Bài 7 Trang 107 SGK Đại Số Và Giải Tích 11

Trang chủ » Dãy Số Nào Sau đây Là Dãy Số Bị Chặn Trên » Bài 7 Trang 107 SGK Đại Số Và Giải Tích 11

Có thể bạn quan tâm

LG a

\({u_n} = n + {1 \over n}\)

Phương pháp giải:

*) Xét hiệu \({u_{n + 1}} - {u_n}\).

Nếu hiệu trên dương thì dãy số là dãy số tăng.

Nếu hiệu trên âm thì dãy số là dãy số giảm.

Nếu hiệu trên bằng 0 thì dãy số là dãy không đổi.

*) Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số \(M\) sao cho \({u_n} \le M\,\,\forall n \in {N^*}\).

Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số \(m\) sao cho \({u_n} \ge m\,\,\forall n \in {N^*}\).

Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số \(M,m\) sao cho \(m \le {u_n} \le M\,\,\forall n \in {N^*}\).

Lời giải chi tiết:

Xét hiệu:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,{u_{n + 1}} - {u_n}\\= \left( {n + 1 + \frac{1}{{n + 1}}} \right) - \left( {n + \frac{1}{n}} \right)\\= n + 1 + \frac{1}{{n + 1}} - n - \frac{1}{n}\\= 1 + \frac{1}{{n + 1}} - \frac{1}{n}\\= \frac{{{n^2} + n + n - n - 1}}{{n\left( {n + 1} \right)}} = \frac{{{n^2} + n - 1}}{{n\left( {n + 1} \right)}} > 0\,\,\forall n \in {N^*}\end{array}\)

Do \(n^2+n-1 \ge 1^2+1-1=1>0\) và n(n+1) > 0 với \(\forall n\in N^*\)

Suy ra: \(u_n\) là dãy số tăng.

Mặt khác: \({u_n} = n + {1 \over n} \ge 2\sqrt {n.{1 \over n}}  = 2,\forall n \in {N^*}\) \(\Rightarrow u_n\) là dãy số bị chặn dưới.

Khi \(n\) càng lớn thì \(u_n\) càng lớn nên \(u_n\) là dãy số không bị chặn trên.

Vậy \(u_n\) là dãy số tăng và bị chặn dưới.

Từ khóa » Dãy Số Nào Sau đây Là Dãy Số Bị Chặn Trên