Bài Giảng Chương 4: Phân Tích Tín Hiệu Liên Tục Theo Thời Gian Biến ...

Bài giảng cung cấp cho người đọc các kiến thức: Biểu diễn tín hiệu không tuần hoàn dùng tích phân Fourier, một số dạng biến đổi, một số đặc tính của biến đổi Fourier, truyền tín hiệu qua hệ thống liên tục, tuyến tính, bất biến (LT-TT-BB),... Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

CHƯƠNG 4: PHÂN TÍCH TÍN HIỆU LIÊN TỤC THEO THỜI GIAN

BIẾN ĐỔI FOURIER

Nội dung

4.1 Biểu diễn tín hiệu không tuần hoàn dùng tích phân Fourier

4.2 Một số dạng biến đổi

4.3 Một số đặc tính của biến đổi Fourier

4.4 Truyền tín hiệu qua hệ thống liên tục, tuyến tính, bất biến (LT-TT-BB)

4.5 Mạch lọc lý tưởng và mach lọc thực tế

4.6 Năng lượng tín hiệu

4.7 Ứng dụng trong thông tin: Điều chế biên độ

4.8 Điều chế góc

4.9 Giới hạn dữ liệu: Hàm cửa sổ

4.10 Tóm tắt

Tài liệu tham khảo:

B.P Lathi, Signal Processing and Linear Systems, Berkeley-Cambridge Press, 1998

Trong chương 3, ta đã biểu diễn tín hiệu tuần hoàn thành dạng tổng các thành phần sin hay dạng mũ (không dừng) Chương này biểu diễn dạng phổ cho các tín hiệu không tuần hoàn

4.1 Biểu diễn tín hiệu không tuần hoàn dùng tích phân Fourier

Phép tính giới hạn chứng tõ tín hiệu không tuần hoàn biểu diễn được thành tổng liên tục (tích phân) của các hàm mũ không dừng Để biểu diễn tín hiệu không tuần hoàn f (t)trong hình 4.1 dùng các hàm mũ không dừng, ta tạo một tín hiệu tuần hoàn ( )

0 t

f T bằng cách lặp lại nhiều lần tín hiệu f (t) tại các thời khoảng T 0 giây như hình 4.1b Chu kỳ T 0 cần đủ lớn để tránh trùng lắp các tín hiệu Tín hiệu tuần hoàn ( )

t f t

T t D e

0( )  (4.1) Với 



2 / 0

0 0

0

0( )

1 T T

t jn T

n f t e dt T

D  (4.2a)

Và

0 0

2

T



  (4.2b)

0 T T

giống tích phân của f(t) trong khoảng

F() ( )  (4.3) Các phương trình (4.2c) và (4.3) cho:

1 ( 0)

0



n F T

tương đối của đường bao vẫn giữ như củ [tăng tỉ lệ với F() theo phương trình (4.3)] Trong giới hạn T0 , 0 0 và D n 0 Kết quả này có nghĩa là phổ rất đặc nên có thành phần phổ chỉ cách nhau khoảng zêrô (vô cùng bé) Trong thời gian này, biên độ của các thành phần là zêrô (vô cùng bé)

Thay phương trình (4.4) vào phương trình (4.1)

T

n F t

0

0

0)()

(4.5)

Khi T0 , 0 trở thành vô cùng bé (0 0) Nên ta sẽ thay 0 bằng một ý niệm thích hợp,

 Từ đó, viết lại phương trình (4.2b)

(0

2

1lim)(0

(4.6b) Tổng bên vế phải của phương trình (4.6b) có thể được xem là vùng diện tích của hàm j t

e

F()  , trong hình 4.3 Vậy

   





d e F t

2

1)( (4.7)

Tích phân bên vế phải được gọi là tích phân Fourier Về cơ bản thì tích phân này là chuỗi Fourier

(trong giới hạn) với tần số cơ bản 0, như trong phương trình (4.6) Số lượng các hàm mũ

t

jn

e  là F(n)/2 Nên hàm F() trong phương trình (4.3) hoạt động như hàm phổ

Ta gọi F() là biến đổi Fourier trực tiếp của f (t)và f (t) là biến đổi Fourier nghịch của





d e F t

2

1)( (4.8b)

Cần nhớ là tích phân Fourier trong phương trình (4.8b) là bản chất của chuỗi Fourier với tần số cơ bản 0(phương trình (4.6b) Do đó, hầu hết các tính chất của chuỗi Fourier đều dùng được cho biến đổi Fourier Có thể vẽ phổ F() theo  Do F() là phức, ta có phổ biên độ

và phổ pha theo

() () j F()

e F

F   (4.9) Trong đó F() là phổ biên độ và F() là góc (hay pha) của F() Từ phương trình (4.8a), ta có:

F() f(t)e jt dt

Vậy khi f (t) là hàm thực theo t, thì F() và F() là liên hợp Do đó:

F()  F() (4.10a)

F() F() (4.10b)

Do đó, với hàm thực f (t), thì phổ biên độ F() là hàm chẵn, và phổ pha F() là hàm lẻ theo

 Đặc tính này (đặc tính đối xứng liên hợp) chỉ đúng cho hàm thực f (t) Các kết quả này đã tìm

được trong phần phổ Fourier của tín hiệu tuần hoàn (phương trình 3.77), vậy biến đổi F() là đặc tính tần số của f (t)

j a dt e

dt e t u e

F



 (4.11a) Dạng cực

tan ( )

2 2

11

)

a F

2 2

1)

( (4.12) Phổ biên độ và phổ pha được vẽ trong hình 4.4b Ta thấy phổ biên độ là hàm chẵn và phổ pha

là hàm lẻ theo tần số  ■

Tồn tại của biến đổi Fourier

Trong thí dụ 4.1, ta thấy là khi a < 0, biến đổi Fourier của eat u (t)

không hội tụ Do đó, biến đổi Fourier của eat u (t)

không hội tụ nếu a < 0 (hàm mũ tăng) Tức là không phải mọi tín hiệu đều

có biến đổi Fourier Tồn tại của biến đổi Fourier cho hàm f (t) được bảo đãm nhờ điều kiện Dirichlet Điều kiện đầu tiên là

tín hiệu thực tế thường thỏa điều kiện Dirichlet nên có biến đổi Fourier Như thế, tồn tại thực tế của tín hiệu là điều kiện đủ để tồn tại biến đổi Fourier

Tính tuyến tính của biến đổi Fourier

Biến đổi Fourier là biến đổi tuyến tính, tức là nếu

f1(t)F1() và f2(t)F2() thì

a1f1(t)a2f2(t)a1F1()a2F2() (4.14)

Chứng minh đơn giản và lấy từ phương trình (4.8a) Kết quả mở rộng được khi có nhiều thừa số hơn nũa

4.1-1 Đánh giá thực tế về biến đổi Fourier

Để hiểu được các nét của biến đổi Fourier, ta cần nhớ là biểu diễn Fourier là phương thức biểu diễn tín hiệu thành các tín hiệu sin (hay mũ) không dừng Phổ Fourier của tín hiệu chỉ ra các biên độ và pha tương đối của các sóng sin cần thiết để tổng hợp tín hiệu này Phổ Fourier của tín hiệu tuần hoàn có các biên độ hữu hạn và tồn tại các tần số rời rạc (0 và các bội tần), phổ dạng này dễ nhận thấy, nhưng phổ tín hiệu không tuần hoàn không dễ nhìn thấy do có dạng phổ liên tục

Ý niệm phổ liên tục có thể hiễu được qua xem xét một hiện tượng tương đồng, hữu hình Một thí dụ về phân phối liên tục là tải của xà ngang Xét một xà ngang với tải là các đơn vị trọng lượng

,, ,

,

, 2 3

D tại các điểm cách đều nhaux1,x2,x3, ,x n, vẽ trong hình 4.5a Tải chung W T đặt

vào xà ngang là tổng của từng tải tại n điểm:





 n

i i

độ tải trên đơn vị dài của xà ngang Gọi F (x)là mật độ tải trên đơn vị dài của xà Theo đó thì tải trên chiều dài xà ngang là x (x 0) tại một điểm x là F(x)x Để tìm tải trên xà ngang, ta chia

xà ngang thành các khoảng cách nhau x (x 0) Tải của n đoạn có chiều dài x là F(nx)x

x x

T F n x x F x dx W

1 1

)()

(lim

0

Trường hợp tải rời rạc trong hình 4.5a, tải chỉ tồn tại ở n điểm rời rạc Các điểm khác không

có tải Nói cách khác, trong trường hợp tải liên tục, tải có tại mỗi điểm nhưng tại một điểm cụ thể

x, thì tải là zêrô Tuy nhiên, tải tại môt đoạn nhỏxlà F(nx)x (hình 4.5b) Do đó, dù tải tại một

điểm x là zêrô thì tải tương đối tại đó là F(x)

Lập luận tương tự cho trường hợp phổ tín hiệu Khi f (t)tuần hoàn thì phổ là rời rạc, và có thể viết f (t) thành tổng các hàm mũ rời rạc có biên độ hữu hạn:



n

t jn

n e D t

Khi tín hiệu không tuần hoàn, phổ trở thành liên tục; tức là phổ tồn tại cho từng giá trị của , nhưng biên độ của mỗi thành phần trong phổ là zêrô Đo lường có nghĩa trong trường hợp này không phải là biên độ của thành phần tại một số tần số mà là mật độ phổ trên đơn vị băng thông Phương trình (4.6b) cho thấy là f (t) được tổng hợp bằng cách cộng các hàm mũ dạng e jnt, theo

đó đóng góp của một thành phần mũ là zêrô Nhưng đóng góp của hàm mũ trong dải tần vô cùng

bé  tại vị trí n là (1/2)F(n), và việc lấy tổng mọi thành phần cho f (t) có dạng:

d F e

n F t

(2

1lim)

tính theo Hertz Rõ ràng, F() là mật độ phổ trên đơn vị băng thông (Hertz) Cũng cần thấy là cho

dù biên độ của một thành phần nào đó là zêrô, thì lượng tương đối của thành phần tại tần số  là

F() Mặc dù F() là mật độ phổ, nhưng trong thực tế lại thường đươc gọi là phổ của f (t) thay vì

là mật độ phổ của f (t) Do đó, gọi F() là phổ Fourier (hay biến đổi Fourier) của f (t)

Sự hài hòa kỳ diệu

Điểm quan trọng cần nhớ ở đây là f (t)được biểu diễn (hay tổng hợp) dùng các hàm mũ (hay sin) là hàm không dừng (hay không nhân quả) Xét việc tổng hợp tín hiệu xung f (t) tồn tại trong thời gian giới hạn (hình 4.6) bằng các thành phần sóng sin trong phổ Fourier Tín hiệu f (t) chỉ tồn tại trong khoảng (a,b) và là zêrô ở ngoài khoảng này Phổ của f (t) chứa vô hạn các hàm mũ (hay sin) bắt đầu tại t và tiếp tục mãi mãi Biên độ và pha của các thành phần này phải hợp lại thành đúng f (t) trong khoảng giới hạn, và là zêrô ngoài khoảng này Sắp xếp biên độ và pha của

vô số thành phần này đòi hỏi sự hài hòa và trí tưởng tưởng tinh tế của con người, nhưng biến đổi Fourier lại thực hiện được việc này theo trình tự , không phải suy nghĩ gì

Một vài ý niệm

Trong chương 2, ta định nghĩa hàm truyền H(s) là





 h t e dt s

H( ) ( ) jt (4.17)

Vế phải là biến đổi Fourier của h (t), và theo ý niệm từ phương trình (4.3) thì đó là H(), trong khi có ý niệm tương tự là H(j) trong chương 2 Do đó, trung thành với ý niệm trước, ta gọi biến đổi Fourier là F(j)thay vì F() trong phương trình (4.3) Thực ra, ý niệm F(j)cho biến đổi Fourier thường dùng trong nhiều tài liệu Do đó, ta tiếp tục dùng hai ý niệm, với ghi nhớ

là F() và F(j)biểu diễn cùng đặc tính

Điều này chỉ quan trọng khi ta bàn về biến đổi Laplace và tính lọc trong các chương kế, như thế cần nhớ là H() và H(j)biểu diễn cùng đặc tính

4.1-2 Khảo sát đáp ứng của hệ LT – TT – BB dùng biến đổi Fourier

Để biểu diễn tín hiệu f (t) thành tổng các hàm mũ (không dừng) nhằm tìm đáp ứng hệ thống )

(t

f là tổng của các đáp ứng thành phần mũ của f (t) Xét hệ LT – TT – BB ổn định tiệm cận có

hàm truyền H(s) Đáp ứng của hệ thống này với hàm mũ không dừng j t

H n F e

n

2

)()(2

t n j

e n

H n F e

n

0 )

)()(2

1)

()(lim

Y()F()H() (4.19)

Gút lại, khi hệ LT – TT – BB có hàm truyền là H(s) có ngõ vào là f (t), và ngõ ra là y (t)thì nếu

f(t)F() thì y(t)Y()

Các bước trong phương pháp miền tần số giống hệt trường hợp trong miền thời gian Trong miền thời gian ta biểu diễn f (t)thành tổng các thành phần xung; còn trong miền tần số, ngõ vào được viết thành tổng các hàm mũ (hay sin) không dừng Trong trường hợp đầu, đáp ứng y (t)là tổng của các đáp ứng thành phần xung từ phép tích phân chập; còn trong miền tần số thì đáp ứng là tổng các đáp ứng hệ thống thành phần của hàm không dừng dạng mũ lấy từ tích phân Fourier Ý tưởng này được diễn đạt một cách toán học như sau:

1 Trong miền thời gian

(t)h(t) đáp ứng xung của hệ thống là h (t)

f(t) f(x)(tx)dx biểu diễn f (t) thành tổng các thành phần xung, và

y(t)f(x)h(tx)dx biểu diễn y (t) thành tổng các đáp ứng thành phần xung

2 Trong miền tần số

t j t

j

e H

hệ (tuyến tính) được xem là truyền nhiều thành phần sóng sín của tín hiệu qua hệ thống

4.2 Biến đổi Fourier của một số hàm hữu ích

Để tiện, ta giới thiệu các ý niệm cô đọng về một số hàm hữu ích như xung vuông góc, xung tam giác, và các hàm nội suy

Xung vuông góc đơn vị

Được định nghĩa là hàm rect(x) là xung vuông góc có chiều cao đơn vị và độ rộng đơn vị,

nằm cách đều gốc, vẽ ở hình 4.7a;

/1

2/10

x x

x rect (4.20)

Xung cổng trong hình 4.7b là xung cổng đơn vị rect (x) mở rộng theo thừa số  và có thể viết

thành rect (x/) (xem phần 1.3-2) Ta thấy là , mẫu số của (x/), cho thấy độ rộng của xung

Xung tam giác đơn vị

Xung tam giác đơn vị (x) là xung tam giác có độ cao đơn vị và độ rộng đơn vị, nằm cách

1

2/10

)

(

x x

Hàm nội suy sinc(x)

Hàm sinx/x còn gọi là sinc(x), là hàm có vai trò quan trọng trong xử lý tín hiệu, còn gọi là

hàm lọc hay hàm nội suy Định nghĩa:

x

x x

c( ) sinsin  (4.22)

Hình 4.9a vẽ tín hiệu sinc (x) Ta thấy sinc (x) = 0 tại các giá trị x dương và âm với bội số

của  Hình 4.9b vẽ sinc (3/7) Đối số (3/7) =  khi  = 7/3 Do đó, zêrô đầu tiên của hàm xuất hiện tại  = 7/3

 Bài tập E 4.1

8(

2)(

1)

e j dt e



t rect (4.23)

Nhắc lại là sinc (x) = 0 khi x =  n Do đó, 0

 n , ( n = 1, 2, 3, …) vẽ trong hình 4.10b Biến đổi Fourier F() vẽ trong hình 4.10b cho

thấy các giá trị dương và âm Các biên độ âm có thể xem là giá trị dương với pha là –  hay  Dùng quan sát này để vẽ phổ biên độ 

c

F trong hình 4.10c và phổ pha F()trong hình 4.10d Phổ pha phải là hàm lẻ theo , có thể vẽ theo nhiều cách khác nhau do giá trị âm

có thể được tính bằng góc pha  n, với n là số dương lẻ bất kỳ Các biểu diễn này đều tương

đương nhau

Băng thông của ( )



t rect

Phổ F() trong hình 4.10 có đỉnh tại 0 và giảm theo tần số cao Do đó, hàm ( )



t rect là hàm thông thấp tín hiệu với hầu hết năng lượng tín hiệu nằm trong thành phần tần số thấp hơn Nói một cách nghiêm ngặt hơn, do phổ mở rộng từ 0 đến , nên băng thông là  Hơn nữa, nhiều phổ tập trung trong búp thứ nhất (từ 0 đến



1

Hz Chú ý vể quan hệ tương hỗ giữa độ rộng xung và băng thông, ta sẽ xem xét kết quả này

■ Thí dụ 4.3:

Tìm biến đổi Fourier của xung đơn vị (t)

Từ đặc tính lấy mẩu của xung [phương trình (1.24)], ta có

F ( )  ( ) 1



dt e t

 (4.24a) Hay

(t)1 (4.24b)

■ Thí dụ 4.4:

Tìm biến đổi nghịch của ()

Dùng phương trình (4.8b) và đặc tính lấy mẩu của hàm xung

(2

1)(   e j t d 

e  Để biểu diễn một tín hiệu hằng f(t)1, ta chỉ cần hàm không dừng j t

Tìm biến đổi nghịch của (0)

Dùng đặc tính lấy mẩu của hàm xung

F- -1  j t j t

e d

2

1)

(2

1)

e

Hay j 0t 2( )

e (4.26a)

    Dùng hai phương trình (4.26a) và (4.26b), ta có

cos0t [(0)(0)] (4.27)

Phổ của cos0t gồm hai xung tại 0 và 0, vẽ trong hình 4.13 Kết quả cho thấy tín hiệu không dừng cos0t có thể được tổng hợp từ hai hàm mủ không dừng e j 0t

và ej 0t Do đó, phổ Fourier chỉ gồm hai thành phần tại tần số 0 và 0 ■

■ Thí dụ 4.7:

Tìm biến đổi Fourier của hàm bước đơn vị u (t)

Thử tìm biến đổi Fourier của u (t) bằng phương pháp tích phân trực tếp sẽ dẫn đến kết quả không xác định, do:

()

j dt e dt e t u



Ta thấy cận trên của j t

e  khi t là không xác định, do đó, ta nên xem u (t) là hàm mủ giảm )

u e

({

0 (4.28a) Viết lại theo các thành phần thực và ảo

a a

j a

a U

a a

1lim

lim)

0 2

2 2 2

Chú ý là u (t)không phải là tín hiệu dc (thực) do không là hằng số trong suốt khoảng từ - 

đến  Để tổng hợp tín hiệu dc (thực) ta chỉ cần một hàm mủ không dừng với 0 (xung tại 0

2

1)cos(0   j( 0t ) j( 0t )

e e

4.3 Một số đặc tính của biến đổi Fourier

Ta nghiên cứu một số đặc tính quan trọng của biến đổi Fourier với các hàm ý và ứng dụng Trước hết, ta cần giải thích một số dáng vẽ quan trọng và nổi tiếng của biến đổi Fourier: tính đối ngẫu thời gian – tần số:

!



j a

([

0 0

([

16 cos ( )

0tu t

eat 

2 0 2

j a

18

)(sinc Wt

4.3-1 Tính đối xứng giữa toán tử thuận và nghịch: Đối ngẫu thời gian - tần số

Phương trình (4.8) cho thấy một vấn đề rất thú vị: các toán tử thuận và nghịch đều rất giống nhau Các toán tử này cần thiết để biến f (t) thành F(), được vẽ trong hình 4.16 Chỉ có hai khác biệt nhỏ: thừa số 2 chỉ xuất hiện trong toán tử nghịch, và chỉ số mủ trong hai toán tử có dấu đối nhau Nói cách khác, hai toán tử này đối xứng Quan sát này có ảnh hưởng lớn đến nghiên cứu

về biến đổi Fourier Đây là cơ sở của cái gọi là tính đối ngẫu thời gian – tần số

Với các quan hệ giữa f (t) và F(), ta có kết quả đối ngẫu nhau, từ cách thay đổi vai trò của f (t) và F() trong kết quả gốc (đôi khi cần có thay đổi nhỏ do yếu tố có thừa số 2 hay đảo dấu) Thí dụ, trong tính dời theo thời gian, nếu ta có f(t)F(), thì

f(tt0)F()ejt0 (4.30a)

Đối ngẫu của tính chất này (tính dời theo tần số) cho rằng

f(t)e j 0t F(0) (4.30b)

Quan sát tính hoán vị giữa thời gian và tần số trong hai phương trình (với thay đổi nhỏ là sự đảo

dấu trong chỉ số mủ) Giá trị của nguyên lý này dựa trên sự kiện là bao giờ ta tìm ra một kết quả, thì luôn tồn tại kết quả đối ngẫu Khả năng này cho ta nhìn thấy trước được một số đặc tính và kết

quả khi xử lý tín hiệu

Các đặc tính của biến đổi Fourier không chỉ hữu ích để tìm biến đồi thuận và nghịch của các hàm, mà còn giúp tìm nhiều kết quả có giá trị khi xử lý tín hiệu Ta bắt đầu với đặc tính đối xứng, là một trong những hệ quả của nguyên lý đối ngẫu vừa nói trên

22

Độc giả nên tạo tính đối ngẫu của các cặp trong bảng 4.1 dùng tính đối xứng ■

)( (4.34) Chứng minh

x f a dt e at f at

)(

1)

()

)(

là phương trình (3.34)

thì nén theo thời gian với thừa số a tức là tín hiệu thay đổi nhanh hơn với cùng thừa số này Để

tổng hợp tín hiệu dạng này, tần số của sóng sin phải tăng với thừa số a, và phổ tần số phải giãn với thừa số a Tương tự, tín hiệu giãn theo thời gian thay đổi chậm hơn, nên tần số các thành phần tần

số thấp xuống; do đó, phổ tần số bị nén lại Thí dụ, tín hiệu cos20t là tín hiệu cos0t nén theo thời gian với tỉ lệ 2 Rõ ràng thì, phổ của tín hiệu đầu (xung tại 20) Ảnh hưởng của tỉ lệ này được mô tả trong hình 4.18

Tính tương hỗ giữa độ rộng tín hiệu và băng thông

Theo tính tỉ lệ, nếu f (t) càng rộng, thì phổ hẹp lại, và ngược lại Độ rộng tín hiệu tăng hai lần làm băng thông giảm nửa Tức là băng thông tín hiệu tăng tỉ lệ nghịch với độ rộng tín hiệu (tình bằng giây) Ta kiểm nghiệm lại là trong trường hợp xung cổng, khi băng thông với độ rộng 

Tìm biến đổi Fourier của e at u ( t ) và e a t

Dùng phương trình (4.35) vào cặp biến đổi 1 (bảng 4.1), ta có:



j a t u

a j a

e a t (4.36) Tín hiệu a t

e và phổ được vẽ ở hình 4.19 ■

4.3-4 Tính dời theo thời gian

Xét sóng costđược dời đi t0 được cho bởi

cos(tt0)cos(tt0)

Do đó, khi dời sóng sin có tần số  đi t0 theo thời gian tạo ra độ dời pha t0 Đây là hàm tuyến tính theo , tức là các thành phần tần số cao hơn phải có độ dời pha cao hơn nhằm có được cùng thời gian trễ

Hiện tượng này được vẽ trong hình 4.20 với hai sóng sin, tần số sóng vẽ bên dưới có tần số gấp đôi sóng vẽ phía trên Với cùng thời gian trễ t tạo độ dời pha là /2 cho sóng phía trên và dời

pha  cho sóng phía dưới Điều này cho thấy một thực tế là để đạt được cùng thời gian trễ, các sóng sin tần số cao phải có độ dời pha cao hơn Nguyên tắc về dời pha tuyến tính rất quan trọng và

ta sẽ khảo sát lại trong ứng dụng truyền tín hiệu không méo và lọc

■ Thí dụ 4.10

Tìm biến đổi Fourier của a t t0

e  Hàm được vẽ trong hình 4.21a, là dạng dời theo thời gian của ea t (vẽ trong hình 4.19a) Từ phương trình (4.36) và (4.37), ta có

0 0

2 2

t t a

e a

e  (hình 4.19b), trừ việc có thêm độ dời pha t0 Quan sát thấy thời gian trễ tạo phổ pha tuyến tính t0 Thí dụ này làm rõ thêm ảnh hưởng của dời theo thời gian ■

t t a

e a

e  (hình 4.19b), trừ việc có thêm độ dời pha t0 Quan sát thấy thời gian trễ tạo phổ pha tuyến tính t0 Thí dụ này làm rõ thêm ảnh hưởng của dời theo thời gian ■

trình (4.37a) có biến đổi là biến đổi Fourier của 





j

e , nên:

2

2sin)

0 2 Vẽ phổ biên độ và phổ pha của biến đổi Fourier 

t f dt e e t f e

t

f j t (4.40)

2

1cos

)

(t 0t F 0 F 0

f (4.41)

Điều này cho thấy là phép nhân tín hiệu f (t) với sóng sin có tần số 0, dời phổ F() giá trị 0, như vẽ trong hình 4.23

Nhân hàm cos0t với f (t) tạo điều chế biên độ, và dạng điều chế này được gọi là điều chế biên độ Hàm cos0t gọi là sóng mang, tín hiệu f (t) được gọi là tín hiệu điều chế và

t

t

f( )cos0 gọi là tín hiệu đƣợc điều chế Phần 4.7 và 4.8 sẽ thảo luận sâu hơn về vấn đề này.

Để vẽ tín hiệu f(t)cos0t, ta nhận thấy:

)(

1cos

)(cos

)(

0

0 0

t khi

t f

t khi

t f t t

f







Do đó, f(t)cos0t dính với f (t) khi cos0t ở vị trí đỉnh dương và là  f (t) khi cos0t ở

vị trí định âm Tức là f (t) và  f (t) hoạt động như đường bao của tín hiệu f(t)cos0t (xem hình 4.23) Tín hiệu  f (t) là ảnh của f (t) qua trục ngang Hình 4.23 vẽ các tín hiệu f (t), )

rect vẽ trong hình 4.24a

Dùng cặp biến sđổi 17 (bảng 4.1), ta có 3sin (2 )

Trường hợp này, F()4sinc(2), do đó:

f(t)cos10t2sinc[2(10]2sinc[2(10)]

Phổ của tín hiệu f(t)cos10t có được bằng cách dời F() trong hình 4.24b sang trái 10 và đồng thời dời sang phải là 10, rồi nhân với (1/2), như vẽ trong hình 4.24d ■

 Bài tập E 4.7

Vẽ tín hiệu et cos10t Tìm biến đổi Fourier của tín hiệu này và vẽ phổ tín hiệu

Đáp số:

1)10(

11

)10(

1)

Điều chế được dùng để dời phổ tín hiệu Một số trường hợp cần dời phổ tín hiệu là:

1 Khi có nhiều tín hiệu, mỗi tín hiệu chiếm cùng dải tần số, được truyền đồng thời trong cùng môi trường, chúng sẽ gây nhiễu lên nhau Tại máy thu, ta không thể tách hay khôi phục lại tín hiệu Thí dụ, nếu tất cả các đài phát thanh quyết định phát đồng thời các tín hiệu âm tần, thì các máy thu không thể nào tách chúng ra được Vấn đề này được giải quyết dùng phương pháp điều chế, theo đó, mỗi đài phát thanh dùng tần số mang riêng biệt Mỗi trạm phát tín hiệu được điều chế Phương pháp này dời phổ tín hiệu đến các dải tần số của đài mình, không vi phạm đến các đài khác Máy thu chỉ việc giải điều chế (làm ngược lại quá trình điều chế) Giải điều chế bao gồm các phổ dời khác cần thiết để khôi phục lại tín hiệu của băng tần gốc Chú ý là cả quá trình điều chế và giải điều chế đều thực hiện dời tần số; do đó, quá trình giải điều chế là tương tư quá trình điều chế (xem phần 4.7)

Phương pháp truyền đồng thời nhiều tín hiệu trong một kênh truyền bằng cách chia sẻ dải tần số được gọi là FDM (ghép kênh bằng cách phân chia theo tần số: frequency-division multiplexing)

2 Để có công suất phát sóng hiệu quả, thì kích thước anten phải ở bước sóng của tín hiệu được phát Tín hiệu âm tần rất thấp (bước sóng rất dài) nên không thề thiết lập anten phát sóng trong thực tế Do đó, khi dời phổ tín hiệu đến tần số cao hơn (bước sóng ngắn hơn) bằng cách điều chế giải quyết được vấn đề này

4.3-6 Tích phân chập

Đặc tính tích phân chập theo thời gian cùng đối ngẫu là đặc tính tích phân chập theo tần số, cho rằng, nếu:

)()

t f t

f   (4.43)

Chứng minh: từ định nghĩa

d dt t f e f

dt d t f f e

t f

()

()()

()

F 1( ) 2( ) 1()  2()  2() 1()   1() 2()

F F d e f F

d F e f t

Đây chính xác là điều đã chứng minh trong phương trình (4.19)

Đặc tính tích phân chập theo tần số (4.43) có thể được chứng minh tương tự bằng cách thay đổi vai trò của f (t) và F()

t u f t

a b t u e t

f t

Đặc tính về tích phân theo thời gian [phương trình (4.47)] được chứng minh trong thí dụ 4.13

Bảng 4.2 Các toán tử của biến đổi Fourier

a

F a



Dời theo thời gian f(tt0) F()ejt0

Dời theo tân số (0 số thực) j t

e t

Tích chập theo thời gian f1(t) f2(t) F1()F2()

Tích chập theo tần số f1(t)f2(t)

)()(2

f

Tích phân theo thời gian  

t dx x





F j

d là zêrô Nhưng do df / dt có bước nhảy dương gián

đoạn 2/ tại t = (/2) và bước nhảy âm gián đoạn 4/ tại t =0 Nhắc lại là đạo hàm của tín hiệu có

bước nhảy gián đoạn là xung tại điểm gián đoạn có cường độ bằng với lượng bước nhảy Do đó,

f

d   (4.50a)

Đồng thời, từ tính dời theo thời gian (4.37)

42

2)

4sin24

sin

8)

2

2 2

4.4 Truyền tín hiệu qua hệ thống LT – TT – BB

Nếu f (t) và y (t) là ngõ vào và ngõ ra của hệ LT – TT – BB có hàm truyền H(), thì theo phương trình (4.44b)

Y()H()F() (4.52)

Kết quả này chỉ dùng được khi hệ thống ổn định tiệm cận (và ở biên ổn định) Ngoài ra, còn có yêu cầu là f (t) phải có biến đổi Fourier Do đó, các ngõ vào là hàm mủ tăng thì không dùng được phương pháp này

Trong chương 6, ta sẽ thấy là biến đổi Laplace, có dạng tổng quát hơn biến đổi Fourier, có tính đa năng hơn và phân tích được mọi dạng hệ thống LT – TT – BB từ ổn định, khoông ổn định, hay ở biên ổn định Biến đổi Laplace còn dùng được với ngõ vào có dạng hàm mủ tăng Khi phân tích hệ thống thì biến đổi Laplace vượt trội hơn biến đổi Fourier Do đó, biến đổi Laplace thích hợp hơn khi phân tích hệ thống LT – TT – BB, nên ta cần mất công sức để ứng dụng biến đổi Fourier trong phân tích hệ thống LT – TT – BB Xem thí dụ sau





s s

H (4,53)

với ngõ vào

1

1)()()

t u e t

2

1)

()(

H

Do đó

)1)(

2(

1)

()()

F H Y

Dùng khai triển đa thức (xem phần B.5)

)2(

1)

1(

1)

Hướng dẫn: Dùng cặp biến đổi 2 (bảng 4.1) để tìm biến đổi Fourier của e t u ( t ) 

4.4-1 Méo tín hiệu khi truyền

Hệ thống có hàm truyền H(), nếu F() và Y() là phổ của các tín hiệu ngõ vào và ngõ

ra, thì:

Y()F()H() (4.55)

Truyền tín hiệu vào f (t) qua hệ thống là biến đổi tín hiệu thành ngõ ra y (t) Phương trình (4.55) cho thấy bản chất của thay đổi này Trường hợp này với F() và Y() là phổ của các tín hiệu ngõ vào và ngõ ra, thì H() là đáp ứng phổ của hệ thống Phương trình (4.55) cho ta thấy rõ về vấn đề định dạng phổ (hay thay đổi) của tín hiệu từ hệ thống, được viết theo dạng cực là

() Y() () () F() H()

e H F e

Trong quá trình truyền, phổ tín hiệu vào F() được đổi thành F() H()

Tương tự, phổ pha tín hiệu vào F() được đổi thành F()H() Thành phần phổ tần số

 được thay đổi biên độ với tỉ lệ H() và dời pha một góc H() Như thế, H() là đáp ứng biên độ và H() là đáp ứng pha của hệ thống Đồ thị của H() và H() theo  cho biết phương thức hệ thống thay đổi biên độ và pha của tín hiệu vào sin Do đó, H() là đáp ứng tần

số của hệ thống Trong quá trình truyền qua hệ thống, một số thành phần tần số được gia tăng biên

độ, và một số khác bị suy giảm Pha tương đối của nhiều thành phần cũng bị thay đổi Thông thường, dạng sóng ra sẽ khác dạng sóng vào

Biến đổi Fourier của phương trình này là

j t d

e kF

Kết quả này cho thấy khi truyền không méo, đáp ứng biên độ H() phải là hằng số và đáp ứng pha H() phải là hàm tuyến tính theo  với độ dốc t d với t là thời gian trễ của ngõ ra theo d

ngõ vào (hình 4.26)

Giải thích một cách trực giác về điều kiện truyền không méo

Cũng nên tìm hiểu một cách trực giác về điều kiện truyền không méo Một lần nữa, tưởng tượng f (t) bao gồm nhiều thành phần sóng sin (các thành phần phổ), đi qua hệ thống không méo

Trường hợp không méo, thì tín hiệu ngõ ra là tín hiệu vào nhân với k và làm trễ đi t Để tổng hợp d

tín hiệu này, ta cần có các thành phần chính xác của f (t), với từng thành phần được nhân với k và

làm trễ đi t Như thế, hàm truyền hệ thống d H() có mỗi thành phần sóng sin phải chịu sự suy

giảm k và thời gian trễ t giây Điều kiện đầu tiên là d

vẽ t là hàm theo tần số Trong hệ thống không méo, d t nên là hằng trong dải tần số công tác d

Thường có suy nghĩ (tuy không đúng) là chỉ cần có đáp ứng biên độ H() phẳng (flatness)

là đủ bảo đảm được chất lượng tín hiệu Tuy nhiên, ghi nhận được là hệ thống có đáp ứng biên độ phẳng vẫn bị méo nếu đáp ứng pha không tuyến tính (t không là hằng số) d

Bản chất méo dạng tín hiệu auđiô và viđêo

Nói chung, tai người có thể cảm nhận nhanh méo biên độ, dù tương đối không nhạy cảm với méo pha Trường hợp ghi nhận được méo pha, thì thay đổi của thời gian trễ

[thay đổi với độ dốc của H()] cần so sánh được với độ rộng của tín hiệu (hay độ rộng cảm nhận thực tế, khi tín hiệu tự thân đã là dài) Trường hợp tín hiệu auđiô, từng âm tiết được xem là từng tín hiệu riêng biệt Độ rộng trung bình của âm tiết là từ 0,01 đến 0,1 giây Hệ thống auđiô có thể có pha phi tuyến, nhưng độ méo tín hiệu do các hệ thống auđiô thực tế ghi nhận được với độ thay đổi lớn nhất của độ dốc H()thường chỉ là vài phần của miligiây Đây là lý do để kết luận

là “tai người tương đối không nhạy cảm với méo pha” Kết quả là các nhà sản xuất thiết bị auđiô thường chỉ chú tâm hoàn thiện các đặc tính H() của thiết bị

Ngược lại, trong trường tín hiệu viđêo thì mắt người nhạy cảm với méo pha nhưng tương đối không nhạy cảm với méo biên độ Méo biên độ trong tín hiệu truyền hình cho thấy phá hỏng nửa tông giá trị của hình ảnh có được, không dễ được mắt người nhận ra Méo pha (pha phi tuyến), thì làm tạo các thời gian trễ khác nhau trong các phần tử ảnh Kết quả này làm hình ảnh bị lem luốt, nên mắt người dễ nhận ra Méo pha cũng rất quan trọng trong thông tin số do đặc tính pha phi tuyến của kênh truyền làm xung bị tán xạ (phân bố ra), là, xung gây nhiễu lên các xung lân cận, tao sai số cho máy thu: bit 1 sẽ được đọc là 0, và ngược lại

4.5 Mạch lọc lý tưởng và mạch lọc thực tế

Mạch lọc lý tưởng truyền không méo một dải tần số và triệt mọi thành phần tần số còn lại Thí dụ, mạch lọc thông thấp lý tưởng (hình 4.27), truyền không méo các thành phần tần số thấp hơn  = W radian/giây và triệt mọi thành phần tần số lớn hơn  = W Hình 2.28 vẽ các đặc tính

và băng thông của mạch lọc thông cao

Mạch lọc thông thấp lý tưởng trong hình 4.27a có pha tuyến tính với độ dốc t d, tạo thời gian trễ t cho mọi thành phần tần số tín hiệu vào thấp hơn W radian/giây Do đó, nếu tín hiệu vào d

)

(t

f có băng thông giới hạn W radian/giây, ngõ ra y (t) là tín hiệu f (t) bị trễ t , tức là d

)(

H

2)

( (4.60a)

Đáp ứng xung h (t) của bộ lọc có được từ cặp biến đổi 18 (bảng 4.1) và đặc tính dời theo thời gian

h (t)F- -1 sin  ( )

t j

t t W c

W e

h(t)0 khi t0

Trong miền tần số, điều kiện này tương đương với tiêu chuẩn nổi tiếng Paley-Wiener, theo

đó điều kiện cần và đủ để đáp ứng biên độ H() thực hiện được là

(4.61) Nếu H() không thỏa điều kiện này, thì không thực hiện được Chú ý là nếu H() 0trong một dải tần số giới hạn, lnH()  trong dải tần số này, và điều kiện (4.61) bị vi phạm Tuy nhiên, nếu H()0 tai một tần số (hay tập các tần số rời rạc), thì tích phân trong phương trình (4.61) có thể vẫn còn hữu hạn dù thành phần lấy tích phân là vô hạn Do đó, thực hiện được trong thực tế, H() có thể bằng zêrô tại một số tần số rời rạc nhưng không thể là zêrô trong một khoảng tần hữu hạn Từ tiêu chuẩn này, các bộ lọc lý tưởng trong hình (4.27) và (4.28) là không thực hiện được

Đáp ứng xung h (t) trong hình 4.27 là không thực hiện được Hướng thực tế để thiết kế bộ lọc là cắt bớt h (t) khi t0 Điều này tạo đáp ứng xung nhân quả h ˆ t( ), với

hˆ(t)h(t)u(t)

thực hiện được do là nhân quả (hình 4.29) Nếu t là đủ lớn, d h ˆ t( ) sẽ xấp xỉ gần đúng h (t), kết quả

là bộ lọc Hˆ() sẽ xấp xỉ tốt bộ lọc lý tưởng Điều này thực hiện được do tăng giá trị của thời gian trễ t Quan sát này cho thấy giá phải trả cho xấp xỉ gần đúng là phải có thời gian trễ lớn; đây là d

điều thường gặp trong các hệ thống không nhân quả Về mặt lý thuyết, thì thời gian trễ t d cần cho việc thực hiện bộ lọc lý tưởng Trong hình 4.27b thì thời gian trễ t là từ 3 đến 4 lần giá trị d

(/W) là đủ cho h ˆ t( ) xấp xỉ hợp lý h(tt d) Thí dụ, bộ lọc tín hiệu auđiô cần hoạt động với tần

số đến 20 kHz (W = 40.000) Trường hợp này thì t vào khoảng 0,1ms là một lựa chọn hợp lý d

Tác động cắt bớt (cắt phần đuôi để h (t) trở thành nhân quả), tuy nhiên điều này cũng tạo ra một số vấn đề Ta sẽ thảo luận tiếp về vấn đề này trong phần 4.9

Trong thực tế, ta có thể thực hiện bộ lọc có đặc tính gần lý tưởng Các đặc tính bộ lọc lý tưởng tăng dần, không có bước nhảy gián đoạn trong đáp ứng biên độ Ta sẽ nghiên cứu các bộ lọc

họ này (Butterworth và Chebyshev) trong phần 7.4 và 7.5 Hình 7.17 vẽ đáp ứng biên độ của mạch lọc Butterworth

 Bài tập E 4.12

Chứng tõ là bộ lọc có hàm truyền 2

)( e

H là không thực hiện được Làm với hai phương pháp: đầu tiên bằng cách chứng minh là đáp ứng xung là không nhân quả, rồi chứng tõ là )

(

H vi phạm tiêu chuẩn Paley-Wiener

Hướng dẫn: Dùng cặp biến đổi 22 trong bảng 4.1 

Suy nghĩ về miền thời gian và miền tần số:

Quan điểm hai chiều của tín hiệu và hệ thống

Cả tín hiệu và hệ thống đều có hai tính cách đối ngẫu; miền thời gian và miền tần số Để

hiểu rõ hơn, ta hảy xem xét và tìm hiểu cả hai tính cách này do chúng cung cấp kiến thức bổ sung nhau Thí dụ trong tín hiệu dạng mủ, được đặc trưng bằng mô tả trong miền thời gian là e2t u(t)hay bằng biến đổi Fourier (mô tả trong miền tần số) là 1/(j2) Mô tả trong miền thời gian cho thấy dạng sóng tín hiệu Mô tả trong miền tần số cho thấy các thành phần phổ (các thành phần biên

độ tương đối và pha của sóng sin (hay hàm mủ)) Thí dụ, tín hiệu t

e2 miền thời gian miêu tả tín hiệu giảm theo dạng mủ với hằng số thời gian là 0,5 Mô tả trong miền tần số cho tấy đây là mạch lọc thông thấp, có thể được tổng hợp dùng các sóng sin có biên độ giảm tại tần số chừng 1/

Hàm truyền H() đặc trưng cho đáp ứng tần số; tức là đáp ứng của hệ thống với ngõ vào dạng mủ hay sin với nhiều tần số khác nhau Đây rõ ràng là đặc tính lọc của hệ thống

Các kỹ sư có kinh nghiệm thường có xu hướng suy nghĩ trực giác về cả hai miền (thời gian

và tần số) khi có thể được Khi họ nhìn vào tín hiệu, họ đều xem xét dạng sóng, độ rộng tín hiệu,

và tốc độ tại đó dạng sóng giảm Đây là quan điểm trong miền thời gian Họ còn suy nghĩ về tín hiệu theo phổ tần số tức là theo các thành phần sin cùng biên độ tương đối và pha Đây là quan điểm trong miền tần số

Nói đến hệ thống, họ nghĩ đến đáp ứng xung h (t) Độ rộng của h (t) cho thấy hằng số thời gian (thời gian đáp ứng); tức là, hệ thống có thể đáp ứng với ngõ vào nhanh đến đâu, và tạo tán xạ tín hiệu đến đâu Đây là quan điểm trong miền thời gian Theo quan điểm miền tần số, các kỹ sư này xem hệ thống là mạch lọc, với tính truyền chọn lọc một số thành phần tần số và loại trừ các tần

số khác [đáp ứng tần số H()] Khi biết được phổ tín hiệu vào và đáp ứng tần số của hệ thống, họ

có được hình ảnh về phổ tín hiệu ra Ý niệm này được biểu diễn chính xác là Y()F()H()

Ta có thể phân tích hệ thống TT – BB dùng kỹ thuật miền thời gian hay dùng miền tần số Nhưng tại sao phải nghiên cứu cả hai? Lý do là hai miền này bổ sung kiến thức cho nhau về hoạt động của hệ thống Một số nét dễ nắm bắt trong một miền; các nét khác lại dễ thấy được trong miền khác Cả miền thời gian và miền tần số đều cần cho nghiên cứu tín hiệu và hệ thống như người ta phải có hai mắt để cảm nhận tốt tín hiệu thực, con người có thể nhìm với một mắt, nhưng

để cảm nhận đúng ãnh thực ba chiều thì đòi hỏi phải dùng hai mắt

Điều quan trọng là phải giữa hai miền này riêng biệt, và không nên trộn lẫn chúng lại Nếu ta dùng miền tần số để xác định đáp ứng của hệ thống, ta cần các tín hiệu được biểu diễn theo phổ (biến đôi Fourier) và mọi hệ thống được viết theo hàm truyền Thí dụ, để xác định đáp ứng hệ thống y (t) theo ngõ vào f (t), đầu tiên ta chuyển đổi tín hiệu vào thành môt tả trong miền tần số )

(

F Mô tả hệ thống còn phải trong miền tần số; tức là hàm truyền là H() Phổ tín hiệu ra

)()



 (4.62) Năng lượng tín hiệu có thể quan hệ với phổ tín hiệu F() bằng cách thay phương trình (4.8b) vào phương trình trên:

()( *

Ta dùng f*(t), là liên hợp của f (t), có thể biểu diễn thành phần liên hợp của vế phải phương trình (4.8b) Thay đổi thứ tự lấy tích phân, ta có:

()(2

1)

()(2

1

(4.63)

Do đó

1)

( (4.64) Đây là công thức nổi tiếng Parseval (dùng cho biến đổi Fourier) Kết quả tương tự có được trong phương trình (3.42) và (3.82) của tín hiệu tuần hoàn và chuỗi Fourier tương ứng Kết quả này cho phép ta xác định năng lượng tín hiệu từ đặc tính miền thời gian f (t) hay đặc tính trong miền tần số F() của cùng tín hiệu

Phương trình (4.63) có thể biểu diễn theo năng lượng tín hiệu f (t)là kết quả từ năng lượng đóng góp bởi mọi thành phần phổ của tín hiệu f (t) Năng lượng chung là vủng diện tích

(2

F là mật độ phổ năng lƣợng (theo đơn vị

E f (4.66) Năng lượng tín hiệu E f , là kết quả từ các đóng góp của mọi thành phần tần số từ 0 đến

, được cho bởi phần diện tích của 2

)(

F (chia cho 1/) khi 0 đến  Vậy năng lượng đóng góp từ các thành phần tần số giữa 1 và 2 là

   2

1

2

)(

Tìm năng lượng tín hiệu f(t)eat u(t) Xác định tần số W (rad/s) để năng lượng đóng góp

từ các thành phần phổ của các tần số thấp hơn W là 95% năng lượng tín hiệu E f

2

1)

(

a dt e dt t u e

Có thể kiểm nghiệm kết quả dùng định lý Parseval Với tín hiệu

a j

a

d a d

F

E f

2

1tan

11

1)