Bài 3 Trang 156 SGK Đại Số Và Giải Tích 11 - Môn Toán - Tìm đáp án,

Tính (bằng định nghĩa) đạo hàm của mỗi hàm số sau tại các điểm đã chỉ ra:

LG a

\(y = x^2+ x\) tại \(x_0= 1\)

Phương pháp giải:

Bước 1: Giả sử \(\Delta x\) là số gia của đối số tại \(x_0\), tính \(\Delta y = f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right)\).

Bước 2: Lập tỉ số \(\dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\).

Bước 3: Tìm \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\).

Kết luận \(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\).

Lời giải chi tiết:

Giả sử \(∆x\) là số gia của số đối tại \(x_0 = 1\). Ta có:

\(\begin{array}{l}\Delta y = f\left( {1 + \Delta x} \right) - f\left( 1 \right)\\\,\,\,\,\,\, = {\left( {1 + \Delta x} \right)^2} + \left( {1 + \Delta x} \right) - {1^2} - 1\\\,\,\,\,\, = 1 + 2\Delta x + {\left( {\Delta x} \right)^2} + 1 + \Delta x - 2\\\,\,\,\,\, = \Delta x\left( {\Delta x + 3} \right)\\\Rightarrow \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \Delta x + 3\\\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left( {\Delta x + 3} \right) = 3\end{array}\)

Vậy \(f'(1) = 3\).

Cách khác:

\(\begin{array}{l}f\left( x \right) = {x^2} + x \Rightarrow f\left( 1 \right) = 2\\\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}}\\= \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{{x^2} + x - 2}}{{x - 1}}\\= \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{x - 1}}\\= \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {x + 2} \right)\\= 1 + 2\\= 3\\\Rightarrow f'\left( 1 \right) = 3\end{array}\)

LG b

\(y =  \dfrac{1}{x}\) tại \(x_0= 2\)

Lời giải chi tiết:

Giả sử \(∆x\) là số gia của số đối tại \(x_0= 2\). Ta có:

\(\begin{array}{l}\Delta y = f\left( {2 + \Delta x} \right) - f\left( 2 \right)\\\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{{2 + \Delta x}} - \dfrac{1}{2}\\\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{2 - 2 - \Delta x}}{{2\left( {2 + \Delta x} \right)}} = \dfrac{{ - \Delta x}}{{2\left( {2 + \Delta x} \right)}}\\\Rightarrow \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \dfrac{{ - 1}}{{2\left( {2 + \Delta x} \right)}}\\\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left( {\dfrac{{ - 1}}{{2\left( {2 + \Delta x} \right)}}} \right) = \dfrac{{ - 1}}{{2.2}} = - \dfrac{1}{4}\end{array}\)

Vậy \(f'(2) = -   \dfrac{1}{4}\).

Cách khác:

\(\begin{array}{l}f\left( x \right) = \dfrac{1}{x} \Rightarrow f\left( 2 \right) = \dfrac{1}{2}\\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 2 \right)}}{{x - 2}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{2}}}{{x - 2}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{\dfrac{{2 - x}}{{2x}}}}{{ - \left( {2 - x} \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( { - \dfrac{1}{{2x}}} \right)\\ = - \dfrac{1}{{2.2}} = - \dfrac{1}{4}\\ \Rightarrow f'\left( 2 \right) = - \dfrac{1}{4}\end{array}\)

LG c

\(y = \dfrac{x+1}{x-1}\) tại \(x_0 = 0\)

Lời giải chi tiết:

Giả sử \(∆x\) là số gia của số đối tại \(x_0= 0\).Ta có:

\(\begin{array}{l}\Delta y = f\left( {\Delta x} \right) - f\left( 0 \right)\\\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{\Delta x + 1}}{{\Delta x - 1}} - \dfrac{{0 + 1}}{{0 - 1}}\\\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{\Delta x + 1}}{{\Delta x - 1}} + 1\\\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{\Delta x + 1 + \Delta x - 1}}{{\Delta x - 1}} = \dfrac{{2\Delta x}}{{\Delta x - 1}}\\\Rightarrow \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \dfrac{2}{{\Delta x - 1}}\\\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left( {\dfrac{2}{{\Delta x - 1}}} \right) = \dfrac{2}{{ - 1}} = - 2\end{array}\)

Vậy \(f'(0) = -2\).

Cách khác:

\(\begin{array}{l}f\left( x \right) = \dfrac{{x + 1}}{{x - 1}} \Rightarrow f\left( 0 \right) = - 1\\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\dfrac{{x + 1}}{{x - 1}} + 1}}{x}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\dfrac{{x + 1 + x - 1}}{{x - 1}}}}{x}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\dfrac{{2x}}{{x - 1}}}}{x}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{2}{{x - 1}}\\ = \dfrac{2}{{0 - 1}} = - 2\\ \Rightarrow f'\left( 0 \right) = - 2\end{array}\)