (3 – y)2

c. (x – 1/2 )2

Lời giải:

a. (x – 1)2 = x2 –2x + 1

b. (3 – y)2 = 9 – 6y + y2

c. (x – 1/2 )2 = x2 – x + 1/4

Bài 13 trang 7 SBT Toán 8 Tập 1: Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương một tổng:

a. x2 + 6x + 9

b. x2 + x + 1/4

c.2xy2 + x2y4 + 1

Lời giải:

a. x2 + 6x + 9 = x2 + 2.x.3 + 32 = (x + 3)2

b. x2 + x + 1/4 = x2 + 2.x.1/2 + (1/2 )2 = (x + 1/2 )2

c. 2xy2 + x2y4 + 1 = (xy2)2 + 2.xy2.1 + 12 = (xy2 + 1)2

Bài 14 trang 7 SBT Toán 8 Tập 1: Rút gọn biểu thức:

a. (x + y)2 + (x – y)2

b. 2(x – y)(x + y) + (x + y)2 + (x – y)2

c. (x – y + z)2 + (z – y)2 + 2(x – y + z)(y – z)

Lời giải:

a. (x + y)2 + (x – y)2

      = x2 + 2xy + y2 + x2 – 2xy + y2

      = 2x2 + 2y2

b. 2(x – y)(x + y) + (x + y)2 + (x – y)2

      = [(x + y) + (x – y)]2 = (2x)2 = 4x2

c. (x – y + z)2 + (z – y)2 + 2(x – y + z)(y – z)

      = (x – y + z)2 + 2(x – y + z)(y – z) + (y – z)2

      = [(x – y + z) + (y – z)]2 = x2

Bài 15 trang 7 SBT Toán 8 Tập 1: Biết số tự nhiên a chia cho 5 dư 4. Chứng minh rằng a2 chia cho 5 dư 1.

Lời giải:

Số tự nhiên a chia cho 5 dư 4, ta có: a = 5k + 4 (k ∈N)

Ta có: a2 = (5k + 4)2

      = 25k2 + 40k + 16

      = 25k2 + 40k + 15 + 1

      = 5(5k2 + 8k +3) +1

Ta có: 5(5k2 + 8k + 3) ⋮ 5

Vậy a2 = (5k + 4)2 chia cho 5 dư 1.

Bài 16 trang 7 SBT Toán 8 Tập 1: Tính giá trị của biểu thức sau:

a. x2 – y2 tại x = 87 và y = 13

b. x3 – 3x2 + 3x – 1 tại x = 101

c. x3 + 9x2+ 27x + 27 tại x = 97

Lời giải:

a. Ta có: x2 – y2 = (x + y)(x – y)

Thay x = 87, y = 13, ta được:

x2 – y2 = (x + y)(x – y)

      = (87 + 13)(87 – 13)

      = 100.74 = 7400

b. x3 – 3x2 + 3x – 1 tại x = 101.

= x3 – 3.x2.1 + 3.1.x – 13 = (x-1)3

= (101 – 1)3 = 1003 = 1000000

c. Ta có: x3 + 9x2 + 27x + 27

      = x3 + 3.x2.3 + 3.x.32 + 33

      = (x + 3)3

Thay x = 97, ta được: (x + 3)3 = (97 + 3)3 = 1003 = 1000000

Bài 17 trang 7 SBT Toán 8 Tập 1: Chứng minh rằng:

a. (a + b)(a2 – ab + b2) + (a – b)(a2 + ab + b2) = 2a3

b. (a + b)[(a – b)2 + ab] = (a + b)[a2 – 2ab + b2 + ab] = a3 + b3

c. (a2 + b2)(c2 + d2) = (ac + bd)2 + (ad – bc)2

Lời giải:

a. Biến đổi vế trái ta có:

VT = (a + b)(a2 – ab + b2) + (a – b)(a2 + ab + b2)

= a3 + b3 + a3 – b3 = 2a3 = VP

Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.

b. Biến đổi vế trái ta có:

VT = (a + b)[(a – b)2 + ab] = (a + b)[a2 – 2ab + b2 + ab]

= (a + b)(a2 – 2ab + b2) = a3 + b3 = VP

Vế phải bằng vế trái nên đẳng thức được chứng minh.

c. Biến đổi vế trái ta có:

VT = (ac + bd)2 + (ad – bc)2

= a2c2 + 2abcd + b2d2 + a2d2 – 2abcd + b2c2

= a2c2 + b2d2 + a2d2 + b2c2 = c2(a2 + b2) + d2(a2 + b2)

= (a2 + b2)(c2 + d2) = VP

Vế phải bằng vế trái nên đẳng thức được chứng minh.

Bài 18 trang 7 SBT Toán 8 Tập 1: Chứng tỏ rằng:

a. x2 – 6x + 10 > 0 với mọi x

b. 4x – x2 – 5 < 0 với mọi x

Lời giải:

a. Ta có: x2 – 6x + 10 = x2 – 2.x.3 + 9 + 1 = (x – 3)2 + 1

Vì (x – 3)2 ≥ 0 với mọi x nên (x – 3)2 + 1 > 0 mọi x

Vậy x2 – 6x + 10 > 0 với mọi x.

b. Ta có: 4x – x2 – 5 = -(x2 – 4x + 4) – 1 = -(x – 2)2 -1

Vì (x – 2)2 ≥ 0 với mọi x nên –(x – 2)2 ≤ 0 với mọi x.

Suy ra: -(x – 2)2 -1 ≤ 0 với mọi x

Vậy 4x – x2 – 5 < 0 với mọi x.

Bài 19 trang 7 SBT Toán 8 Tập 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các đa thức:

a. P = x2 – 2x + 5

b. Q = 2x2 – 6x

c. M = x2 + y2 – x + 6y + 10

Lời giải:

a. Ta có: P = x2 – 2x + 5 = x2 – 2x + 1 + 4 = (x – 1)2 + 4

Vì (x – 1)2 ≥ 0 nên (x – 1)2 + 4 ≥ 4

Suy ra: P = 4 là giá trị bé nhất ⇒ (x – 1)2 = 0 ⇒ x = 1

Vậy P = 4 là giá trị bé nhất của đa thức khi x = 1.

b. Ta có: Q = 2x2 – 6x = 2(x2 – 3x) = 2(x2 – 2.3/2 x + 9/4 – 9/4 )

      = 2[(x – 2/3 ) – 9/4 ] = 2(x – 2/3 )2 – 9/2

Vì (x – 2/3 )2 ≥ 0 nên 2(x – 2/3 )2 ≥ 0 ⇒ 2(x – 2/3 )2 – 9/2 ≥ – 9/2

Suy ra: Q = – 9/2 là giá trị nhỏ nhất ⇒ (x – 2/3 )2 = 0 ⇒ x = 2/3

Vậy Q = – 9/2 là giá trị nhỏ nhất của đa thức khi x = 2/3 .

c. Ta có: M = x2 + y2 – x + 6y + 10 = (y2 + 6y + 9) + (x2 – x + 1)

      = (y + 3)2 + (x2 – 2.1/2 x + 1/4 + 3/4 ) = (y + 3)2 + (x – 1/2 )2 + 3/4

Vì (y + 3)2 ≥ 0 và (x – 1/2 )2 ≥ 0 nên (y + 3)2 + (x – 1/2 )2 ≥ 0

⇒ (y + 3)2 + (x – 12 )2 + 3/4 ≥ 3/4

⇒ M = 3/4 là giá trị nhỏ nhất khi (y + 3)2 =0

⇒ y = -3 và (x – 1/2 )2 = 0 ⇒ x = 1/2

Vậy M = 3/4 là giá trị nhỏ nhất tại y = -3 và x = 1/2

Bài 20 trang 7 SBT Toán 8 Tập 1: Tìm giá trị lớn nhất của đa thức:

a. A = 4x – x2 + 3

b. B = x – x2

c. N = 2x – 2x2 – 5

Lời giải:

a. Ta có: A = 4x – x2 + 3

      = 7 – x2 + 4x – 4

      = 7 – (x2 – 4x + 4)

      = 7 – (x – 2)2

Vì (x – 2)2 ≥ 0 nên A = 7 – (x – 2)2 ≤ 7

Vậy giá trị của A lớn nhất là 7 tại x = 2

b. Ta có: B = x – x2

      = 1/4 – x2 + x – 1/4

      = 1/4 – (x2 – 2.x. 1/2 + 1/4 )

      = 1/4 – (x – 1/2 )2

Vì (x – 1/2 )2 ≥ 0 nên B = 1/4 – (x – 1/2 )2 ≤ 1/4

Vậy giá trị lớn nhất của B là 1/4 tại x = 1/2 .

c. Ta có: N = 2x – 2x2 – 5

      = – 2(x2 – x + 5/2 )

      = – 2(x2 – 2.x. 1/2 + 1/4 + 9/4 )

      = – 2[(x – 1/2 )2 + 9/4 ]

      = – 2(x – 1/2 )2 – 9/2

Vì (x – 1/2 )2 ≥ 0 nên – 2(x – 1/2 )2 ≤ 0

Suy ra: N = – 2(x – 1/2 )2 – 9/2 ≤ – 9/2

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức N là – 9/2 tại x = 1/2 .

Bài 3.1 trang 8 SBT Toán 8 Tập 1: Cho x2 + y2 = 26 và xy = 5, giá trị của (x-y)2 là:

A. 4

B. 16

C. 21

D. 36

Lời giải:

Chọn B

Bài 3.2 trang 8 SBT Toán 8 Tập 1: Kết quả của tích (a2 + 2a + 4)(a − 2) là:

A. (a+2) 3 B. (a-2) 3 C. a 3 + 8 D. a 3 − 8

Lời giải:

Chọn D. a3 − 8

Bài 3.3 trang 8 SBT Toán 8 Tập 1: Rút gon các biểu thức:

a) P = (5x − 1) + 2(1 − 5x)(4 + 5x) + (5x+4) 2

b) Q = (x-y) 3 + (y+x) 3 + (y-x) 3 – 3xy(x + y)

Lời giải:

a. P = (5x − 1) + 2(1 − 5x)(4 + 5x) + (5x + 4) 2

      = 5x – 1 + 8 + 10x – 40x – 50x2 + 25x2 + 40x + 16

      = -25x2 + 15x + 23

b. Q = (x-y) 3 + (y+x)3 + (y-x)3 – 3xy(x + y)

      = x3 – 3x2y + 3y2x – y3 + x3 + 3x2y + 3y2x + y3 + y3 – 3x2y + 3y2x – x3– 3x2y – 3y2x

      = x3 + y3

Bài 3.4 trang 8 SBT Toán 8 Tập 1: Rút gọn biểu thức:

P = 12(52 + 1)(54 + 1)(58 + 1)(516 + 1)

Lời giải:

P = 1/2 (52 + 1)(54 + 1)(58 + 1)(516 + 1)

      = 1/2 (52 + 1)( 52 – 1)( 54 + 1)( 54 + 1)( 58 + 1)(516 + 1)

      = 1/2 (54 – 1)( 54 + 1)( 58 + 1)(516 + 1)

      = 1/2 ( 58 – 1)( 58 + 1)(516 + 1)

      = 1/2 (516 – 1)(516 + 1) = 1/2 (532 – 1)

Bài 3.5 trang 8 SBT Toán 8 Tập 1: Chứng minh hằng đẳng thức:

(a+b+c)3= a3 + b3 + c3 + 3(a+b)(b+c)(c+a)

Lời giải:

Biến đổi vế trái:

(a+b+c)3= [(a+b)+c]3 = (a+b)3+3(a+b)2 c+3(a+b)2 c2+c3

      = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 + 3(a2 + 2ab + b2)c + 3ac2 + 3bc2 + c3

      = a3 + b3 + c3 + 3a2b + 3ab2 + 3a2c + 6abc + 3b2c + 3ac2 + 3bc2

      = a3 + b3 + c3 + 3ab(a + b) + 3ac(a + b) + 3bc(a + b) + 3c2(a + b)

      = a3 + b3 + c3 + 3(a + b)(ab + ac + bc + c2)

      = a3 + b3 + c3 + 3(a + b)[a(b + c) + c(b + c)]

      = a3 + b3 + c3 + 3(a + b)(b + c)(a + c)

 

Bài giải này có hữu ích với bạn không?

Bấm vào một ngôi sao để đánh giá!

Action: Post ID: Post Nonce: ☆ ☆ ☆ ☆ ☆ Processing your rating... Đánh giá trung bình {{avgRating}} / 5. Số lượt đánh giá: {{voteCount}} {{successMsg}} {{#errorMsg}} {{.}} {{/errorMsg}} There was an error rating this post!

Đánh giá trung bình 4 / 5. Số lượt đánh giá: 1136

Chưa có ai đánh giá! Hãy là người đầu tiên đánh giá bài này.