Bài 4: Phép đối Xứng Tâm - Tìm đáp án, Giải Bài Tập, để Học Tốt
Có thể bạn quan tâm
1. Phép đối xứng tâm
a) Định nghĩa
Ký hiệu: ĐI
- I gọi là tâm đối xứng.
- Nếu ĐI(H) = H’ thì ta gọi H đối xứng với H’ qua tâm I hay H và H’ đối xứng nhau qua tâm I.
- Ta có: ĐI(M) = M’\( \Leftrightarrow \overrightarrow {IM'} = - \overrightarrow {IM} \)
b) Biểu diễn ảnh qua phép đối xứng tâm
Ví dụ: Cho tam giác ABC và điểm I. Hãy biểu diễn ảnh A’B’C’ của ABC qua phép đối xứng tâm I.
ĐI(ABC) = A’B’C’.
c) Chú ý
Ta có: ĐI(M) = M’ ⇔ ĐI(M’) = M.
Chứng minh: ĐI(M) = M’
\( \Leftrightarrow \overrightarrow {IM'} = - \overrightarrow {IM} \Leftrightarrow \overrightarrow {IM} = - \overrightarrow {IM'} \)
\(\Leftrightarrow \) ĐI(M’) = M.
2. Biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm
a) Biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua gốc tọa độ
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho M(x;y), gọi độ M’(x’;y’) là ảnh của M qua phép đối xứng tâm O ta có:
ĐO(M) = M’ thì: \(\left\{ \begin{array}{l}x' = - x\\y' = - y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' = - x\\y' = - y\end{array} \right.\)
b) Biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm bất kì
Trong hệ tọa độ Oxy, cho:
\(E(a;b),\,M\left( {{x_0};{y_0}} \right).\)
ĐE(M) = M’(x0’;y0’) có biểu thức tọa độ:
\(\left\{ \begin{array}{l}x{'_0} = 2a - {x_0}\\y{'_0} = 2a - {y_0}\end{array} \right..\)
3. Tính chất
Tính chất 1:
Nếu ĐI(M) = M’ và ĐI(N) = N’ thì:
\(\left\{ \begin{array}{l}M'N' = MN\\\overrightarrow {M'N'} = - \overrightarrow {MN} \end{array} \right.\)
Nếu ba điểm M, N, P thẳng hàng theo thứ tự thì qua phép đối xứng tâm biến thành M’, N’, P’ tương ứng cũng thẳng hàng theo thứ tự đó.
Tính chất 2:
Phép đối xứng tâm biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
4. Tâm đối xứng của một hình
Điểm I được gọi là tâm đối xứng của hình H nếu phép đối xứng qua I biến H thành chính nó.
\( \Rightarrow \) Ta gọi H là hình có tâm đối xứng.
5. Bài tập minh họa
Ví dụ 1:
Cho A(-1;3), \(d:x - 2y + 3 = 0.\) Tìm ảnh của điểm A và d qua phép đối xứng tâm O.
Lời giải:
Ta có: A’ = ĐO(A) suy ra A’(1;-3).
Tìm ảnh của d qua phép đối xứng tâm O.
Cách 1:
Lấy \(M\left( {x,y} \right) \in d \Rightarrow \) ĐO(M) = M’ có tọa độ: \(\left\{ \begin{array}{l}x' = - x\\y' = - y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - x'\\y = - y'\end{array} \right. \)
\(\Rightarrow M( - x', - y')\)
\(M \in d \Rightarrow ( - x') - 2( - y') + 3 = 0 \)
\(\Leftrightarrow x' - 2y' - 3 = 0.\)
Vậy phương trình d’ là: \(x - 2y - 3 = 0.\)
Cách 2:
d’ là ảnh của d qua phép đối xứng tâm suy ra d’ song song hoặc trùng với d.
Suy ra phương trình d’ có dạng: \(x - 2y + m = 0.\)
Ta có: \(M(3;0) \in d\)
ĐO(M) = M’(x’,y’) với: \(\left\{ \begin{array}{l}x' = - {x_M} = - 3\\y' = - {y_M} = 0\end{array} \right.\)
\(M' \in d' \Rightarrow 3 - 2.0 + m = 0 \Leftrightarrow m = - 3.\)
Vậy phương trình của d’ là: \(x - 2y - 3 = 0.\)
Ví dụ 2:
Cho đường tròn \((C):{(x + 2)^2} + {(y - 1)^2} = 1.\) Viết phương trình (C’) là ảnh của (C) qua phép đối xứng tâm O(0;0).
Lời giải:
Đường tròn (C) có tâm I(-2;1) bán kính R = 1.
Gọi I’, R’ lần lượt là tâm và bán kính (C’) ta có: R’ = R = 1.
I’ = ĐO(I) suy ra: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_I}' = - {x_I} = 2\\{y_I}' = - {y_I} = - 1\end{array} \right.\)
Vậy phương trình đường tròn (C’) là: \({(x - 2)^2} + {(y + 1)^2} = 1.\)
Ví dụ 3:
Cho \(I\left( {2; - 3} \right)\), \(d:3x + 2y - 1 = 0.\) Viết phương trình d’ là ảnh của d qua phép đối xứng tâm I.
Lời giải:
Lấy \(M\left( {x,y} \right) \in d \Rightarrow \) ĐI(M) = M’ có tọa độ: \(\left\{ \begin{array}{l}x' = 4 - x\\y' = - 6 - y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4 - x'\\y = - 6 - y'\end{array} \right. \)
\(\Rightarrow M(4 - x', - 6 - y')\)
\(M \in d \Rightarrow 3(4 - x') + 2( - 6 - y') - 1 = 0 \)
\(\Leftrightarrow - 3x' - 2y' - 1 = 0\)
\(\Leftrightarrow 3x' + 2y' + 1 = 0.\)
Vậy phương trình d’ là: \(3x + 2y + 1 = 0.\)
Từ khóa » Các Bài Toán Về đối Xứng Tâm Lớp 11
-
Các Bài Toán Về Phép đối Xứng Tâm Và Cách Giải
-
Các Dạng Toán Phép đối Xứng Tâm
-
Phép đối Xứng Tâm – Bài Tập Hình Học Lớp 11
-
Phép đối Xứng Tâm, Trắc Nghiệm Toán Học Lớp 11 - Baitap123
-
Phép Đối Xứng Tâm - Toán 11
-
Toán 11 Bài 4: Đối Xứng Tâm
-
Hình Học 11 Bài 4: Phép đối Xứng Tâm - HOC247
-
Bài Tập Phép đối Xứng Tâm Toán 11 Có Lời Giải
-
Phép Đối Xứng Tâm: Lý Thuyết, Công Thức Và Bài Tập (Có Đáp Án)
-
Lý Thuyết, Các Dạng Toán Và Bài Tập Phép đối Xứng Tâm
-
Sách Giải Bài Tập Toán Lớp 11 Bài 4: Phép Đối Xứng Tâm
-
Bài Tập 1,2,3 Trang 15 Hình Học 11: Phép đối Xứng Tâm
-
Phép đối Xứng Tâm - Giải Bài Tập SGK Toán 11
-
Đối Xứng Tâm - Lớp 11 - Thầy Nguyễn Thanh Tùng - YouTube