Bài Giảng Toán 10 - HH_C3_ml

CHUYÊN ĐỀ 6

HYPEBOL

§6. ĐƯỜNG HYPEBOL

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1.Định nghĩa: Cho hai điểm cố định với và hằng số .Hypebol là tập hợp các điểm M thỏa mãn . Kí hiệu (H)

Ta gọi : là tiêu điểm của (H). Khoảng cách là tiêu cự của (H).

2.Phương trình chính tắc của hypebol:

Với

với (2)

Phương trình (2) được gọi là phương trình chính tắc của hypebol

3.Hình dạng và tính chất của (H):

+ Tiêu điểm: Tiêu điểm trái , tiêu điểm phải

+ Các đỉnh :

+ Trục gọi là trục thực, Trục gọi là trục ảo của hypebol. Khoảng cách 2a giữa hai đỉnh gọi là độ dài trục thực, 2b gọi là độ dài trục ảo.

+ Hypebol gồm hai phần nằm hai bên trục ảo, mỗi phần gọi là nhánh của hypebol

+ Hình chữ nhật tạo bởi các đường thẳng gọi là hình chữ nhật cơ sở. Hai đường thẳng chứa hai đường chéo của hình chữ nhật cơ sở gọi là hai đường tiệp cận của hypebol và có phương trình là

+ Tâm sai :

+ thuộc (H) thì:

Câu 1. Khái niệm nào sau đây định nghĩa về hypebol?

A. Cho điểm cố định và một đường thẳng cố định không đi qua . Hypebol là tập hợp các điểm sao cho khoảng cách từ đến bằng khoảng cách từ đến .

B. Cho cố định với . Hypebol là tập hợp điểm sao cho với là một số không đổi và .

C. Cho cố định với và một độ dài không đổi .Hypebol là tập hợp các điểm sao cho .

D. Cả ba định nghĩa trên đều không đúng định nghĩa của Hypebol .

Lời giải

Chọn B

Cho cố định với . Hypebol là tập hợp điểm sao cho với là một số không đổi và .

Câu 2. Dạng chính tắc của hypebol là

A. .B. .C. .D. .

Lời giải

Chọn B

Dạng chính tắc của hypebol là . (Các bạn xem lại trong SGK).

Câu 3. Cho Hypebol có phương trình chính tắc là , với . Khi đó khẳng định nào sau đây đúng?

A. Nếu thì có các tiêu điểm là , .

B. Nếu thì có các tiêu điểm là , .

C. Nếu thì có các tiêu điểm là , .

D. Nếu thì có các tiêu điểm là , .

Lời giải

Chọn A.

Xem lại sách giáo khoA.

Câu 4. Cho Hypebol có phương trình chính tắc là , với . Khi đó khẳng định nào sau đây đúng?

A. Với , tâm sai của hypebol là .

B. Với , tâm sai của hypebol là .

C. Với , tâm sai của hypebol là .

D. Với , tâm sai của hypebol là .

Lời giải

Chọn A

Xem kiến thức sách giáo khoA.

Câu 5. Cho Hypebol có phương trình chính tắc là , với . Khi đó khẳng định nào sau đây sai?

A. Tọa độ các đỉnh nằm trên trục thực là , .

B. Tọa độ các đỉnh nằm trên trục ảo là , .

C. Với , độ dài tiêu cự là .

D. Với , tâm sai của hypebol là .

Lời giải

Chọn D

Với , tâm sai của hypebol là .

Câu 6. Cho Hypebol có phương trình chính tắc là , với và . Khi đó khẳng định nào sau đây đúng?

A. Với và các tiêu điểm là thì , .

B. Với và các tiêu điểm là thì , .

C. Với và các tiêu điểm là thì , .

D. Với và các tiêu điểm là thì , .

Lời giải

Chọn D.

Xem lại kiến thức sách giáo khoA.

Câu 7. Hypebol có hai tiêu điểm là :

A. , B. ,

C. , D. ,

Lời giải

Chọn A.

Ta có : Các tiêu điểm là ,

Câu 8. Đường thẳng nào dưới đây là đường chuẩn của Hyperbol ?

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn B.

Ta có : .

Tâm sai . Đường chuẩn : và

Câu 9. Hypebol có nửa trục thực là , tiêu cự bằng có phương trình chính tắc là:

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn A.

Ta có :

Phương trình chính tắc của Hyperbol là

Câu 10. Tìm phương trình chính tắc của Hyperbol mà hình chữ nhật cơ sở có một đỉnh là

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn B.

Gọi . Tọa độ đỉnh của hình chữ nhật cơ sở là , , , .

Hình chữ nhật cơ sở của có một đỉnh là , suy ra . Phương trình chính tắc của là

Câu 11. Đường Hyperbol có một tiêu điểm là điểm nào dưới đây ?

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn D.

Ta có : . Các tiêu điểm của là và

Câu 12. Tâm sai của Hyperbol bằng :

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn A.

Ta có :

Câu 13. Hypebol có tâm sai là:

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn C.

Ta có :

.

Câu 14. Đường Hyperbol có tiêu cự bằng :

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn D.

Ta có : . Tiêu cự

Câu 15. Tìm phương trình chính tắc của hyperbol nếu nó có tiêu cự bằng và độ dài trục thực bằng .

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn A.

Ta có : .

Phương trình chính tắc

Câu 16. Tìm góc giữa 2 đường tiệm cận của hyperbol .

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn D.

Ta có : Đường tiện cận của là và hay và . Gọi là góc giữa hai đường tiệm cận, ta có :

Câu 17. Hypebol có

A. Hai đỉnh , và tâm sai .

B. Hai đường tiệm cận và tâm sai .

C. Hai đường tiệm cận và tâm sai .

D. Hai tiêu điểm , và tâm sai .

Lời giải

Chọn C.

Ta có :

Tọa độ đỉnh , , tâm sai , hai tiêu điểm và , hai đường tiệm cận .

Câu 18. Phương trình hai tiệm cận là của hypebol có phương trình chính tắc nào sau đây?

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn D.

Ta có : . Phương trình .

Câu 19. Viết phương trình của Hypebol có tiêu cự bằng , trục thực bằng và tiêu điểm nằm trên trục .

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn A.

Ta có : Phương trình .

Câu 20. Đường Hyperbol có tiêu cự bằng :

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn B.

Ta có : Tiêu cự

Câu 21. Tìm phương trình chính tắc của Hyperbol biết nó đi qua điểm là và một đường tiệm cận có phương trình là .

A. .B. C. D.

Lời giải

Chọn C.

Ta có : Phương trình

Câu 22. Hypebol có hai tiêu điểm là và và một đỉnh có phương trình là chính tắc là

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn D.

Ta có : Phương trình

Câu 23. Đường Hyperbol có tiêu cự bằng :

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn A.

Ta có : . Tiêu cự

Câu 24. Tìm phương trình chính tắc của Hyperbol biết nó tiêu điểm là và một đường tiệm cận có phương trình là :

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn A.

Ta có : Phương trình

Câu 25. Đường thẳng nào dưới đây là đường chuẩn của Hyperbol ?

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn A.

Ta có : Tâm sai Các đường chuẩn là hay

Câu 26. Tìm phương trình chính tắc của hyperbol nếu một đỉnh của hình chữnhật cơ sở của hyperbol đó là

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn A.

Ta có : Phương trình

Câu 27. Hypebol có tâm sai và đi qua điểm có phương trình chính tắc là:

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn A.

Ta có : Phương trình

Câu 28. Hypebol có hai đường chuẩn là:

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn C.

Ta có : Tâm sai Đường chuẩn hay

Câu 29. Tìm phương trình chính tắc của Hyperbol biết nó có một đường chuẩn là

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn A.

Ta có : .

Suy ra . Chọn thì . Phương trình

Câu 30. Cho điểm nằm trên Hyperbol : . Nếu hoành độ điểm bằng thì khoảng cách từ đến các tiêu điểm của là bao nhiêu ?

A. B. C. và D. và

Lời giải

Chọn D.

Với ta có : . Có hai điểm thỏa mãn là và . Tiêu điểm của là và

,

Câu 31. Viết phương trình chính tắc của Hypebol, biết giá trị tuyệt đối hiệu các bán kính qua tiêu điểm của điểm bất kỳ trên hypebol là , tiêu cự bằng .

A. hoặc B.

C. D.

Lời giải

Chọn A.

Ta có : Phương trình .

Câu 32. Hyperbol có 2 đường tiệm cận vuông góc nhau thì có tâm sai bằng bao nhiêu ?

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn C.

Gọi . Tiệm cận của là và .

.

Ta có : . Tâm sai

Câu 33. Tìm phương trình chính tắc của Hyperbol biết nó tiêu điểm là và một đường tiệm cận có phương trình là :

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn D.

Ta có : . Phương trình

Câu 34. Hypebol có hai đường tiệm cận vuông góc với nhau, độ dài trục thực bằng 6, có phương trình chính tắc là:

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn B.

Gọi . Tiệm cận của là và .

.

Ta có :

Phương trình chính tắc .

Câu 35. Điểm nào trong 4 điểm , , , nằm trên một đường tiệm cận của hyperbol

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn D.

Ta có : . Đường tiệm cận của là :

Vậy điểm thuộc đường tiệm cận của

Câu 36. Tìm phương trình chính tắc của Hyperbol biết nó có trục thực dài gấp đôi trục ảo và có tiêu cự bằng

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn C.

Ta có : Phương trình

Câu 37. Tìm phương trình chính tắc của Hyperbol (H) biết nó đi qua điểm và có một đường chuẩn là .

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn D.

Gọi .

Ta có :

Câu 38. Tìm phương trình chính tắc của hyperbol nếu nó đi qua điểm và có tiêu cự bằng .

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn B.

Gọi

Ta có: Phương trình

Câu 39. Đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật cơ sở của hypebol có có phương trình là:

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn B.

Ta có: . Tọa độ các đỉnh hình chữ nhật cở sở là , , , Dường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật cơ sở có tâm bán kính .

Phương trình đường tròn là

Câu 40. Tìm phương trình chính tắc của Hyperbol biết nó có một đường tiệm cận là và hình chữ nhật cơ sở của nó có diện tích bằng .

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn C.

Ta có : . Phương trình

Câu 41. Cho Hyperbol . Tìmđiểm trên sao cho thuộc nhánh phải và nhỏ nhất (ngắn nhất).

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn B.

Ta có:

Gọi .

Ta có: . thuộc nhánh phải của nên .

nhỏ nhất bằng khi .

Câu 42. Cho Hyperbol . Tìmđiểm trên sao cho khoảng cách từ đến đường thẳng đạt giá trị nhỏ nhất.

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn B.

Gọi . Phương trình tiếp tuyến của tại là .

khi thay vào ta có:

.

Với ta có :

Với ta có :

Câu 43. Cho hyperbol có hai tiêu điểm là . Tìm trên một nhánh của hai điểm sao cho là tam giác đều.

A. , B. ,

C. , D. ,

Lời giải

Chọn C.

Ta có :

Gọi (Do đối xứng với nhau qua )

đều

. Thay vào ta có:

Vậy , .

Câu 44. Cho hyperbol . Lấy tùy ý . Tính tích khoảng cách từ đến hai tiệm cận của .

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn C.

Ta có: . Các đường tiệm cận của là và .

Gọi . Lúc đó:

Câu 45. Cho hyperbol . Biết tích khoảng cách từ đến hai đường tiệm cận bằng một số không đổi và bằng?

A. B. .C. D.

Lời giải

Chọn B.

Hai đường tiệm cận của là và . Gọi . Lúc đó:

Câu 46. Cho hyperbol có hai tiêu điểm . Với là một điểm tùy ý thuộc Hãy tính

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn D.

Ta có: .

Gọi . Không mất tính tổng quát, giả sử . Lúc đó : , , .

Câu 47. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc , cho hypebol có phương trình: và điểm . Viết phương trình đường thẳng đi qua , biết rằng đường thẳng đó cắt tại hai điểm , mà là trung điểm của

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn D.

Gọi . Vì là trung điểm của nên .

Suy ra .

Vậy phương trình đường thẳng

Câu 48. Cho hyperbol . Viết phương trình chính tắc của Elip đi qua điểm và có tiêu điểm trùng với tiêu điểm của hyperbol đã cho.

A. B.

C. D.

Lời giải

Chọn C.

có . Tiêu điểm của là , .

có tiêu điểm là , và đi qua .

Ta có: .

Vậy

Câu 49. Lập phương trình chính tắc của hyperbol với là trục thực, tổng hai bán trục phương trình hai tiệm cận: .

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn B.

Ta có: Phương trình

Câu 50. Cho hyperbol . Lập phương trình tiếp tuyến của song song với đường thẳng .

A. .B. và .

C. .D. .

Lời giải

Chọn B.

Gọi . Phương trình tiếp tuyến của tại là

. Ta có hệ phương trình

.

Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn là và .