Bài 4: Ma Trận Nghịch đảo - Hoc247

1. Định lý

Cho A, B là 2 ma trận vuông cùng cấp, ta có

det(A.B) = detA.detB

2. Ma trận nghịch đảo

Ma trận vuông A cấp n gọi là khả đảo (hay khả nghịch) nếu tồn tại ma trận vuông X cấp n sao cho:

\(AX=XA=I_n\)

Khi đó, X được gọi là ma trận nghịch đảo (hay ma trận đảo) của A, ký hiệu là \(A^{-1}\).

Với A,B là hai ma trận vuông cùng cấp, ta có :

\((i) (A^{-1})^{-1}=A \)

\((ii) (A^{t})^{-1}=(A^{-1})^{t} \)

\((iii) (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\)

A là ma trận khả nghịch, ta nói rằng A là một ma trận không suy biến.

3. Phương pháp tìm ma trận nghịch đảo.

Cho A là một ma trận vuông. Ta có hai phương pháp tìm ma trận nghịch đảo của A.

Cách 1 (dùng phép biến đổi sơ cấp):

Để tìm ma trận đảo, nếu có, của ma trận vuông A cấp ra, ta lập ma trận \((A|I_n)\) cấp n x 2n, trong đó \(I_n\) là ma trận đơn vị cấp n, rồi dùng phép biến đổi sơ cấp trên dòng đưa \((A|I_n)\) về dạng bậc thang thu gọn. Nếu ở dạng bậc thang thu gọn, A biến thành \(I_n\) thì \(I_n\) biến thành \(A^{-1}\). Nếu R(A) < n thì A không khả đảo.

Cách 2 (dùng định thức):

Nếu A không suy biến ta tìm nghịch đảo của A theo các bước sau:

Tính |A| .

Tìm ma trận các phần bù đại số của A:

\(\left( {{A_{{\rm{ij}}}}} \right) = \left( \begin{array}{l} {A_{11}} \cdots {A_{1n}}\\ \vdots \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \,\,\,\, \vdots \\ {A_{n1}} \cdots \,{A_{nn}} \end{array} \right)\)

Tìm ma trận phụ hợp, là chuyển vị của ma trận trên: Ký hiệu \(P_A=(A_{ij})^t\)

Tính ma trận nghịch đảo theo công thức:

\({A^{ - 1}} = \frac{1}{{\left| A \right|}}{\left( {{A_{{\rm{ij}}}}} \right)^t} = \frac{1}{{\left| A \right|}}{P_A}\)

Ví dụ: Tìm ma trận đảo của ma trận sau đây (nếu có)

\(A = \left( \begin{array}{l} 1\,\,\,\,2\,\,\,0\\ 2\,\,\,9\,\,\,1\,\\ 1\,\,\,1\,\,\,\,2 \end{array} \right)\)

Giải:

Cách 1:

Ta có:

Vậy \({A^{ - 1}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{17}}{{11}}}&{ - \frac{4}{{11}}}&{\frac{2}{{11}}}\\ { - \frac{3}{{11}}}&{\frac{2}{{11}}}&{ - \frac{1}{{11}}}\\ { - \frac{7}{{11}}}&{\frac{1}{{11}}}&{\frac{5}{{11}}} \end{array}} \right)\)

Cách 2:

Ta có \(\left| A \right| = 11 \ne 0\)

Ma trận phụ hợp của A là: \({P_A} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {17}&{ - 4}&2\\ { - 3}&2&{ - 1}\\ { - 7}&1&5 \end{array}} \right)\)

Do đó ma trận nghịch đảo của A là

\({A^{ - 1}} = \frac{1}{{\left| A \right|}}{P_A} = \frac{1}{{11}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {17}&{ - 4}&2\\ { - 3}&2&{ - 1}\\ { - 7}&1&5 \end{array}} \right)\)

Vi dụ: Tìm ma trận đảo (nếu có) của ma trận \(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&1&3\\ 3&1&2\\ 1&0&{ - 1} \end{array}} \right)\)

Giải

Vì |A| = 0 nên A là ma trận không khả nghịch.

4. Phương trình ma trận.

(i) Với A khả đảo:

\(\begin{array}{l} {A_{n\,x\,m}}{X_{n\,x\,k}} = {B_{n\,x\,k}} \Leftrightarrow {A^{ - 1}}{\rm{(AX}}) = {A^{ - 1}}B\\ \Leftrightarrow ({A^{ - 1}}A)X = {A^{ - 1}}B \Leftrightarrow {I_n}X = {A^{ - 1}}B\\ \Leftrightarrow X = {A^{ - 1}}B \end{array}\)

(ii) Với A khả đảo :

\(\begin{array}{l} {X_{n\,x\,k}}{A_{n\,x\,m}} = {B_{n\,x\,k}} \Leftrightarrow {\rm{(XA}}){A^{ - 1}} = B{A^{ - 1}}\\ \Leftrightarrow X(A{A^{ - 1}}) = B{A^{ - 1}} \Leftrightarrow X{I_n} = B{A^{ - 1}}\\ \Leftrightarrow X = B{A^{ - 1}} \end{array}\)

(iii) Với A, B khả đảo:

\({\begin{array}{*{20}{l}} {{A_{m{\kern 1pt} x{\kern 1pt} m}}{X_{m{\kern 1pt} x{\kern 1pt} n}}{B_{n{\kern 1pt} x{\kern 1pt} n}} = {C_{m\,\,x\,n}} \Leftrightarrow {A^{ - 1}}({\rm{AXB}}){B^{ - 1}} = {A^{ - 1}}CB}\\ \begin{array}{l} \Leftrightarrow ({A^{ - 1}}A)X(B{B^{ - 1}}) = {A^{ - 1}}C{B^{ - 1}}\\ \Leftrightarrow {I_m}X{I_n} = {A^{ - 1}}C{B^{ - 1}} \Leftrightarrow X = {A^{ - 1}}C{B^{ - 1}} \end{array}\\ {} \end{array}^{ - 1}}\)

Ví dụ : Tìm ma trận X thỏa XA = B với

\(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{\,\,0}&2\\ 2&{ - 1}&3\\ 4&1&8 \end{array}} \right)\) và \(B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{\,\, - 2}&{ - 1}\\ 2&1&3\\ \begin{array}{l} 0\\ 0 \end{array}&\begin{array}{l} - 1\\ 1 \end{array}&\begin{array}{l} 2\\ 3 \end{array} \end{array}} \right)\)

Giải

Ta có:

\((A|I) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 0}&2\\ 2&{ - 1}&3\\ 4&1&8 \end{array}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 0}&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{array}} \right.} \right)\)

Vậy \({A^{ - 1}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 11}&{{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 2}&2\\ { - 4}&0&1\\ 6&{ - 1}&{ - 1} \end{array}} \right)\)

Do đó \(X = B{A^{ - 1}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} - 2}&{ - 1}\\ 2&1&3\\ \begin{array}{l} 0\\ 0 \end{array}&\begin{array}{l} - 1\\ 1 \end{array}&\begin{array}{l} 2\\ 3 \end{array} \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 11}&{{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 2}&2\\ { - 4}&0&3\\ 6&{ - 1}&{ - 1} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 9}&{{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 3}&1\\ { - 8}&1&2\\ \begin{array}{l} 16\\ 14 \end{array}&\begin{array}{l} - 2\\ - 3 \end{array}&\begin{array}{l} - 3\\ - 2 \end{array} \end{array}} \right)\)