Bài 5. Đạo Hàm Cấp Hai - Củng Cố Kiến Thức

1. Đạo hàm cấp hai

Cho hàm số f có đạo hàm f’. Nếu f’ cũng có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp hai của hàm f và kí hiệu là f’’, tức là:

$f'' = \left( {f'} \right)'$

f' còn gọi là đạo hàm cấp một của hàm số f. Đạo hàm cấp hai của hàm số y = f(x) còn được kí hiệu là y’’.

Chú ý

* Đạo hàm cấp 3 của hàm số y = f(x) được định nghĩa tương tự và kí hiệu là y’’’ hoặc ${f^{\left( 3 \right)}}\left( x \right)$.

* Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp n – 1, kí hiệu là ${f^{\left( {n - 1} \right)}}\left( x \right)\left( {n \in N,n \ge 4} \right)$. Nếu ${f^{\left( {n - 1} \right)}}\left( x \right)$ có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp n của f(x), kí hiệu là ${y^n}$ hoặc ${f^{\left( n \right)}}\left( x \right)$.

${f^{\left( n \right)}}\left( x \right) = \left( {{f^{\left( {n - 1} \right)}}\left( x \right)} \right)'$.

2. Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai

Ta đã biết: Nếu một chất điểm chuyển động có phương trình s = s(t) thì vận tốc tại thời điểm ${t_0}$ của chất điểm đó là $v\left( {{t_0}} \right) = s'\left( {{t_0}} \right)$.

Nếu ${t_0}$ nhận một số gia $\Delta t$ thì $v\left( {{t_0}} \right)$ nhận một số gia $\Delta v = v\left( {{t_0} + \Delta t} \right) - v\left( {{t_0}} \right)$. Khi $\left| {\Delta t} \right|$ càng nhỏ (khác 0) thì $\Delta v$ càng phản ánh chính xác sự biến thiên vận tốc của chất điểm tại thời điểm ${t_0}$.

Trong cơ học, giới hạn hữu hạn (nếu có) của tỉ số $\frac{{\Delta v}}{{\Delta t}}$ khi $\Delta t$ dần đến 0 được gọi là gia tốc tức thời tại điểm ${t_0}$(hay gia tốc tại thời điểm ${t_0}$) của chất điểm đó, và được kí hiệu là $a\left( {{t_0}} \right)$. Vậy:

$a\left( {{t_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta t \to 0} \frac{{\Delta v}}{{\Delta t}}$

Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai được phát biểu như sau:

Gia tốc (tức thời) $a\left( {{t_0}} \right)$tại thời điểm ${t_0}$của một chất điểm chuyển động cho bởi phương trình s = s(t) bằng đạo hàm cấp hai của hàm số s = s(t)tại ${t_0}$, tức là:

$a\left( {{t_0}} \right) = s''\left( {{t_0}} \right)$