Bài 3. Tích Của Vectơ Với Một Số - Củng Cố Kiến Thức

1. Định nghĩa

Cho số $k \ne 0$ và vectơ $\overrightarrow a \ne 0$. Tích của vectơ $\overrightarrow a $ với số k là một vectơ, kí hiệu là $k\overrightarrow a $, cùng hướng với $\overrightarrow a $ nếu k > 0, ngược hướng với $\overrightarrow a $ nếu k < 0 và có độ dài bằng $\left| k \right|\left| {\overrightarrow a } \right|$.

Ta quy ước $0\overrightarrow a = \overrightarrow 0 ,k\overrightarrow 0 = \overrightarrow 0 $.

Người ta còn gọi tích của vectơ với một số là tích của một số với một vectơ.

2. Tính chất

Với hai vectơ $\overrightarrow a $ và $\overrightarrow b $ bất kì, với mọi số h và k, ta có:

$\begin{gathered} k\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right) = k\overrightarrow a + k\overrightarrow b ; \hfill \\ \left( {h + k} \right)\overrightarrow a = h\overrightarrow a + k\overrightarrow a ; \hfill \\ h\left( {k\overrightarrow a } \right) = \left( {hk} \right)\overrightarrow a ; \hfill \\ 1.\overrightarrow a = \overrightarrow a ,\left( { - 1} \right).\overrightarrow a = - \overrightarrow a \hfill \\ \end{gathered} $

3. Trung điểm của đoạn thẳng và trọng tâm của tam giác

a) Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì với mọi điểm M ta có $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = 2\overrightarrow {MI} $.

b) Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì với mọi điểm M ta có $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = 3\overrightarrow {MG} $.

4. Điều kiện để hai vectơ cùng phương

Điều kiện cần và đủ để hai vectơ $\overrightarrow a $ và $\overrightarrow b $ ($\overrightarrow b \ne 0$)cùng phương là cố một số k để $\overrightarrow a = k\overrightarrow b $.

Thật vậy, nếu $\overrightarrow a = k\overrightarrow b $ thì hai vectơ $\overrightarrow a $ và $\overrightarrow b $ cùng phương.

Ngược lại, giả sử $\overrightarrow a $ và $\overrightarrow b $ cùng phương. Ta lấy $k = \frac{{\left| {\overrightarrow a } \right|}}{{\left| {\overrightarrow b } \right|}}$ nếu $\overrightarrow a $ và $\overrightarrow b $ cùng hướng và lấy $k = - \frac{{\left| {\overrightarrow a } \right|}}{{\left| {\overrightarrow b } \right|}}$ nếu $\overrightarrow a $ và $\overrightarrow b $ ngược hướng. Khi đó ta có $\overrightarrow a = k\overrightarrow b $.

Nhận xét

Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi có số k khác 0 để $\overrightarrow {AB} = k\overrightarrow {AC} $.

5. Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương

Cho $\overrightarrow a = \overrightarrow {OA} ,\overrightarrow b = \overrightarrow {OB} $ là hai vectơ không cùng phương và $x = \overrightarrow {OC} $ là một vectơ tùy ý. Kẻ CA' // OB và CB' // OA.

Khi đó$\overrightarrow x = \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OA'} + \overrightarrow {OB'} .$ Vì $\overrightarrow {OA'} $ và $\overrightarrow a $là hai vectơ cùng phương nên có số h để $\overrightarrow {OA'} = h\overrightarrow a $. Vì $\overrightarrow {OB'} $ và $\overrightarrow b $ cùng phương nên có số k để $\overrightarrow {OB'} = k\overrightarrow b $.

Vậy $\overrightarrow x = h\overrightarrow a + k\overrightarrow b $.

Khi đó ta nói vectơ $\overrightarrow x $ được phân tích (hay còn được gọi là biểu thị) theo hai vectơ không cùng phương $\overrightarrow a $ và $\overrightarrow b $.

Một cách tổng quát người ta chứng minh được mệnh đề quan trọng sau đây :

Cho hai vectơ $\overrightarrow a $ và $\overrightarrow b $ không cùng phương. Khi đó mọi vectơ $\overrightarrow x $ đều phân tích được một cách duy nhất theo hai vectơ $\overrightarrow a $ và $\overrightarrow b $, nghĩa là có duy nhất cặp số h, k sao cho $\overrightarrow x = h\overrightarrow a + k\overrightarrow b $.